лекції по мат.логике / L6-combinat

Кiлькiсть елементiв множини основна аксiома комбiнаторики.

Григорiй Чарльзович Курiнний жовтень, 2010

1 Вза¹мно однозначна вiдповiднiсть

1.1 Означення вiдповiдностi та вза¹мно-однозначно¨ вiдповiдностi

Пiдмножину декартового добутку множини A на множину B називають вiдповiднiстю вiдповiднiстю мiж елементами множин A òà B.

1

Êîëè f âiäïîâiäíiñòü i (a; b) 2 f; то кажемо, що a знаходиться у вiдповiдностi

f ç b, i, âiäïîâiäíî, b знаходиться у вiдповiдностi f ç a ¹ певна симетрiя у слововжитку.

Вiдповiднiсть C мiж елементами множин A òà B називають вза¹мно однозначною (або одно-однозначною), коли виконуються двi вимоги:

²для кожного елемента a 2 A iсну¹ i до того ж ¹диний елемент b 2 B такий, що (a; b) 2 C;

²для кожного елемента b 2 B iсну¹ i до того ж ¹диний елемент a 2 A такий, що (a; b) 2 C;

Синонiмом до словосполуки вза¹мно однозначна вiдповiднiсть ¹ бi¹кцiя .

Менш формально вза¹мно однозначна вiдповiднiсть, мiж елементами двох множин (можна також казати мiж двома множинами) A òà B це розташу-

вання всiх елементiв iз A òà B по парах, де перший елемент iз пари береться iз A, а другий iз B, причому виконуються двi умови:

1)кожен елемент iз A знаходиться в парi з одним i тiльки з одним елементом множини B;

2)кожен елемент iз B знаходиться в парi з одним i тiльки з одним елементом множини A.

1.2Приклади вза¹мно однозначно¨ вiдповiдностi

Нехай

A = fa; b; cg; B = f1; 2; 3g

двi множини. Утворивши пари (a; 1); (b; 2); (c; 3), ми одержу¹мо одно-однозначну

âiäïîâiäíiñòü ìiæ A òà B.

Якщо ¹ декiлька студентiв i декiлька комп'ютерiв, причому

²кожен студент сидить за одним комп'ютером;

²вiльних комп'ютерiв не лишилось;

²перед комп'ютером сидить лише один студент,

то мiж студентами та комп'ютерам встановлено одно-однозначну вiдповiднiсть. Множина пар (x; ln x); x 2 R+ ¹ вза¹мно однозначною вiдповiднiстю мiж дода-

тнiми дiйсними числами i всiма дiйсними числами.

2

Коли всi студенти однi¹¨ групи мають рiзнi iмена, то мiж студентами та ¨х iменами встановлено одно-однозначну вiдповiднiсть.

Автомобiлi, що рухаються по мiсту, мають номери. Причому на рiзних автомобiлях стоять рiзнi номери. Таким чином, мiж автомобiлями, що рухаються по мiсту, та ¨х номерами ¹ одно-однозначна вiдповiднiсть.

Вза¹мно однозначну вiдповiднiсть мiж множинами можна встановлювати i графiчно, зобразивши елементи множин на площинi i з'¹днавши елементи, що утворюють одну пару, лiнi¹ю. Роз'яснимо сказане прикладом, встановивши однооднозначну вiдповiднiсть мiж множинами A; B; C; D òà a; b; c; d:

Оскiльки часто неважливо, яка множина перша, а яка друга, то стрiлочки у графiчному зображеннi можна замiнити на лiнi¨, або замiнити на стрiлочки протилежного напрямку.

Утворивши пари

ми встановлю¹мо вза¹мно однозначну вiдповiднiсть мiж усiма натуральними чи- слами i парними натуральними числами. Утворивши пари

(n; n + 2) ïðè n 2 N; òà (0; 2); (¡1; 1);

ми одержу¹мо вза¹мно однозначну вiдповiднiсть мiж множиною натуральних чисел та множиною цiлих чисел, що бiльше ¡2.

1.3 Канонiчнi вза¹мно однозначнi вiдповiдностi

Один раз вибранi, природнi вза¹мно однозначнi вiдповiдностi називають канонi- чними.

Вiдповiднiсть мiж iменами студентiв в групi та самими студентами ¹ канонiчною. При канонiчнiй вiдповiдностi мiж функцiями та ¨х графiками функцi¨ вiдповiда¹ саме ¨¨ графiк.

