Поскольку на каждый виток пружины приходится по два таких участка (рис.П1.2,б), то суммарный угол закручивания проволоки будет определяться следующим образом:
d 2nd 1 , |
(П2) |
где n - число витков пружины. |
|
При таком закручивании длина пружины возрастает на величину |
|
dx ndx1 , |
(П3) |
где dx1 - изменение шага пружины, равное (см. рис.П1.2,б). |
|
dx1 2Rd 1 . |
(П4) |
Из выражений (П2) - (П4) получим зависимость между удлинением пружины и углом закручивания проволоки:
dx Rd .
Повторив эти рассуждения для других участков пружины и просуммировав удлинения, найдем, что растяжение x пружины и полный угол закручивания проволоки связаны сле-
дующим соотношением: |
|
x R . |
(П5) |
Определим, как угол закручивания связан с растягивающей силой F . Для этого выде- |
|
лим из проволоки цилиндрическую трубку радиусом r, длиной dl и толщиной dr. |
Вырежем из |
трубки малый элемент, площадь верхней грани которого, определяемая углом |
d , равна |
ds rd dr (рис.П1.3,а). |
|
а |
б |
Рис.П1.3. Положение элемента проволоки до закручивания (а) и после закручивания (б)
Повернем верхнее основание трубки относительно нижнего на малый угол d . При этом боковые грани элемента, лежащие в сечении трубки, повернутся на малый угол (рис.П1.3,б).
Углы |
и d малы, поэтому нетрудно найти связь между ними: |
|||||
|
|
|
rd |
. |
(П6) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
dl |
|
|
В результате закручивания трубки элемент будет испытывать деформацию сдвига. |
||||||
Закон Гука для деформации сдвига N (где |
- касательное напряжение) можно запи- |
|||||
сать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
dF1 |
N , |
(П7) |
||
|
|
|
||||
|
|
ds |
|
|||
41
где dF1 - касательная сила, возникающая при сдвиге и стремящаяся вернуть элемент в исходное положение; ds - площадь верхней грани элемента; N - модуль сдвига.
Подставив соотношение (П6) в выражение (П7) и приняв во внимание, что ds rd dr , для
силы dF1 получим:
dF1 Nr 2 d drd . dl
Момент этой силы относительно оси трубки равен
dM1 Nr 3 d drd . dl
Просуммировав моменты касательных сил по верхнему основанию рассматриваемой трубки (т.е. проинтегрировав по углу ) и радиусу проволоки r (т.е. проинтегрировав по r ), най-
дем результирующий момент всех касательных сил, действующих в сечении проволоки:
2 |
r |
d |
|
r 4 |
|
d |
|
|
M1 d (Nr 3 |
)dr |
N |
. |
|||||
|
2 |
|
||||||
0 |
0 |
dl |
|
dl |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
При равновесии пружины этот момент равен моменту силы F , растягивающей пружину, определяемому выражением (П1)
FR |
r 4 |
N |
d |
. |
(П8) |
|
2 |
dl |
|||||
|
|
|
|
Производная d представляет собой угол закручивания, приходящийся на единицу длины dl
проволоки. Согласно выражению (П8) величина d постоянна и, следовательно, равна dl
d |
|
|
, |
(П9) |
|
dl |
l |
||||
|
|
|
где x
R - полный угол закручивания проволоки (см. формулу (П5)); l 2 Rn - длина про-
волоки.
С учетом соотношения (П9) выражение (П8) можно переписать в виде
|
|
|
|
F kx , |
где k |
r 4 |
|
N |
- коэффициент жесткости пружины. |
4R3 |
|
n |
||
|
|
|
Из последнего уравнения следует выражение (4) для модуля сдвига проволоки, используемое в работе.
42
Приложение 2
Определение коэффициента жесткости пружины статическим методом
1.В меню «Прибор» выберите пункт «Сила/Тесла».
2.В появившемся на экране компьютера окне установите показанные на рис. П2.1 настройки.
