(Метод модового базиса)

7.1. Постановка задачи

При помощи метода эволюционных уравнений можно свести исходную трехмерную нестационарную задачу излучения к одномерной нестационарной задаче, тем самым облегчив ее решение в силу уменьшения размерности, но не потеряв явную зависимость полей от времени. Это возможно благодаря тому, что в поперечной плоскости в цилиндрической системе координат будет построен базис, на который и будут спроектированы уравнения Максвелла. Тем самым мы избавимся от зависимостей уравнений от поперечных координат. Полученные одномерные уравнения называются эволюционными. В частном случае они сводятся к трем одномерным нестационарным уравнениям в частных производных.

Запишем Ссистемау уравнений Максвелла:

; ; ; ,

в которой для удобства трехмерные векторы обозначены жирным шрифтом. Она дополняется Мматериальныеми уравнениями:

; .

Следствием этих уравнений есть Ууравнение непрерывности

.

Будем полагать, что параметры среды могут зависеть от продольной координаты и времени: ,. Данная исходная задача дополняется начальными (граничными) условиями для полей и токов.

7.2. Представление трехмерных векторов

Представим Ттрехмерные векторы в виде суммы и двумерныех и одномерных следующим образом векторы:

; ; ; .

Используя данные обозначения, представим дивергентные уравнения Максвелла в следующем виде:

. ; (1) . (2)

Так как ротор произвольного вектора в выбранных обозначениях представляется в виде

,

причем первое слагаемое имеет только продольную составляющую, а второе и третье – поперечную, проекция роторных уравнений Максвелла на ось OZ представляется в виде

Роторные уравнения Максвелла. ; (3), (4)

а на поперечную плоскость –

; (5) . (6)

7.3. Исключение продольных компонент поля

Для построения базиса в поперечной плоскости исключим продольные компоненты поля из системы (1)-(6).

Исключим ение из (5) при помощи (3) и (1), для чего подействуем на левую и правую части выражения (5) операцией: (5)

,

и в полученное выражение подставим соотношение (1), после чего имеем

. (7)

Для использования выражения (3) необходимо соотношение (5) записать в форме , умножить его векторно слева наи применить известную формулу для двойного векторного произведения

,

Ттогда (5) примет вид

. )

Подействовав на последнее выражение операцией слева, в полученное выражениеможно подставить (3) и получить

(8)

В результате (7) и (8) можно записать в виде

,

(9)

,

где

,

.

Исключим из (6) при помощи (4) и (2), для чего подействуем на левую и правую части выражения (6) операцией:

и в полученное выражение подставим соотношение (2), после чего имеем (10)

Для использования выражения (4) необходимо соотношение (6) записать в виде:, умножить его векторно слева на и применить известную формулу для двойного векторного произведения ,

тогда (6) примет вид

()Подействовав на последнее выражение операцией слева, в полученное выражениеможно подставить (4) и получить ()

Обобщим (10) и(11), записав в виде (12)

где