Канонiчнi вiдповiдностi дозволяють в роботi кажен елемент замiняти для зру- чностi тим елементом, який йому вiдповiда¹, не наголошуючи на цьому особливо. Коли в мiркуваннях вiльно елементи замiнюються ¨х вiдповiдниками при канонiчних вiдповiдностях, то кажуть, що мiркування ведуться з точнiстю до цi¹¨ вiдповiдностi. Звичайна практика казати, що точка на числовiй прямiй це дiйсне число, хоч тут ма¹ться на увазi, що кожному дiйсному числу вiдповiда¹ певна

3

точка числово¨ прямо¨. Також десятковий запис натурального числа можна назвати числом така практика не ¹ помилкою чи неточнiстю, це зручнiсть мови, зручнiсть робти, це прийнята практика. Порiвняйте два тексти,

Вiзьмемо число 25

Вiзьмемо натуральне число, яке ма¹ десятковий запис 25 .

Другий текст недоречно обтяжений, хоч в деякому розумiннi точнiший. Вiльна замiна елементiв ¨х вiдповiдниками вимага¹ наявностi здорового глу-

зду, без якого такi замiни можуть бути вельми сумнiвними. Ми кажемо, що sin x

це функцiя, хоч це тiльки iм'я функцi¨; ми показу¹мо на графiк функцi¨ i кажемо, що це функцiя, не дуже переймаючись гризотою щодо коректностi сказаного. Така мовна розкутiсть доречна, коли ¹ здоровий глузд i при цьому ми одержу¹мо певнi зручностi (стислiсть, наприклад).

Григорiй ¹ сивим викладачем. Григорiй це слово iз 8 букв. Отже сивий викладач це слово iз 8 букв. Це приклад мiркувань, де мiркування з точнiстю до канонiчно¨ вiдповiдностi мiж людьми та ¨х iменами при вiдсутностi здорового глузду приводить до безглуздя.

Пiдсуму¹мо: вирази

²елементу a вiдповiда¹ елемент b при вза¹мно однозначнiй вiдповiдностi f;

²(a; b) 2 f, äå f ái¹êöiÿ;

²a $ b при вза¹мно однозначнiй вiдповiдностi f;

²f вза¹мно однозначна вiдповiднiсть i f(a) = b;

²f ái¹êöiÿ i f(a) = b;

означають одне i те ж. По рiзному розумiючи в рiзних мiсцях мiркувань словосполуку вза¹мно однозначна вiдповiднiсть ми порушу¹мо закон тотожностi в прийнятних межах.

2 Правило рiвностi

2.1 Аксiома рiвностi.

Аксiома рiвностi: Множини мають одну i ту ж кiлькiсть елементiв тодi i тiльки тодi, коли мiж ними можна встановити вза¹мно однозначну вiдповiднiсть.

4

Наведену аксiому можна вважати означенням поняття множини мають одну i ту ж кiлькiсть елементiв .

Зауважимо, що ми не давали точного означення поняття кiлькiсть . Зауважимо також, що популярна лiтература, уникаючи означень та аксiом, назива¹ наведену аксiому (чи означення залежно вiд ситуацi¨) правилом .

2.2Приклади доведення того, що двi множини мають одну i ту ж кiлькiсть елементiв

У множинi

A = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g

ми можемо розглядати триелементнi пiдмножини (такi, як

f1; 2; 3g; f1; 5; 6g; f2; 4; 7g; f4; 5; 7g

i т.п.) та чотириелементнi пiдмножини (такi як

f1; 2; 3; 4g; f2; 4; 6; 7g

i т.п.) . I тих, i других множин досить багато. Ми можемо довести, що кiлькiсть множин першого типу i кiлькiсть множин другого типу одна i та ж, не знаходячи цих кiлькостей явно.

Справдi, кожнiй 3-елементнiй множинi B ½ A поставимо у вiдповiднiсть (з'¹дна¹мо у пару) множину A n B. Оскiльки множина A ма¹ три елементи, то в множинi A n B знаходяться решта 4 елементи. Так парами будуть

(f1; 2; 3g; f4; 5; 6; 7g);

(f2; 3; 7g; f1; 4; 5; 6g);

(f5; 6; 7g; f1; 2; 3; 4g

i т.п.. Тодi кожнiй 3-елементнiй множинi C ½ A буде вiдповiдати (буде знаходитися з нею в парi) одна i тiльки одна 4-елементна множина A n C. I для кожно¨

4-елементно¨ множини C ¹ одна i тiльки одна 3-елементна множина (а саме AnC),

що знаходиться з нею в парi. Таким чином мiж 3-елементними i 4-елементними пiдмножинами в A iсну¹ вза¹мно однозначна вiдповiднiсть. В результатi викори-

стання правила рiвностi одержу¹мо, що триелементних пiдмножин в A ñòiëüêè

ж, скiльки i 4-елементних. Зауважимо, що нiяких обчислень при цьому ми не вели.

Притуливши пальцi лiво¨ руки до пальцiв право¨ руки, ми мiж цими пальцями встановлю¹мо одно-однозначну вiдповiднiсть. Тим самим ми без пiдраховувань доводимо, що на лiвiй руцi стiльки ж пальцiв, скiльки i на правiй.

