Рис.7. Внешний вид лицевой панели универсального счетчика
7.Непосредственно перед измерением частоты необходимо убедиться, что:
длина струны соответствует заданной величине (порожки могут немного сместиться при изменении натяжения струны);
натяжение соответствует заданной величине (натяжение может измениться при передвижении порожков);
тень от струны совпадает с прорезью щели фотоприемника.
Данные проверки необходимо повторять перед каждым последующим измерением.
8.Возбудите колебания струны легким ударом резинового молоточка. Фиксировать показания счетчика частоты следует не сразу, а после затухания высоких гармоник. Этот процесс можно контролировать с помощью осциллографа: на его экране в момент измерения должны наблюдаться колебания, близкие к синусоидальным (см. рис.5).
9.Повторите измерения, постепенно увеличивая силу натяжения до F = 30 Н, с шагом 5 Н.
В н и м а н и е! Не устанавливайте силу натяжения струны больше 30 Н! Это может привести к ее разрыву.
Результаты измерений занесите в табл.1.
Таблица 1
Результаты измерения силы натяжения струны и основной частоты собственных колебаний
F, H |
, Гц |
2 , Гц2 |
2 2 , Гц2 |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
10. Заполните табл.1. Погрешность измерения частоты примите равной 0,1 Гц , а погрешность измерения силы натяжения - F 1 H . Постройте график зависимости квадрата час-
тоты 2 от силы натяжения F . Согласно (11) эта зависимость должна быть линейной:
2 |
1 |
F. |
(12) |
|
|
||||
4l 2 |
||||
|
|
|
||
|
л |
|
|
111
Определите по графику угловой коэффициент прямой. Используя эту величину, рассчитай-
те линейную плотность проволоки л и ее погрешность. |
|
|||
11. Линейная и объемная плотности связаны соотношением: |
|
|||
л |
|
4 л |
, |
(13) |
|
||||
S |
|
d 2 |
|
|
где S и d - соответственно площадь и диаметр поперечного сечения проволоки.
Используя формулу (13), рассчитайте объемную плотность материала струны и погрешность этой величины. Погрешность измерения длины струны принять равной l 1 мм, а погрешность измерения диаметра струны - d 0,01мм. Сравните полученное значение с табличным.
Упражнение 2. Измерение зависимости основной частоты собственных колебаний струны от ее длины.
1.Установите длину струны l 30 см и силу натяжения F 30 Н .
2.Измерьте частоту колебаний струны.
3.Постепенно увеличивая длину струны до l 60 см с шагом 5 см, измерьте зависимость
основной частоты собственных колебаний струны от ее длины. Результаты занесите в табл.2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
Результаты измерения длины струны |
|
|
|
|
||||
|
и основной частоты собственных колебаний |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l, см |
, Гц |
T |
1 |
|
T |
1 |
|
, мс |
|
|
, мс |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
… |
… |
|
… |
|
… |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Заполнив табл.2, постройте график зависимости периода колебаний струны T от ее длины l . Согласно (11) эта зависимость должна быть линейной:
|
|
|
T 2 |
л l . |
|
|
F |
|
Определите по графику угловой коэффициент прямой. Используя эту величину, рассчитайте линейную плотность проволоки, объемную плотность материала проволоки и погрешности этих величин.
Сформулируйте выводы по результатам работы. Основные результаты измерений зане-
сите в табл.3.
|
|
|
Таблица 3 |
|
Основные результаты лабораторной работы |
||
|
|
|
|
Объемная плотность материала проволоки из _________________: , г/см3 |
|||
|
|
|
|
Упражнение 1 |
|
Упражнение 2 |
Табличное значение |
|
|
|
|
… |
|
… |
… |
|
|
|
|
112
Подготовка к работе
1.Физические понятия, законы:
гармонические колебания, амплитуда, фаза, частота;
упругие волны;
скорость волны, частота, длина волны, волновое число;
уравнение плоской волны;
волновое уравнение;
стоячие волны, узлы и пучности;
собственные колебания струны.
2.Выведите формулу (11).
3.Расчетное задание.
Пользуясь формулой (11), для струны длиной l 50 см , натянутой с силой F 20 Н , постройте на миллиметровой бумаге график зависимости основной частоты собственных колебаний от линейной плотности л в диапазоне л от 0 до 2 г/м с шагом 0,2 г/м.
4.Сформулируйте цель работы и порядок ее выполнения.
П р и м е ч а н и е. Пункты 2 - 4 выполните письменно при подготовке к лабораторной работе.
Рекомендуемая литература
1.Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. -
263 с. § 1.1 - 1.6.
2.Савельев И.В. Курс общей физики: в 4 т. Т.1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: учеб. пособие / Под общ. ред. И.В. Савельева. - М.: КНОРУС, 2009. - 528 с. § 8.1 - 8.8. Его же. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. § 14.1 - 14.8.
113
Приложение
Вывод формулы для скорости распространения волны в струне
На рисунке схематически показана натянутая струна.
