01 Измерительная / 002 Описания лабораторных работ / 11а Машина Атвуда У

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №11а

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗЕМНОГО УСКОРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ МАШИНЫ АТВУДА

Цель работы: измерить величину ускорения свободного падения при помощи машины Атвуда.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Ускорение свободного падения g можно найти при помощи очень простого опыта: бросить тело с высоты h и измерить время падения t. Тогда g=2h/t². В действительности дело обстоит не так просто, если величину g требуется определить достаточно точно.

Время падения t с высоты h=1м при g=9,8м/c² равно t=(2h/g)½ = (21/9,8)½ ~0,45с. При измерении такого промежутка времени с погрешностью 0,01с относительная погрешность определения g, равная [(h/h)²+(t/t)²]½, будет более 4,5% и абсолютная погрешность g>0,5м/с². Казалось бы, чтобы снизить погрешность определения g, используя секундомер с той же погрешностью t=0,01с, надо увеличить измеряемый промежуток времени, увеличивая высоту падения. Так при h=5м время падения около 1с, а при h=20м - t~2с. Однако в этом случае возникают ошибки другого характера. Дело в том, что при больших скоростях заметную роль играет сопротивление воздуха, а формула равноускоренного движения h=gt²/2 этого фактора не учитывает. Таким образом, увеличивая высоту h, мы увеличиваем время падения и уменьшаем относительную погрешность его измерения, но при этом вносим другую ошибку: сама формула h=gt²/2 становится неточной. Например, если сбросить кирпич с высоты h=500м, то около 200м он будет двигаться с ускорением, а затем сила сопротивления воздуха станет равной силе тяжести (это будет при скорости около 70м/с) и тело остальные 300м будет двигаться с постоянной скоростью.

Приведенный простой пример наглядно демонстрирует общую черту любого физического эксперимента. В любом эксперименте точность определения какой-либо физической величины связана не только с точностью измерительных приборов, но и с тем насколько точно принятая модель описывает данный опыт, иначе говоря, насколько модель адекватна экспериментальной ситуации. Очевидно, что при обработке экспериментальных данных по формулам приближенной модели полученные результаты будут отличаться от истинного значения измеряемой величины. Это отличие имеет смысл систематической погрешности. Для ее учета надо строить более точную модель эксперимента.

Итак, сложности такого внешне простого опыта связаны с большим ускорением тела, за которым мы следим во время опыта. Так как ускорение большое, то тело быстро набирает скорость, а при этом или время движения мало и его трудно измерять, или сама формула равноускоренного движения неточна.

Уменьшить ускорение можно с помощью устройства, которое называется машиной Атвуда (рис.1). Через блок перекинута нить, на которой укреплены грузы с массой M каждый. На один из грузов накладывается перегрузок с массой m. Грузы начнет двигаться с ускорением a, проходя расстояние H за некоторое время t. Эти величины связаны между собой известным соотношением

H=at²/2 или t²=2H/a, (1)

которое позволяет узнать ускорение a, если измерены значения H и t.

Величина ускорения грузов a связана с величиной ускорения свободного падения g. Для установления этой связи необходимо построить модель экспериментальной ситуации, которая реализуется в машине Атвуда.

Наиболее простая модель нашей экспериментальной установки такова: блок и нить невесомы, нить нерастяжима; трением в блоке и сопротивлением воздуха можно пренебречь. С учетом того, что в силу нерастяжимости нити T₁=T₂=T, уравнения движения грузов имеют следующий вид

Ma=Mg-T

(m+M)a=(m+M)g-T (2)

Решая систему (2), получаем

(3)

Таким образом, определив экспериментально зависимость t от H, по формуле (1) можно найти величину a и далее по формуле (2), используя известные значения m и M, рассчитать ускорение свободного падения g.

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Машина Атвуда схематически изображена на рис.1. Она представляет собой закрепленную на основании вертикальную стойку, на которой укреплен подвижный кронштейн и верхняя втулка, на которой закреплены блок и электромагнит. Через блок перекинута нить, на концах которой закреплены грузы с массой M.

Кронштейн можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в любом положении. Тем самым устанавливается конечная точка движения h₁. Величина h₁ отсчитывается по миллиметровой шкале, находящейся на вертикальной стойке против указателя на кронштейне. Начальная точка движения задается положением нижней грани груза h₂. Очевидно, что H=h₂-h₁. Точность отсчета по линейке составляет 1мм.