5

n n n n n n n n n n n n n~ n n n n n n n~ n n n n n n n n n n n n

Рис. 1: 16 кiл i вiдрiзок, якi вiдповiдають разку намиста, що в свою чергу вiдповiда¹ сумi

15 = a + b; a < b; a = 3; b = 12

n n n

n~

nn

nn

nn

n~

n n

nn

Рис. 2: 17 кiл, якi вiдповiдають разку намиста iз зв'язаними кiнцями, що вiдповiда¹ сумi

15 = 3 + 12; a = 3; b = 12

Iз 15 однакових перлинок i однi¹¨ перлини, що вiд них вiдрiзня¹ться, можна створити стiльки ж разкiв намиста (з двома кiнцями), скiльки ¹ способiв представити число 15 у виглядi суми двох доданкiв:

15 = a + b; 0 · a · b · 15; (1)

тому що вiдмiнна вiд iнших перлина на разку роздiля¹ 15 однакових перлин на двi частини меншу (в нiй a перлин) та бiльшу (в нiй b перлин) (див рис. 1)

Подiбним чином iз 15 однакових перлин одного гатунку та 2 перлин другого гатунку можна скласти стiльки ж разкiв намиста iз зв'язаними кiнцями, скiльки ¹ розбиттiв (1) числа 15 на два доданки: двi перлини другого гатунку роздiляють коло iз 15 перлин на двi частини меншу та бiльшу (див. рис. 2).

На згаданих рисунках ¹ схематичне (примiтивно грубе) зображення намиста iз перлiв, а вiдповiдна сума - це елемент потрiбно¨ множини, кiлькiсть елементiв в якiй ми пiдрахову¹мо. Зверенмо увагу на звичайну схему розв'язування комiбнаторно¨ задачi:

6

2.3 Модельнi задачi, урновi схеми

В комбiнаторицi задачi, вiдповiдi до яких часто використовують, називають модельними. Такi задачi часто стосуються дуже конкретних речей шляхiв у мiстi, розташування куль в ящиках (урнах) та подiбного. Вiдповiдi до модельних задач називають комбiнаторними числами. Те, що певна кiлькiсть збiга¹ться iз комбiнаторним числом, доводиться за допомогою правила рiвностi, тобто встановлю¹ться вза¹мно однозначна вiдповiднiсть мiж предметами, якi потрiбно перерахувати в задачi, та з предметами, якi перерахованi в модельнiй задачi. Пiсля цього стверджують, що вiдповiддю до нашо¨ задачi ¹ комбiнаторне число, тобто вiдповiдь до уже розв'язано¨ задачi. Зазвичай, розв'язування комбiнаторно¨ задачi розбива¹ться на кроки, кожен iз яких зводиться до розв'язування модельно¨ задачi.

Модельнi задачi грають в комбiнаторицi ту ж роль що i теореми в iнших роздiлах математики. Такий стан речей незвичний для iнших роздiлiв математикки.

Коли всi модельнi задачi стосуються розташування куль в урнах, то говорять про урнову схему.

Вибiр того чи iншого набору предметiв, якi будуть пiдраховуватися (кулi, подi¨, гральнi карти, вiдображення,...) сутт¹во залежить вiд смаку викладача. Ча- сто модельнi задачi (особливо при обчисленнi ймовiрностей) стосуються подiй, якi можуть вiдбуватися.

3 Кiлькiсть i потужнiсть

3.1 Кардинальне число

Замiсть слова кiлькiсть стосовно нескiнченних множин вживають слово потужнiсть . Якщо множини нескiнченнi i мiж ¨х елементами можна встановити вза'¹мно однозначну вiдповiднiсть, то кажуть, що цi множини мають однакову потужнiсть або рiвнопотужнi .

Отже множина натуральних чисел рiвнопотужна множинi натуральних чи- сел з при¹днаними двома елементами 0 та -1 i рiвнопотужна множинi парних натуральних чисел.

Беруть клас множин, що мають одну i ту ж кiлькiсть (чи потужнiсть) елементiв. Далi в цьому класi тим чи iншим чином вибирають одну. От оцю множину

7

(або ¨¨ назву) i називають кiлькiстю елементiв кожно¨ множини iз вибраного класу. Звичайно, вибiр множини ¹ вза¹моузгодженим, природним (кому природним, а кому i нi). Так множина пальцiв на однiй руцi ма¹ стiльки ж елементiв, що i множина

яку називають п'ять i позначають 5. Серед нескiнченних множин такими еталонними, канонiзованими множинами ¹ множина натуральних чисел i множина дiйсних чисел. Якщо множина рiвнопотужна множинi натуральних чисел, то вона злiченна, а якщо множина рiвнопотужна множинi дiйсних чисел, то вона континуальна, або ма¹ потужнiсть континуум. Замiсть кiлькiсть (для скiнченних множин) та потужнiсть (для нескiнченних множин) вживають спiльну назвукардинальне число або кардинал.

