Физика первый семестр / Ресурсы / Лабы Механика СПИРИДОНОВ

Лабораторная работа № 13

Распределение Максвелла

Цель работы: изучение распределения Максвелла по модулю скорости с помощью гистограммы распределения по скоростям стеклянных шариков, хаотически движущихся в замкнутом объеме.

Оборудование: стеклянные шарики; устройство для реализации хаотического движения шариков; приемник шариков; источник питания; стробоскоп; компьютер; стойка с пробирками; секундомер; линейка; приспособления для пересыпания шариков (воронка, крышка приемника).

Продолжительность работы: 4 часа.

Теоретическая часть

Распределение Максвелла - это закон распределения по скоростям молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии при отсутствии внешних силовых полей. В равновесном состоянии молекулы движутся хаотически, все направления движения равновероятны. При выводе закона не делается никаких предположений относительно структуры молекул и характера взаимодействия между ними. Поэтому полученное Максвеллом распределение применимо не только для идеального газа, но и для других макроскопических систем, находящихся в равновесном состоянии, если движение частиц описывается уравнениями классической механики. В дальнейшем для определенности будем рассматривать идеальный газ.

Для количественного описания распределения молекул по значениям скорости введем, следуя Максвеллу, пространство скоростей. Зададим начало отсчета и прямоугольные координатные оси. По координатным осям будем откладывать значения проекций x , y и z скоростей

отдельных молекул. Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом

пространстве - конец вектора . Из-за взаимодействия молекул положения точек будут менять-

ся, но их плотность в любой физически бесконечно малой области пространства скоростей будет оставаться неизменной вследствие равновесного состояния газа.

Пусть n - концентрация молекул газа, а dn x - среднее количество молекул в единице объема, которые имеют проекции скорости в интервале от x до x d x . Тогда вероятность

ная температура.

141

Функция x формулы (2) содержит множитель m0 2 kT . Этот множитель определен в результате нормировки функции x . Утверждение, что молекула имеет какое-то значение проекции скорости x , является достоверным. Вероятность достоверного события равна единице, поэтому условие нормировки функции x имеет вид

ветствии с теоремой об умножении вероятностей, вероятность dP того, что проекции скорости молекулы одновременно окажутся в указанных интервалах, равна:

где dn x , y , z - среднее количество молекул в единице объема, имеющих проекции скорости

Функция (5) также нормирована на единицу.

Вероятность dP того, что молекула имеет модуль скорости в интервале от до d , можно найти, умножив функцию f на объем шарового слоя радиусом толщиной d :

142

Сравнивая выражения (6) и (7), получим с учетом (5):

Максвелла (8) позволяют найти вероятность того, что модуль скорости молекулы газа окажется в заданном интервале скоростей 2 1 :

Зная вероятность P (10), можно найти среднее количество молекул в единице объема, которые имеют модуль скорости в интервале :

При описании состояния газа используют три характерные скорости молекул: в - наибо-

рость находится из условия dFd 0 . Формула для вычисления наиболее вероятной скорости имеет вид

143

Если значение наиболее вероятной скорости в определить экспериментально, можно, используя (13), рассчитать теоретический вид функции распределения Максвелла по модулю ско-

2 2 F d .

0

Выполняя интегрирование и извлекая из полученного выражения квадратный корень, для

Физический смысл среднеквадратичной скорости заключается в том, что ее квадрат кв2

определяет среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы.

Объектом для исследования в настоящей лабораторной работе является макроскопическая система, состоящая из большого числа стеклянных шариков. В специальном устройстве реализуется хаотическое движение этих шариков. Через выходное отверстие устройства шарики вылетают в приемник. В результате, по истечении определенного времени, в приемнике визуализируется в виде гистограммы картина распределения шариков по скоростям. По полученной гистограмме нужно определить наиболее вероятную скорость в . Затем по формуле (13) рас-

считать теоретическую функцию распределения Максвелла.

В заключение отметим два важных обстоятельства. Во-первых, закон распределения скоростей в пучке вылетевших шариков отличается от распределения в рабочем объеме устройства, реализующего их хаотическое движение. Дело в том, что более быстрые шарики будут в относительно большем количестве попадать в пучок. Поэтому пучок будет обогащен более быстрыми шариками. Во-вторых, функция распределения шариков в рабочем объеме отличается от функции распределения Максвелла из-за того, что макроскопическая система шариков не является замкнутой (для поддержания стационарного состояния, которое характеризуется определенным распределением скоростей, необходим постоянный приток энергии). В результате экспериментальное распределение может немного отличаться от распределения, рассчитанного по формуле (13).

144

Описание установки

На рис.2 представлена фотография экспериментальной установки для реализации режима хаотического движения стеклянных шариков. Шарики засыпают в рабочий объем устройства 16 через отверстие 6. Рабочий объем 5 ограничен с боков стенками корпуса устройства 16, снизу - основанием 11, сверху - поршнем 7. Шарики приводятся в хаотическое движение колебаниями основания 11. Частоту колебаний можно изменять, регулируя напряжение источника питания 3. Стробоскоп 4 предназначен для измерения частоты колебаний основания 11.

