лекції по мат.логике / L9-univers-alg

Лекцiя • 9 з математично¨ логiки та теорi¨ множин Для студентiв-прикладникiв ММФ ХНУ 1 курсу 29 жовтня 2009 року

Тема: Унiверсальнi алгебри.

1 Унiверсальнi алгебри.

Множина з операцiями назива¹ться унiверсальною алгеброю. Множина з операцiями i вiдношеннями назива¹ться алгебра¨чною системою. Сама множина при цьому назива¹ться носi¹м, а множина операцiй i вiдношень назива¹ться сигнатурою. I носiй i сигнатура можуть бути порожнiми множинами. Частково впорядкована множина ¹ алгебра¨чною системою, сигнатурою цi¹¨ системи ¹ вiдношення порядку.

Нижче нас будуть цiкавити лише унiверсальнi алгебри.

Унiверсальна лгебра A ç íîñi¹ì A i сигнатурою

понача¹ться A = hA; i : Практика вжитку позна-

чень дозволя¹ використовувати для рiзних речей для алгебри i для носiя одне i те ж позначення (так буа¹ зручно) i писати A = hA; i : Звичайно i для

множини цiлих чисел, i для множини цiлих чисел з операцiями додавання та множення, i для множини цiлих чисел з операцiями додавання, множення та вiдношенням порядку вживати одне i те ж позначе- ння Z.

1

Оскiльки сигнатура може бути порожньою, то множина без операцiй також ¹ унiверсальною алгеброю.

Розберемося iз ситуацi¹ю, коли рiзнi унiверсальнi алгебри мають рiзнi операцi¨ з однi¹ю i тi¹ю ж назвою, наприклад, множення ¹ i на множинi натуральних чисел, i на множинi вiдображень. Коли назви операцiй в рiзних сигнатурах однаковi, то можна вважати (це не приводить до непорожумiнь) що ма¹мо одну i ту ж сигнатуру. Отже множина натуральних чисел з операцiями додавання та множення i множина цiлих чисел з операцiями додавання та множення мають одну i ту ж сигнатуру. Звичайно, арнiсть рiзних операцiй з однi¹ю назвою повинна бути одна i та ж.

2 Ìîðôiçìè

Нехай A = hA; i i B = hB; i двi унiверсальнi

алгебри з однi¹ю i тi¹ю ж сигнатурою. Вiдображення f : A ! B назива¹ться морфiзмом, коли для будь-

яко¨ операцi¨ '(x1; x2; : : : ; xn) 2 i для будь-яких елементiв a1; a2; : : : ; an 2 A викону¹ться рiвнiсть

f('(a1; a2; : : : ; an)) = '(f(a1); f(a2); : : : ; f(an)): (1)

Словами про виконання тотожностi (1) кажуть

вiдображення f узгоджене з операцi¹ю ';

вiдображення f перестановне з операцi¹ю ';

2

вiдображення f комуту¹ з операцi¹ю ';

Êîëè f iн'¹ктивне вiдображення, то кажуть про мономорфiзм, коли f сюр'¹ктивне вiдображення,

то кажуть про епiморфiзм, коли f бi¹ктивне вiд-

ображення, то кажуть про iзоморфiзм. Iзоморфiзм ¹ вiдношенням еквiвлентностi на множинi унiверсальних алгебр з однi¹ю сигнатурою, i звичайно мiркування проводять з точнiстю до iзоморфiзму

3

блицею 1 Друга ал-

гебра ма¹ носi¹м множину обертань рiвностороннього трикутника P QR

(див. рис. 1) навколо центра O вершини переходять у вершини. Обертань 3. Перше лиша¹ вешини на мiсцi позначимо його id, друге переводить вершину Q в вершину P позначимо його , i трет¹

переводить вершину Q в вершину R позначимо його : Множення (композицiя) обертань задана та-

блицею 2

Порiвнюючи таблицi 1 та 2 бачимо, що вони вiд-

4

рiзняються лише позначенннями елементiв. Отже цi двiд алгебри iзоморфнi. Iзоморфiзм зада¹ться вiдображенням

0 7!id; 1 7! ; 2 7! :

Множина дiйсних додатнiх чисел R+ з операцi¹ю з операцi¹ю множення iзоморфна множинi R всiх дiйсних чисел з операцi¹ю додавання. Iзоморфiзм f : R ! R+ i обернений iзоморфiзм f 1 : R+ ! R задаються функцiями

f(a) = ea äëÿ a 2 R; f 1(b) = ln b äëÿ b 2 R+:

3 Пiдалгебри

Розглянемо множину дiйсних чисел з операцi¹ю додавання i множину натуральних чисел з операцi¹ю додавання. Сума двох натуральних чисел буде одна i та ж незалежно вiд того, в якiй множинi ми обчи- слю¹мо цю суму. В загальному випадку кажуть, що пiдмножина B A носiя унiерсально¨ алгебри A =

hA; i замкнена вiдносно операцi¨ f(x1; x2; : : : ; xn) 2

5

коли для будь-яких елементiв a1; a2; : : : ; an 2 B також f(a1; a2; : : : ; an) 2 B: Так множина натураль-

них чисел замнена вiдносно операцiй додавання та множення, але не замкнена вiдносно операцi¨ вiднiмання.