Рис.П2.1. Вид общего окна настройки измерений
3. Дважды отметьте мышкой окошко цифрового дисплея 1, затем окошко цифрового дисплея 2, изображенное на рис.П2.1. Появятся окна, показанные на рис.П2.2. Подтвердите выбор параметров «Сила F» и «Расстояние».
а |
б |
Рис.П2.2. Окна настройки цифрового дисплея 1 (а)
ицифрового дисплея 2 (б)
4.Отметив курсором мыши окошки настройки аналогового дисплея 1 и диаграммы 1 (см. рис.П2.1), установите регулировки, показанные на рис.П2.3 и П2.4 соответственно. Конкретные значения силы могут быть уточнены в процессе эксперимента.
43
Рис.П2.3. Окно настройки |
Рис.П2.4. Окно настройки |
аналогового дисплея 1 |
диаграммы 1 |
5.Нажмите кнопку «Параметры», изображенную на рис.П2.1. В окне на рис.П2.5 выберите диапазон изменения силы и ее размерность.
6.Установите основание 6 на линейке 7 (см. рис.2) таким образом, чтобы нить не провисала, но пружина не была деформирована.
7.Нажмите в окне на рис.П2.5 кнопку «Калибрование» и выполните калибровку датчика силы, воспользовавшись регулировками, показанными на рис.П2.6. При этом вы установите нуль датчика силы, скомпенсировав вес пружины.
Рис.П2.5. Окно настройки параметров силы |
Рис.П2.6. Окно калибровки датчика силы |
44
8.Нажмите в окне, приведенном на рис.П2.5, кнопку «Угол/Расстояние».
9.В окне, приведенном на рис.П2.7, выберите калибровочное расстояние. Нажмите кнопку «Старт». Переместите круглое основание 6 вдоль линейки 7 на величину калибровочного расстояния. Нажмите кнопку «Стоп», а затем кнопку «Да». Верните основание 6 в исходное положение.
Рис.П2.7.Окно калибровки датчика перемещения
10.Нажмите кнопку «Далее» в окне (рис.П2.1). На экране появится окно контроля процесса измерений (рис.П2.8).
11.Проконтролируйте силу и расстояние. Если значения этих величин превышают 0,01 Н и 0,1 см, повторите действия пп. 7 - 10 данного упражнения.
Рис.П2.8. Окно контроля процесса измерений
45
12.Нажмите кнопку «Сохранить значение» в нижнем окне, показанном на рис.П.2.8. При этом вы сохраните начальные установки.
13.Переместите круглое основание вдоль линейки примерно на 1 см, контролируя величину перемещения по цифровому дисплею и по линейке.
14.Нажмите кнопку «Сохранить значение».
15.Повторите действия пп. 13 и 14 до получения значений перемещения 10 - 15 см.
16.По окончании измерений нажмите кнопку «Закрыть» в нижнем окне, изображенном на рис.П2.8. На экране появится график зависимости F(S) (рис.П2.9).
Рис.П2.9. График зависимости силы упругости от величины деформации
17. По графику зависимости F(S) рассчитайте значение коэффициента жесткости k, воспользовавшись инструментами «Обзор» или «Регрессия» на панели инструментов. Результаты зафиксируйте в лабораторной тетради.
46
Приложение 3
Определение коэффициента жесткости пружины динамическим методом
1.В меню «Прибор» выберите пункт «Сила/Тесла».
2.В появившемся на экране компьютера окне установите показанные на рис.П3.1 настройки.
Рис.П3.1. Вид общего окна настройки измерений
3.Настройте цифровой дисплей 1 в соответствии с п. 3 приложения 2 и окном, приведенном на рис.П2.2,а.
4.Отметив курсором мыши окошко настройки диаграммы 1, установите регулировки, показанные на рис.П3.2. Модуль силы может быть скорректирован в процессе эксперимента.
