6.2. Магнитный диполь Герца

Моделью элементарного магнитного излучателя может быть бесконечно малая рамка с током (петля).

Для нее в силу равенства входящего и выходящего тока , тогда, следовательно, скалярный потенциал. В силу этого представляет интерес только векторный потенциал

, (1)

где .

Если , то, тогда

.

Пользуясь разложением в ряд Тейлора с удержанием первых двух слагаемых , если x – мало, для функции имеем, где.

Тогда подставим в (1) и получим.

Расстояние до точки наблюдения r в знаменателе первого слагаемого можно вынести за знак интеграла и убедиться, что первое слагаемое дает нулевой вклад в потенциал в силу замкнутости токов. Обозначая производную по времени точкой, перепишем

.

Проведем некоторые векторные преобразования с имеющимся вектором . Так как, то

Заменим второе слагаемое согласно вышеуказанной формуле для двойного векторного произведения и получим

.

Подставляя полученное преобразование в выражение для векторного потенциала, с учетом того, что вместо мы можем таким же образом подставить, получим

Докажем, что в нашей задаче вектор .

Домножим на произвольный вектор

,

где градиент действует по штрихованным координатам. Данное равенство легко проверить, используя соотношение

:

и

ак ак

или после подстановки

.

Если петля с током лежит в плоскости XOY, то магнитный момент направлен вдоль оси OZ. Спроецируем полученный вектор на орты сферической системы координат:

;

;

;

.

В силу осевой симметрии задачи, пренебрегая местом запитки петли, имеем , и, учитывая, что, в силу равенства нулю соответствующих компонент электрического поля, полученного выше, имеем

;

.

Рассмотрим петлю с током и рассчитаем для нее магнитный момент

в двух системах координат.

В цилиндрической системе координат:

, ,

.

В сферической системе координат:

т.к. , то

, ,

Подставляя полученный магнитный момент петли, имеем

;

;

;

;

.

Видно, что волна с наименьшим убыванием в пространстве имеет временную зависимость в виде второй производной от возбуждающего тока. Квазистатическая составляющая убывает обратно пропорционально кубу расстояния, и ее временная зависимость совпадает с временной зависимостью тока. Как и в предыдущем случае, продольная компонента поля убывает быстрее поперечных.

Задача

Рассмотрим область вокруг магнитного диполя, начиная со сферы с произвольным радиусом до сферы с радиусом. Проверим баланс энергии различных составляющих поля для этой области.

Найдем энергию квазистатической составляющей для импульса тока в виде скачка тока в момент времени, когда переходные процессы закончатся (постоянный ток):

.

Пусть возбуждающий импульс имеет линейно нарастающий фронт длительности ,

но энергия квазистатической магнитной компоненты не зависит от характера нарастания, так как рассчитывалась при больших временах, когда ток можно считать практически постоянным

.

Эта энергия порождается всеми комбинациями компонент электрического и магнитного поля в рассматриваемой области, пока фронт импульса растет. Входящую и выходящую энергию рассчитаем посредством вектора Пойнтинга. Напомним, что энергия есть нелинейная характеристика поля. Учитывая, что для выбранной временной зависимости ,

, ,.

Вычислим разность входящей и выходящей энергии

.

Так как последнее слагаемое не зависит от расстояния, то оно дает энергию на входе и на выходе одинаковую, это и есть энергия волны в дальней зоне. А у остальных слагаемых разность входящей и выходящей энергии будет не равна нулю, из них и будет составляться энергия постоянного магнитного поля вокруг излучателя. Рассчитаем вклад остальных слагаемых:

,

интересно, что на этом этапе видно, что вклад в остаточную энергию дают наиболее быстро убывающие слагаемые в выражениях для поперечных компонент, из которых происхождение квазистатической магнитной компоненты понятно и следует из закона Ампера,

.

Как видно, закон сохранения энергии выполняется, энергия постоянного магнитного поля равняется энергии, вносимой нестационарной волной, причем в данном случае вклад определяется только квазистатической компонентой поперечного магнитного поля и первым слагаемым поперечного электрического поля. Отсюда можно сделать вывод, что без быстро убывающих с расстоянием слагаемых нельзя описать процесс наполнения пространства электромагнитной энергией. По крайней мере, очевидно, что все компоненты полей с разным затуханием в пространстве и временной зависимостью важны и имеют между собой неразрывную связь, которую можно назвать энергетической, так как без нее невозможно выполнение закона сохранения энергии в сложном процессе излучения распространяющейся волны.