Якщо пiдмножина B A носiя унiерсально¨ алгебри A = hA; i замкнена вiдносно всiх операцiй iз , тодi цю пiдмножину разом з операцiями iз (точнiше, з iх обмеженнями на B) називають пiдалгеброю алгебри A. Отже в пiдалгебрi B = hB; i

1.íîñié B ¹ пiдмножиною носiя A;

2.операцi¨ алгебри B мають тi ж назви, що i опе-

рацi¨ алгебри A, але у них менша область визна- чення.

Нижче розглянемо кiлька прикладiв унiверсальних алгебр i наведемо приклади пiдалгебр.

4 Унари

Множина разом з однi¹ю унарною операцi¹ю вiдображенням цi¹¨ множини в себе, називають унаром. На рис. 2, 3, 4 заданi три унари. Унар A1 íà ðèñ. 3 ¹

пiдунаром унара, що заданий на рис. 2. А унар B, ùî

заданий на рис. 4 iзоморфний унару A , що заданий на рис. 2

6

5 Напiвгрупи

Множини разом з однi¹ю довiльною бiнарною операцi¹ю , так званий бiн, розглядають i дослiджують. Але цi дослiдження носять вузькоспецiальний характер. На бiнах зупинятися не будемо. Якщо ж бiнарна операцiя асоцiативна, тобто викону¹ться тото-

то вiдповiдна унiверсальна алгебра з такою бунарною операцi¹ю назива¹ться напiвгрупою. ™ багато змiстовних, важливих прикладiв напiвгруп, вони активно дослiджуються. Отже, напiгрупа, це унiверсальна алгебра (S) = hS; i з однi¹ю бунарною операцi¹ю

(позначимо ¨¨ ) такою, що для будь-яких x; y; z 2 S

викону¹ться рiвнiсть (2).

Напiвгрупа може бути порожньою.

В напiвгрупах (S) = hS; i розглядають особли-

7

вы елементи: лiвий нуль, правий нуль, двостороннiй нуль, лiву одиницю, праву одиницю, двосторонною одиницю. Елемент 0l 2 S назива¹ться лiвим нулем,

якщо для будь-якого елемента x 2 викону¹ться рiвнiсть

Елемент 0r 2 S назива¹ться лiвим нулем, якщо для будь-якого елемента x 2 викону¹ться рiвнiсть

x 0r x = 0r:

Якщо елемент напiвгрупи ¹ в один i той же час i лiвим нулем i правим нулем, то його називають двостороннiм нулем, або просто нулем.

Подiбним чином елемент 1l 2 S назива¹ться лiвою одиницею, коли для будь-якого елемента x 2 викону¹ться рiвнiсть

Елемент 1r 2 S назива¹ться правою одиницею, якщо для будь-якого елемента x 2 викону¹ться рiвнiсть

x 1r x = x:

Якщо елемент напiвгрупи ¹ в один i той же час i лiвою одиницею i правою одинцею, то його називають двосторонньою одиницею, або просто одиницею.

Чи не найважливiшим прикладом напiвгрупи ¹ напiвгрупа усiх вiдображень непорожньо¨ множини в себе. В цiй наiвгрупi ¹ двостороння одиниця id, ¹

8

лiвi нулi, вони всi елементи множини переводять в один, одностороннiх одиниць нема¹, правостороннiх нулiв також нема¹. Якщо множини рiвнопотужнi, то напiвгрупи усiх вiдображень цих множин в себе iзоморфнi. Всi вiдображення, що перевордять заданий елемент в себе, утворюють пiднапiвгрупу.

Прикладом напiвгрупи з правими нулями ¹ напiвгрупа iз множенням

x y = y:

Напiвгрупами ¹ множина натуральних чисел з додаванням, множина натуральних чисел з множенням, множина натуральних чисел з операцi¹ю вибору меншого елемента.

6 Група

Групою називають унiверсальну алгебру з двома операцiями нульмiсною i двомiсною. Двомiсна операцiя асоцiативне, а нульмiсна операцiя видiлений елемент, ¹ нейтральним для цi¹¨ операцi¨. Оскiльки ¹ нульмiсна операцiя, то насiй цi¹¨ алгебри не може б ути порожнiм порожнiх груп не бува¹.

Якщо операцiю називають множенням, то нейтральний елемент називають одиницею, а саму групу називають мультиплiкативною, записи тотожностей також називають мультиплiкативними. Практика дозволя¹ не виписувати знак множення.

9

Аксiоми групи G = hG; i в мультиплiкативному записi такi:

Ми уже говорили, що аксiома (3) це аксоiма асоцiативностi бiнарно¨ операцi¨, а аксiома (4) це аксiома iснування одиницi. Аксiому (8) називають аксiомою iснування оберненого елемента. Якщо xy =

yx = 1; то елементи x; y 2 G називають вза¹мно

оберненими, чи оберненими один до одного i пишуть

x = y 1; y = x 1:

Якщо операцiю називають додаванням, то нейтральний елемент називають нулем, а саму групу називають адитивною, записи тотожностей також називають адитивними.

Аксiоми групи G = hG; +i в адитивному записi такi:

Ми уже говорили, що аксiома (6) це аксiома асоцiативностi додавання, а аксiома (7) це аксiома iснування нуля. Аксiому (??) називають аксiомою iснування протилежного елемента. Якщо x+ y = y + x =

10