Рис.П3.2. Окно настройки диаграммы 1
47
5.Проконтролируйте отсутствие случайных колебаний в системе пружина - груз и выполните действия пп. 5 и 7 приложения 2. В результате калибровки будет скомпенсирован вес груза, и в процессе колебаний датчик силы будет показывать разность между силой упругости и силой тяжести груза.
6.Нажмите кнопку «Далее» в окне, изображенном на рис.П3.1. На экране появится окно контроля процесса измерений (рис.П3.3).
Рис.П3.3. Окно контроля измерений
7.Если показания цифрового дисплея отличаются от нуля более чем на 0,01 Н, повторите калибровку (п. 5 данного упражнения).
8.Растяните немного пружину с помощью держателя грузов и отпустите его. Пронаблюдайте визуально возникшие в системе колебания. Амплитуда колебаний должна быть небольшой. Пружина в процессе колебаний не должна отклоняться от вертикали.
9.Нажмите кнопку «Начать измерение» (см. нижнее окошко на рис.П3.3). Контролируйте процесс измерений по графику, изображенному на рис.П3.3, и по истечении 15 - 20 с нажмите кнопку «Закончить измерение». На экране появится периодическая функция, близкая по форме
ксинусоиде.
10.Экспериментальную зависимость можно сгладить. Для этого щелкните правой кнопкой мыши, выберите надпись «Дисплей» и в появившемся окне (рис.П3.4) отметьте вариант «Кривые» в окошке «Интерполяция».
Рис.П3.4. Окно для обработки экспериментальной зависимости
48
11. Измерьте период колебаний, используя инструмент «Обзор» (рис.П3.5).
Рис.П3.5. Измерение периода колебаний
12. Вычислите коэффициент жесткости пружины k, воспользовавшись формулой (3).
49
Лабораторная работа № 5
Центробежная сила
Цель работы: изучение законов механики в неинерциальной системе отсчета, вращающейся относительно инерциальной; исследование зависимости величины центробежной силы от массы тела и угловой скорости.
Оборудование: электромотор; вращающаяся платформа с тележкой; нить; динамометр, электронный блок управления «Cobra3»; компьютер, набор грузов.
Продолжительность работ: 4 часа.
Теоретическая часть
1. Инерциальные системы отсчета и законы механики Ньютона Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение тел в связи с при-
чинами, обусловливающими тот или иной характер движения. Наблюдения позволяют сделать вывод, что определяющую роль здесь играет взаимодействие тел. Количественной характери-
стикой взаимодействия является сила.
Сила F - векторная физическая величина, являющаяся мерой взаимодействия тел. Исторически сложилось так, что многочисленные эксперименты по выяснению связи меж-
ду взаимодействием тел и характером механического движения проводились в системе отсчета, связанной с Землей. В ходе этих экспериментов было установлено, что тело, не испытывающее воздействия со стороны других тел, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Однако нетрудно видеть, что в других системах отсчета это утверждение может оказаться неверным. Например, в системе отсчета, связанной с разгоняющимся автомобилем, объекты, находящиеся за окном - деревья, здания и т.п., - движутся ускоренно в сторону, противоположную направлению движения автомобиля, хотя сумма действующих на них сил остается равной нулю. Таким образом, прежде чем сформулировать законы динамики, необходимо дать определение систем отсчета, о которых будет идти речь в этих законах.
Первый закон Ньютона: Существуют системы отсчета, называемые инерциальными, в которых тела сохраняют состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии действий на них со стороны других тел или при взаимной компенсации этих воздействий.
Все остальные системы отсчета называются неинерциальными.
Воздействие на данное тело со стороны других тел вызывает изменение его скорости, т.е. сообщает ему ускорение. Однако одинаковое воздействие сообщает разным телам разные ускорения, т.е. тела по-разному сопротивляются попыткам изменить их состояние движения. Это свойство тел называют инертностью.
Массой m называется скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности тела при поступательном движении.
Второй закон Ньютона: Произведение массы тела на его ускорение равно действующей на него силе.
|
|
(1) |
ma |
F . |
50