Лабораторная работа Измерение времени соударения упругих шаров

Цель работы: Измерение времени соударения упругих шаров, определение закона упругой силы, возникающей при соударении шаров.

Краткая теория

Соударение упругих шаров не является мгновенным. Соприкосновение шаров длится хотя и малый, но конечный промежуток времени, а силы, возникающие при ударе хотя и велики, но также конечны.

С момента соприкосновения шаров начинается процесс их деформации. Точка соприкосновения переходит в круглую площадку, при этом кинетическая энергия переходит в энергию упругой деформации. Возникают упругие силы, которые достигают наибольшей величины в момент наибольшего сжатия шаров. Затем идет обратный процесс перехода потенциальной энергии деформации в кинетическую энергию движения, заканчивающийся в момент расхождения шаров. Все эти процессы взаимного перехода энергии разворачиваются на очень малом промежутке времени, называемом временем соударения. В общем случае время соударения зависит от упругих свойств материала шаров, их относительной скорости в момент начала удара и от их размеров.

Время соударения определяется законом упругой силы, возникающей при соударении шаров. Известно, что при упругой деформации линейных пружин, стержней упругая сила Fопределяется законом ГукаF = -kh, гдеh- величина деформации пружины. При деформации тел сложной формы зависимость упругой силы от величины сжатия можно представить в следующем виде

. (1)

Такой вид зависимости F от h следует из решения так называемой контактной задачи теории упругости, решенной Г.Герцем. При этом было получено, что показатель n=3/2, а величина k при соударении шаров радиуса R и R' определяется формулой

. (2)

где D зависит от упругих свойств материала шаров.

Необходимо отметить, что при ударе деформируются оба шара, поэтому под величиной сжатияh в формуле (1) следует понимать разность между суммой R+R' и расстоянием между центрами шаров при соприкосновении (см. рис.1).

Потенциальная энергия соприкасающихся деформированных шаров можно определить, используя известную формулу F=-dU/dh.

. (3)

Зависимость времени соударения шаров  от параметров k и n в законе упругой силы (1) можно получить, используя закон сохранения энергии. В системе отсчета, в которой центр инерции шаров покоится, энергия до столкновения равна кинетической энергии относительного движения V²/2, где V - относительная скорость сталкивающихся шаров, а =m₁m₂ /(m₁+m₂) их приведенная масса.

В течение столкновения относительная скорость V=dh/dt будет в начале уменьшаться до нуля. Также будет уменьшаться и кинетическая энергия, равная (/2)(dh/dt)². Одновременно будет возрастать величина сжатия, которая достигнет значения h₀ в тот момент, когда относительная скорость окажется равной нулю. После достижения максимального сжатия процессы пойдут в обратном направлении. Систему сталкивающихся упругих шаров можно считать замкнутой, поэтому в ней должен выполняться закон сохранения энергии, в силу которого сумма кинетической энергии - V²/2 и потенциальной энергии - (k/n+1)hⁿ⁺¹ в течение деформации постоянна и равна энергии шаров до соприкосновения, то есть

. (4)

Из этого уравнения можно определить максимальное сближение шаров h₀, которое достигается, когда скорость dh/dt=0. Получаем из (4)

. (5)

Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его относительно dt, получаем

Время , в течение которого длится столкновение (т.е. h меняется от 0 до h₀$ и обратно до нуля), равно

Этот интеграл удобно взять, если ввести новую переменную

Нетрудно видеть также, что x₀ - значение новой переменной в точке максимального сжатия равно 1. Имеем

Последний интеграл является табличным, его значение зависеть только от числа n. Таким образом, зависимость времени соударения от скорости приобретает следующий вид.

, (6)

где I(n) -- значение интеграла, зависящее от n.