На правом грузе могут помещаться перегрузки. Масса m этих перегрузков, а также масса грузов M обозначена на установке.

Свободное движение системы завершается ударом о резиновые амортизаторы кронштейна, на котором также расположен фотодатчик, имеющий оптическую ось на уровне указателя положения кронштейна. При пересечении нижней гранью груза оптической оси фотодатчика вырабатывается электрический импульс, останавливающий секундомер. Тем самым фиксируется время прохождения расстояния H.

Цифровой миллисекундомер, к входам которого подключен фотодатчик, укреплен на том же основании, что и вертикальная стойка. Он может измерять промежутки времени от 0 до 99,999 секунд с относительной погрешностью 0,02%.

На лицевой панели миллисекундомера расположены три управляющие клавиши СЕТЬ, ПУСК и СБРОС. После подключения секундомера к сети нажатия клавиши СЕТЬ схема сброса нуля устанавливает прибор в начальное состояние, обнуляя декады счетчика времени. При этом на электромагнит подается напряжение, и он фиксирует систему блока и грузов. При нажатии клавиши ПУСК происходит отключение напряжения питания от электромагнита и формируется импульс, который обеспечивает подключение к счетчику времени эталонного кварцевого генератора с высокостабильной частотой, равной 1Мгц. До тех пор пока не поступит сигнал с фотодатчика, счетчик подсчитывает число импульсов кварцевого генератора. Сигнал с фотодатчика отключает эталонный генератор от счетчика времени, показания которого высвечиваются на световом табло. При этом вновь включается питание электромагнита. Нажатие клавиши СБРОС устанавливает миллисекундомер в начальное состояние.

Таким образом, установив некоторую высоту H, можно снять зависимость t от H при фиксированном значении массы перегрузка. Эта зависимость и подвергается дальнейшей обработке с целью определения величины ускорения свободного падения.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Установить кронштейн в некоторое положение и по указателю на нем произвести отсчет величины h₁.

2. Подключить сетевой кабель миллисекундомера к сети питания. Нажать клавишу СЕТЬ. При этом индикаторы миллисекундомера должны высвечивать нули и должна гореть лампочка фотодатчика. Кроме того, электромагнит должен обеспечивать неподвижность системы.

3. На правый груз положить один из перегрузков и записать его массу. Установить нижнюю грань правого груза против какого-либо деления линейки. Отсчитать h₂. Нажать клавишу ПУСК. Записать показание секундомера t. При данном значении h₂ измерения t провести трижды. С одним и тем же перегрузком провести измерения времени опускания груза t для различных значений h₂ (всего 5-6 точек).

5. Аналогично пунктам 2-5 провести измерения еще для двух перегрузков.

7. Для каждой массы перегрузка представить зависимость экспериментально измеренных значений t и H в виде таблиц.

h1

h2

H

H

t1

t2

t3

t

t

g

g

8. Постройте графики зависимостей t=t(H) для каждой массы перегрузка m

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

О бработку каждой таблицы для заданного значения m с целью определения величины g можно провести в следующей последовательности. Вначале рассчитывается H и H по формулам:

где h₁ и h₂ это систематические погрешности измерения h₁ и h₂. Они равны погрешности измерения при помощи линейки, т.е. 1мм. Случайную погрешность определения H будем считать равной нулю.

Д алее рассчитывается среднеарифметическое значение t и случайная погрешность определения времени по формуле

где t_т - коэффициент Стъюдента, который для =0,95 и n=3 равен 4,3. Систематическую погрешность определения времени можно считать равной нулю.

З ная t и H, можно определить g по формуле, вытекающей из выражений (1) и (3).

Т аким образом, определение g является косвенным измерением. Формула для расчета g имеет вид

В результате такой обработки получится несколько значений g и g. Причем величины g будут разные. Максимальную из всех погрешностей возьмем за систематическую погрешность данного метода определения g. То есть будем считать _cg=(g)_max.

Т акой прием (не очень обоснованный) позволяет считать в дальнейшем, что все величины g равноточные и применять известные формулы для определения наилучшей оценки g и погрешности. Другими словами наилучшей оценкой g будет среднеарифметическое отдельных измерений. Случайная погрешность определяется по формуле

Наконец, полная погрешность есть g=[(_cg)²+(g)²]½. Теперь окончательный результат обработки данных одной таблицы можно представить в виде

g=(g+g)м/с², =0,95.

Таким же образом следует обработать и другие таблицы и провести сравнение значений g, полученных при различных значениях m.