Рис.2. Экспериментальная установка

Величину рабочего объема уменьшают или увеличивают, изменяя положение поршня 7 по вертикали с помощью держателя 9 и винта 8. Положение устройства 16 по вертикали фиксируют, зажимая винт 18. Горизонтальность установки устройства 16 контролируют с помощью уровня, вмонтированного в верхнюю часть корпуса. При необходимости горизонтальность регулируют винтами 17.

145

ками в форме дуги окружности. Коллектор 13 закреплен на основании приемника 14. Основание 14 изготовлено из прозрачного оргстекла. Оно также разделено на 24 отсека вертикальными перегородками. В средней части каждого отсека коллектора имеется отверстие, через которое шарик может свободно попасть в соответствующий отсек основания приемника. Горизонтальность установки приемника шариков можно отрегулировать винтами 15 с помощью имеющегося в верхней части коллектора уровня. Чем больше горизонтальная составляющая скорости шарика, вылетевшего из выходного отверстия рабочего объема, тем в более удаленный от устройства 16 отсек коллектора этот шарик попадет. В результате при достаточном времени проведения эксперимента распределение шариков по отсекам будет отображать распределение их скоростей в пучке.

В целях подготовки проведения эксперимента был выполнен количественный расчет параметров движения тела, брошенного горизонтально, в поле сил тяжести Земли. Результаты представлены в табл.1. Используйте данную таблицу для записи результатов измерений и последующих расчетов.

Таблица 1

Таблица для записи результатов измерений и расчетов

Ni

146

В таблице приняты следующие обозначения:

i - номер отсека коллектора приемника шариков, номер i = 1 имеет отсек наименьшей площади, ближайший к устройству 16;

Si - расстояние по горизонтали, измеренное от отверстия 12 до перегородки, разде-

ляющей i и i +1 отсеки;

i - максимальная скорость шарика, попавшего в i -й отсек; величина скорости рассчитывалась по формуле:

i 2gh Si ,

где g = 9,8 м/c2 - ускорение свободного падения; h = 8см - расстояние между выходным отверстием кюветы и верхним краем перегородок коллектора;

i - разница между максимальной и минимальной скоростью шарика, попавшего в

i-й отсек, эта величина рассчитывалась по формуле i i i 1 ;

li - высота столба шариков в i -м отсеке основания приемника шариков;

Ni - число шариков в i -м отсеке основания приемника шариков;

F i эксп - экспериментальная функция распределения скорости вылетевших шари-

ков;

F i теор - функция распределения Максвелла по модулю скорости.

В процессе проведения эксперимента количество шариков в рабочем объеме будет уменьшаться. Для того чтобы исключить возможные эффекты, связанные с нарушением стационарного состояния в процессе эксперимента, в рабочий объем следует добавлять некоторое количество шариков через определенные интервалы времени. С этой целью следует заранее заготовить несколько пробирок с определенным количеством шариков и разместить эти пробирки в стойке 2 вблизи устройства 16.

Крышка 1 (см. рис.2) используется при извлечении шариков из основания приемника 14.

Экспериментальная часть

Упражнение 1. Определение распределения скоростей шариков.

1.Подготовка эксперимента.

1.1.Убедитесь, что внешний вид экспериментальной установки соответствует рис.2.

1.2.Проверьте, чтобы расстояние между выходным отверстием кюветы и верхом перего-

родок коллектора h было равно 8 см. Если это не так, установите устройство 16 на нужную высоту с помощью винта 18 (рис.2). В нижней части устройства 16 вблизи кюветы есть красная метка. Эта метка должна находиться на уровне перегородок коллектора. Установите приемник шариков вплотную к торцу устройства 16.

1.3. При необходимости с помощью винтов 15 и 17 установите горизонтальное положение устройства 16 и приемника шариков 13.

147

1.4.Проверьте, чтобы выходное отверстие устройства 16 было закрыто: заслонка 10 должна находиться в нижнем положении.

1.5.С помощью держателя 9 и винта 8 установите высоту H поршня 7 в соответствии с индивидуальным заданием (табл.2).

Таблица 2

Индивидуальные задания

1.6.Устройство 16 должно быть заполнено шариками так, чтобы они образовали слой высотой 3 - 4 шарика, что составляет 6 - 8 мм. Если шариков меньше, заполните рабочий объем прибора 16 через отверстие 6 следующим образом. Шарики из пробирки № 1, где хранится их запас, медленно засыпайте в отверстие 6 (см. рис.2). При этом следите, чтобы шарики не застревали. Для равномерного распределения шариков в рабочем объеме устройства 16 можно проводить пробное включение источника питания 3 (выключатель - на задней стенке прибора). Выходное напряжение источника U задается поворотом ручки регулировки напряжения. Выберите значение U в диапазоне 8 - 12 В.