Скiнченнi множини, це тi, якi рiвнопотужнi множинi f0; 1; 2; : : : ; n для деякого натурального n. Також порожню множину називають скiнченною. Кiлькiсть

елементiв порожньо¨ множини дорiвню¹ нулю. Тi множини, якi не ¹ скiнченними, називають нескiнченними.

Кiлькiсть елементiв множини A позначають через jAj òà card(A). Iнколи для позначення кiлькостi елементiв множини A використовують позначення #(A).

Потужнiсть елементiв злiченно¨ множини card(N) = !, а для континуально¨ множини card(R) = @1.

3.1.1 Порожня множина i нуль

Ми домовились, що кiлькiсть це або еталонна множина, або клас усiх множин, що мають одну i ту ж кiлькiсть. I ми вибрали перший варiант. Iз сказаного виплива¹, що порожня множина ¹ нулем. Ситуацiю потрiбно розумiти так. Якщо порожня множина використову¹тсья як еталонна для пiдраховування кiлькостей, то вана назива¹ться нулем. А якщо порожня множина розгляда¹ться в iнших ситуацiях, то вона так i назива¹ться порожня множина.

Кажемо, що кiлькiсть дiйсних розв'язкiв рiвняння x2 +1 = 0 ¹ i âîíà äîðiâíþ¹

нулю, а множина ров'язкiв ¹ порожньою i елементiв в нiй нема¹. Така мовна практика.

3.1.2 Скiнченнi множини

Уже домовились, що еталонними скiнченними множинами ¹

; = 0; f0g = 1; f0; 1g = 2; : : : f0; 1; : : : n ¡ 1g = n : : :

1Букву @ називають алеф, це перша буква семiтських алфавiтiв (фiнiкiйського, ¹врейського, арабського).

8

9

Ця теорема да¹ нову характеристику скiнченних множин. Оскiльки нескiнченнi множини допускають взамно однозначну вiдповiднiсть мiж усi¹ю множиною i власною пiдмножиною, то тепер можна вважати обгрунтованою наступну теорему.

Теорема 3.2 (Визначальна властивiсть скiнченних множин) Множина скiн- ченна тодi i тiльки тодi, коли iсну¹ вза¹мно однозначна вiдповiднiсть мiж усi¹ю множиною i ¨¨ власною пiдмножиною.

3.2 Властивостi бiнарного вiдношення бути рiвнопотужними

Вiдношення рiвнопотужностi рефлексивне, тобто кожна множина A ì๠ñàìà ç

собою одну i ту ж потужнiсть. Це доводиться встановленням вза¹мно однозна- чно¨ вiдповiдностi мiж множиною A i нею ж. Це канонiчна вза¹мно однозначна

âiäïîâiäíiñòü idA, idA(x) = x:

Вiдношення рiвнопотужностi симетричне, тобто коли множина A ма¹ ту ж потужнiсть, що i множина B, то множина B ма¹ ту ж птужнiсть, що i множина A. Це виплива¹ з того, що коли f ái¹êöiÿ, òî f¡1 також бi¹кцiя.

Вiдношення рiвнопотужностi транзитивне, тобто коли множина A рiвнопотужна множинi B, а множина B рiвнопотужна мноинi C, то множина A рiвнопотужна множинi C. Це виплива¹ з того, що добуток бi¹кцiй ¹ бi¹кцi¹ю.

3.3 Вiдношення порядку на кардиналах

Якщо iсну¹ iн'¹ктивне вiдображення f : A ! B iз множини A в множину B , то кажемо що jAj · jBj: Iз того, що добуток iн'¹ктивних вiдображень ¹ iн'¹ктивним вiдображенням, виплива¹ транзитивнiсть вiдношення нестрогого порядку ·,

тобто коли jAj · jBj i jBj · jCj, òî jAj · jCj:

Оскiльки для кожно¨ пiдмножини B µ A iсну¹ канонiчне iн'¹ктивне вiдображення f : B ! A; f(x) = x, то для кожно¨ пiдмножини B µ A можна писати

jBj · jAj:

Теорема 3.3 Вiдношення · антисиметричне в тому розумiннi, що коли jAj ·

jBj i jBj · jAj òîäi jAj = jBj:

Доведення. Припустимо, що jAj · jBj, jBj · jAj i f : A ! B; g :! A

два iн'¹ктивнi вiдображення. Наше завдання поляга¹ в побудовi бi¹ктивного вiдображення iз B â A.

Спочатку зауважимо, що iз того, що f; g iн'¹ктивнi вiдображення, виплива¹, що вiдображення

f : A ! f(A) µ B; g : B ! g(B) µ A

10