Лабораторная работа 15 измерение моментов инерции параллелепипеда

Цель работы: Измерить величины моментов инерции параллелепипеда относительно различных осей методом крутильных колебаний, провести сравнение полученных результатов с предсказанными теоретически

Краткая теория.

1. Во введении показано, что момент инерции любого тела относительно любой оси можно определить, если известны главные моменты инерции J_X, J_Y и J_Z. Обычно эти величины необходимо находить экспериментально. Однако для тел обладающих симметрией, их можно рассчитать достаточно просто. Рассчитаем их для однородного параллелепипеда.

Главными осями параллелепипеда являются прямые, проходящие через его геометрический центр перпендикулярно его граням. Введем жестко связанную с телом систему координат, оси которой направлены вдоль главных осей, а начало отсчета находится в геометрическом центре параллелепипеда. Для однородного тела эта точка совпадает с центром тяжести. Будем считать, что ось направлена вдоль самого короткого ребра длиной а, а ось OX - вдоль самого длинного ребра длиной с.

Вычислим осевой момент J_ZZ. При нашем выборе системы координат он будет равен главному моменту т.к. ось OZ направлена вдоль главной оси. Разобьем параллелепипед на столбики с площадью основания dS=dxdy и высотой а. Все точки такого столбика характеризуются одинаковыми значениями координат х и у. Объем его dV равен adxdy, а масса dm=dV=adxdy. Поэтому вклад этого столбика в величину J_ZZ определяется согласно формуле (29) введения

. (1)

Интегрирование (1) по у дает вклад в Jzz слоя высотой а и толщиной dx

Интегрируя полученное выражение по х, получим для всего параллелепипеда

Аналогично можно получить:

Итак, главные моменты инерции одноного параллелепипеда равны

(2)

Нетрудно заметить, что для куба, у которого а=b=с, главные моменты инерции одинаковы:

Если определены главные моменты инерции тела, то момент инерции его относительно оси, направленной вдоль вектора и проходящей через центр тяжести, рассчитывается по формуле (37) введения:

, (3)

где - , и  - это углы, которые составляет вектор с координатными осями OX, OY и OZ соответственно.

В данной лабораторной установке ось вращения тела (ось маятника) направлена по вертикали. Поэтому во всех опытах следует считать, что единичный вектор направлен вертикально вверх. Таким образом, закрепляя параллелепипед в различных положениях, мы изменяем расположение жестко связанной с телом системы координат относительно постоянного вектора и, тем самым, меняем углы ,  и .

Вычисление направляющих косинусов Cos, Cos и Cos представляет собой чисто геометрическую задачу. На рис.2 изображены некоторые возможные оси, относительно которых будут определяться моменты инерции. Видно, что направляющие косинусы осей, совпадающих с главными диагоналями, например AA₁, равны

. (4)

Образцы могут быть закреплены также в точках, лежащих посредине граней и ребер. При использовании этих точек, расположенных симметрично относительно центра тяжести (точки О), можно измерить моменты инерции относительно диагоналей соответствующих сечений или главных осей. Различные оси будут определяться различными наборами направляющих косинусов. Так для оси ВВ₁ получаем

. (5)

Итак, зная массу параллелепипеда и его геометрические размеры, можно определить моменты инерции относительно любой оси, проходящей через центр.

В заключении отметим, что в силу равенства cos²+cos²+cos²=1 моменты инерции куба относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, одинаковы и равны J_КУБ=(m/6)a².

2. Момент инерции тела относительно произвольной оси можно измерить, если знать период колебаний тела вокруг этой оси (см. лабораторную работу №4). Как показано в описании к лабораторной работе №4, для определения момента инерции необходимо измерить, период крутильных колебаний, который связан с моментом инерции тела J относительно оси колебаний простым соотношением:

(6)

где  - постоянная момента упругих сил, характеризующая жесткость тела относительно деформации кручения.

