УрФУ

Физика

Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения (контрольная работа №1, двухсеместровый курс)

Екатеринбург, 2013

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

(для специальностей, учебным планом которых предусмотрено две контрольные работы)

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

1. Механика

Скорость и ускорение материальной точки определяются формулами

В случае прямолинейного равномерного движения

В этих уравнениях а положительно при равноускоренном движение и отрицательно при равнозамедленном.

При криволинейном движение молекул ускорения

Здесь а_ - модуль тангенциального уравнения и а_n – модуль нормального ускорения, причем

где V – скорость движения и R – радиус кривизны траектории в данной точки.

При вращательном движении вокруг неподвижной оси модули угловой скорости и углового ускорения находятся по формулам

В случае равномерного вращательного движения угловая скорость

,

где Т – период вращения, n – частота вращения, т.е. число оборотов в единицу времени.

Угловая скорость  связана с линейной скоростью V точки соотношением

V = R.

где R – радиус точки от оси вращения. Тангенциальное и нормальное ускорения при вращательном движении могут быть выражены в виде

а_ = R, a_n = ²R.

2. Динамика Основной закон динамики (второй закон Ньютона) выражается уравнением

Fdt = d(mV).

Если масса m постоянна, то

F = a,

где а – ускорение, которое приобретает тело массой m под действие силы F.

Работа силы F на пути s определяется формулой

,

где F_s – проекция силы на направление перемещения, ds – элемент пути. Интегрирование должно быть распространено на весь путь s. В случае постоянной силы, действующей под углом  к перемещению, имеем

A = Fscos,

где  - угол между силой F и перемещением.

Мощность определяется формулой

.

В случае постоянной мощности

,

где А – работа, совершаемая за время t.

Мощность может быть определена также формулой

N = FV = FVcos,

т.е. скалярным произведением силы на скорость.

Кинетическая энергия тела массы m, движущегося со скоростью V, равна

.

Формулы для потенциальной энергии имеют разный вид в зависимости от характера действующих сил.

В изолированной системе импульс входящих в нее тел остается постоянным, т.е.

m₁V₁ + m₂V₂ +…+ m_nV_n = const.

При криволинейном движении сила, действующая на материальную точку, может быть разложена на две составляющие: тангенциальную и нормальную. Модуль нормальной составляющей

.

Здесь V – линейная скорость тела массы m, R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Продольная деформация х стержня или пружины пропорциональна силе F, вызвавшей деформацию:

F = kx,

где k – жесткость (коэффициент, численно равный силе, вызывающей деформацию, равную единице).

Потенциальная энергия растянутой (или сжатой) пружины

.

Две материальные точки притягиваются друг к другу с силой

где G = 6,672010^-11 Нм²/кг² – гравитационная постоянная, m₁ и m₂ – масса взаимодействующих материальных точек, r – расстояние между ними. Этот закон справедлив и для однородных шаров; при этом r – расстояние между их центрами.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия материальных точек

Это выражение нормировано так, чтобы при r =  потенциальная энергия обращалось в нуль.

Потенциальная энергия тела в поле тяжести Земля может быть вычислена по формуле

W_n = mgh,

где h – высота поднятия тела над уровнем мирового океана.

Пример 1. Тело массой m = 0,5 кг движется прямолинейно по оси 0х, причем зависимость координат х от времени дается уравнением х = 5 + 5t + t² – 0,5t³. Определить силу, действующую на тело в тот момент времени, когда тело остановится. Какое расстояние пройдет тело до остановки.

Дано: m = 0,5 кг х = 5 + 5t + t2	Решение: При описании движения тела можно воспользоваться вторым законом Ньютона, записанным в проекции на ось 0х Fx = max. Нам задана зависимость координаты движущегося тела от времени х = f(t). По определению ускорение является производной от
tост - ? Fост - ? l - ?

скорости по времени или второй производной от координаты по времени.

Скорость равна

= 5+2t + 1,5 t².

Найдем зависимость ускорения от времени

.

Видим, что ускорение зависит от времени и поэтому и сила является величиной переменной.

Определим время остановки. Скорость тела в момент остановки обращается в ноль. Получим уравнение

0 = 5 + 2 t - 1,5 t² или 1,5 t - 2 t - 5 = 0.

Найдем корни этого уравнения: t₁ = 2,61 c и t₂ = -1,28 с. Второй корень не подходит, т.к. время не может быть отрицательно. Получим, что тело остановится в момент t_ост = 3,92 с после начала движения.

В этот момент времени сила будет равна

F_x = ma_x = m(2-1,5 t_ост),

F_x = 0,5(2-1,52,61) = -0,96 Н.

До момента остановки движение происходило по оси 0х без изменения направления скорости, поэтому путь пройденный телом будет численно совпадать с перемещением за это время. По определению перемещение S_x = x – x₀, где х – координата точки в момент времени t, а х₀ в начальный момент времени t₀ = 0. В нашем случае при t = 0 х₀ = 5 м. Вычислим координату тела в момент остановки

х_ост = 5 + 52,61 + 2,61² – 0,52,61³ = 24,86 - 8,88 = 15,98

l = S_x = х_ост – х₀ = 15,98 – 5 = 10,98 м.

Ответ: тело остановилось в момент времени t = 2,61 с. Сила действующая равна - 0,96 Н. К этому моменту времени тело прошло путь l = 10,98 м.

Пример 2. Автомобиль массой m = 2 т движется равномерно в гору. Найти работу А_т силы тяги двигателя автомобиля на пути l = 3 км, и мощность двигателя, если известно, что путь l = 3 км был пройден за t = 4 мин и коэффициент трения =0,08. Определит количество теплоты, которое выделилось при движении на этом пути. Угол горы равен 4 м на каждые 100 м пути.

Дано: m = 2 т = 2103 кг l1 = 3 км = 3103 м t1 = 4 мин  = 0,08 h = 4 м l = 100 м	Решение: Сделаем чертеж, иллюстрирующий данное движение
Найти: Ат - ? Q - ? N - ?

На рисунке покажем силы действующие на автомобиль. Всего четыре силы: сила тяжести mg, сила реакции опоры N, сила трения скольжения и сила тяги мотора F_т. Покажем выбор системы отсчета. Ось 0х направим вдоль горы, ось 0y перпендикулярно поверхности горы. Начало отсчет свяжем с подножием наклонной плоскости. Из данных задачи можно сосчитать синус угла  наклона поверхности горы к горизонту ; sin=0,04. По определению работа постоянной силы равна .

При движении в одном направлении l = S_x.

Путь нам задан в условии задачи. Силу тяги надо определить. Воспользуемся вторым законом Ньютона. Действуют четыре силы. Ускорения нет, т.к. движение равномерное

.

Запишем это уравнение в проекциях оси координат

х: F_т - F_тр - mgsin = 0.

y: N - mgcos = 0.

Силу трения вычислим по формуле:

F_тр = N,

тогда получим систему уравнений:

Отсюда можно найти силу тяги

F_т = mgcos + mgsin = mg(cos + sin).

Теперь можно вычислить работу силы тяги

А_т = mg(cos + sin)lcos0⁰.