1.7.Из пробирки № 1 с запасом шариков насыпьте в другие десять пробирок такое количество шариков, чтобы высота их столбика в каждой пробирке была примерно равна 4 - 5 мм.

2.Проведение эксперимента.

2.1.Включите стробоскоп 4 (выключатель - на задней стенке прибора). С помощью ручки на задней стенке стробоскопа установите частоту мерцания в соответствии с индивидуальным заданием (см. табл.2).

2.2.Включите источник питания 3. Регулируя напряжение на выходе источника, с помощью стробоскопа установите нужную частоту колебаний основания 11. (При совпадении частоты колебаний основания 11 с частотой мерцания стробоскопа основание кажется неподвижным.) Выключите стробоскоп.

2.3.Перемещая заслонку 10 в верхнее положение, откройте выходное отверстие устройства 16. Одновременно включите секундомер. В течение 10 - 12 мин наблюдайте за заполнением отсеков приемника шариками. Через каждую минуту пополняйте рабочий объем предварительно заготовленными в пробирках шариками. Один раз в 2 - 3 мин проверяйте частоту колебаний основания 11 с помощью стробоскопа. При необходимости частоту подрегулируйте.

2.4.По окончании эксперимента выключите секундомер и уменьшите напряжение на источнике питания до нуля. Выключите источник 3. Закройте выходное отверстие, переместив заслонку 10 вниз.

2.5.С помощью кисточки очистите отсеки коллектора от оставшихся там шариков. Аккуратно снимите коллектор 13 с основания 14.

3.Обработка результатов эксперимента.

3.1. Определите число шариков Ni в каждом отсеке основания приемника шариков:

-в тех отсеках, где шариков немного, посчитайте их точное количество. Результат занесите

втабл.1;

148

- если шариков в отсеке много, измерьте высоту столба шариков li . Полученное значение li (в миллиметрах) занесите в табл.1. Рассчитайте число шариков Ni по одной из следующих формул:

N1 l1 1,506 - для первого отсека;

Ni li 2,876 - для всех остальных отсеков, кроме первого.

При использовании этих эмпирических формул погрешность определения количества шариков не превышает 4%.

Результат округлите в большую сторону и занесите в табл.1.

3.2.Наденьте крышку 1 на основание 14 и зафиксируйте ее. Найдите на крышке отверстие, через которое шарики могут быть удалены из отсеков основания. Снимите основание с крышкой с треноги. Следите за тем, чтобы отверстие в крышке было ориентировано вверх. Используя воронку, пересыпьте шарики в пробирку № 1. Снимите крышку и закрепите коллектор 13 на основании 14.

3.3.Откройте файл lab13_rezult.xls. Занесите значения Ni в соответствующую колонку

открывшейся таблицы (для величин Ni зарезервированы ячейки D7 - D30). Программа «Excel» в ячейке D31 вычислит сумму Ni . Занесите эту сумму в табл.1.

3.4. Программа «Excel» рассчитает значения функции распределения F i эксп для каж-

дого отсека и выведет их в ячейках I7 - I30. Из формулы (9) следует, что плотность вероятности попадания шарика в i-й отсек определяется формулой:

жает результаты эксперимента по выявлению распределения стеклянных шариков по скоростям.

3.7. Используя формулу (13) и полученное значение эксп , рассчитайте в программе «Ex-

в

cel» теоретический вид распределения Максвелла F i теор . Для этого:

-удалите все данные в ячейках J8 - J30;

-щелкните мышью по ячейке J7;

-в строке формул в соответствии с правилами программы «Excel» после знака «=» должна быть записана формула (13), например, так:

«=(4/КОРЕНЬ(ПИ())*(1/0,423)^3*H7^2*EXP(-(H7^2)/(0,423^2)))».

149

Введите в выражение, записанное в строке формул, значение эксп из п. 3.6 вместо вели-

в

чины 0,423 в приведенном примере. Вид окна программы «Excel» представлен на рис.4. Нажмите клавишу Enter. В поле J7 появится значение F i теор :

-снова щелкните мышью по ячейке J7;

-в правом нижнем углу ячейки J7 появится черный квадратик (рис.4).

Рис.4. Вид окна программы «Exсel» в начале процедуры расчета F i теор

Подведите курсор мыши (в виде креста) к этому квадратику. Когда цвет курсора изменится с белого на черный, «зацепите» квадратик и «потяните» его по вертикали до ячейки J30. В ячейках J8 - J30 должны появиться остальные значения F i теор , где i 2,...,24;

- результаты расчета F i теор занесите в табл.1;

- закройте программу «Excel», не сохраняя полученных данных. 3.8. Постройте график зависимости F i теор

котором построена гистограмма F i эксп . Сравните графики, сделайте вывод.

150