Исследуемое тело жестко закрепляется в рамке крутильного маятника, подвешенной на упругой вертикально натянутой проволоке. Если вывести маятник из равновесия, то он будет совершать колебания с периодом . Здесь J_M- -момент инерции маятника, который равен сумме момента инерции рамки J₀ и момента инерции исследуемого тела J. Таким образом,

(7)

Если колеблется одна рамка без тела, то ее период колебаний, очевидно, равен

(8)

Исключая из этих уравнений неизвестную величину , находим

(9)

Из соотношения (9) видно, что для определения момента инерции относительно маятника необходимо измерить периоды колебания Т₀ и Т соответственно для свободной рамки и для рамки с телом. Величину J₀ необходимо определить заранее, например, измеряя периоды колебания закрепленного в рамке тела, момент инерции которого относительно оси колебаний известен из других соображений.

В данной работе в качестве такого тела используется однородный куб, моменты инерции которого (как показано выше), относительно любой оси, проходящей через его центр, одинаковы и равны. J_К=(m/6)a². Очевидно, что момент инерции свободной рамки можно определить по формуле

(10)

Здесь m и a - масса и длина ребра куба, а Т₀ и Т - периоды колебаний пустой рамки и рамки с кубом соответственно.

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Установка для измерения момента инерции методом крутильных колебаний представляет собой собранные на одном массивном основании стойку для крепления образцов и миллисекундомера. На стойке находятся три кронштейна. Верхний и нижний кронштейн имеют зажимы для крепления стальной проволоки, к которой подвешивается рамка. В рамке можно жестко закрепить исследуемое тело. На среднем кронштейне размещена платформа, которая служит основанием фотоэлектрического датчика и угловой шкале, используемой для отсчета угла поворота крутильного маятника.

На лицевой панели миллисекундомера находятся

- клавиша "сеть" - выключатель сети. Нажатие этой клавиши вызывает включение питающего напряжения (при этом на цифровых табло должны высвечиваться нули и гореть лампочка фотодатчика);

- клавиша "сброс" - сброс измерений. Нажатие этой клавиши вызывает сброс схем блока измерений и генерирование сигнала, разрешающего измерение;

- клавиша "стоп" - окончание измерений. При нажатии клавиши "стоп" генерируется сигнал на окончание процесса счета времени;

Два цифровых табло, находящихся на лицевой панели, показывают число колебаний рамки и время, в течение которого они совершаются.

При нажатии клавиши "сеть" секундомер устанавливается в начальное состояние (нули на индикаторах) и блокируется схема формирования импульсов.

Эта блокировка снимается при нажатии клавиши "сброс". Когда начинаются крутильные колебания, то в момент первого прерывания светового потока, падающего на фототранзистор от лампочки, генерируется электрический импульс, который подключает к счетчику времени кварцевый генератор. Счетчик подсчитывает число импульсов, следующих с кварцевого генератора с частотой 10 Кгц. Одновременно другой счетчик подсчитывает каждый (следующий после первого) нечетный импульс, приходящий с фотоэлектрического датчика. Прохождение каждого такого нечетного импульса соответствует одному колебанию и показание цифрового табло счетчика периодов изменяется на единицу.

При нажатии клавиши "стоп" формируется сигнал, который подготавливает схемы к концу счета. Полностью счет прекращается в момент генерации фотодатчиком очередного нечетного импульса. При этом на табло высвечивается число колебаний и время, в течение которого они совершились. Погрешность измерения времени составляет 0,02%.

Таким образом, методика измерения момента инерции тела относительно оси колебаний такова. Вначале надо убедиться в применимости формулы (6), которая справедлива, если колебания слабозатухающие. После этого, измеряя периоды колебаний пустой рамки и рамки, с закрепленным в ней эталонным телом (кубом), определить момент инерции пустой рамки по формуле (10). Далее, закрепив в рамке исследуемый образец и измерив период колебаний крутильного маятника, по формуле (9) рассчитать момент инерции образца относительно оси колебаний.

Описанный метод применим для определения осевого момента инерции тела произвольной формы. В данной работе этот метод используется для определения J образцов, имеющих форму параллелепипеда.