К выводу волнового уравнения колебаний струны
Выделим малый ее фрагмент 1 - 2 и запишем для него второй закон Ньютона:
|
|
|
|
ma |
F |
F1 |
F2 , |
где F1 и F2 - силы, действующие на левый и правый концы фрагмента струны соответственно. В проекциях на вертикальную ось Y :
m 2 y F1 sin 1 F2 sin 2 .
t 2
При малых смещениях sin tg , а тангенс угла наклона кривой в свою очередь равен производной функции: tg y
x . Таким образом, sin y
x .
Массу, приходящуюся на единицу длины струны, принято называть линейной плотностьюл . Тогда массу фрагмента можно выразить через его длину: m лl12 . При малых колебаниях длину фрагмента струны можно принять равной его проекции на ось X: m л dx . В результате получим:
|
|
dx |
2 y |
F |
|
y |
F |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
л |
|
t |
2 |
2 |
|
x 2 |
1 |
x 1 |
|
114
Пренебрегая изменением силы натяжения F вдоль шнура, получим:
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
x |
2 |
|
|
x 1 |
|
|
F |
|
|
y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||
|
t 2 |
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
F 2 y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
t 2 |
|
л x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||||||||||||||
Это уравнение совпадает с волновым уравнением (6) при V |
F / л . В связи с этим ре- |
|||||||||||||||||||
шением вышеприведенного уравнения являются плоские волны (3), распространяемые с фазовой скоростью V 
F / л .
115
Лабораторная работа № 11
Изучение колебаний связанных маятников
Цель работы: исследование колебаний системы двух связанных маятников; измерение собственных частот колебаний и частоты биений; экспериментальная проверка соотношения между этими частотами; исследование зависимости частоты биений от параметров, определяющих связь маятников в системе.
Оборудование: два физических маятника, соединенных пружиной и оснащенных датчиками угла поворота; источник питания; электронный блок управления «Cobra3»; компьютер.
Продолжительность работы: 4 часа.
Теоретическая часть
1. Биения
Гармоническими колебаниями называются колебания, которые описываются функцией
x(t) Acos( t ) , |
(1) |
где x - координата колеблющейся точки; A - амплитуда колебаний; 2 / T |
- циклическая |
частота; T - период колебаний; - начальная фаза. |
|
Гармонические колебания совершает, например, маятник при малых амплитудах. Функция
(1) является решением дифференциального уравнения |
|
||
|
d 2 x |
2 x 0 , |
(2) |
|
|
||
|
dt2 |
|
|
в чем нетрудно убедиться, вычислив вторую производную от функции |
x(t) Acos( t ) и |
||
подставив ее в дифференциальное уравнение (2). Амплитуда колебаний и начальная фаза определяются начальными условиями: координатой и скоростью материальной точки в начальный момент времени.
Некоторые физические задачи сводятся к сложению колебаний. Если суммируются колебания с одинаковыми частотами, то результирующие колебания происходят с той же частотой, а их амплитуда и начальная фаза могут быть найдены, например, с помощью метода векторных диаграмм.
При сложении колебаний с разными частотами возникает сложный, в общем случае, непериодический процесс. Если частоты 1 и 2 складываемых колебаний близки по величине ( 1 2 | | , где 2 1 ), то результирующие колебания имеют характер биений - так называют колебания с пульсирующей амплитудой (рис.1).
116
Рис.1. График биений, рассчитанный по формуле (3) при A 1, 1 10 c 1 , 2 11c 1 (сплошная кривая). Штриховая кривая рассчитана по формуле A0 (t) 2Acos ( 2 1)t / 2
В качестве примера найдем сумму двух колебаний с одинаковыми амплитудами, начальными фазами, равными нулю, и близкими частотами:
|
|
x(t) Acos( t) Acos( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||
|
|
t) 2Acos |
|
2 |
1 t cos |
|
2 |
1 t . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Полученное выражение представим в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) A0 (t) cos( t) , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
; ( ) / 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A (t) 2Acos |
|
2 |
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Величину |
A0 (t) |
можно назвать медленно изменяющейся амплитудой. На рис.1 приведен |
||||||||||||||||
рассчитанный по формуле (3) график при |
A 1, 10 c 1 , |
|
11c 1 . Периодом биений T |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Б |
называют минимальное время, за которое амплитуда колебаний периодически достигает своего
минимального |
(или |
максимального) |
значения. |
Период |
изменения |
функции |
|
A0 (t) 2Acos / 2 t |
равен Т0 2 /( / 2) 4 / , |
а период |
биений, равный |
периоду |
|||
|
, как видно из рис.1, в два раза меньше: TБ 2 / . |
|
|
||||
функции |
A0 (t) |
|
|
||||
Определяя частоту биений формулой Б 1/TБ , получим: |
|
|
|||||
|
|
|
Б 2 1 , |
|
|
(4) |
|
где 1 1 / 2 ; 2 |
2 / 2 . |
|
|
|
|
||
117
2. Колебания связанных маятников
Рассмотрим колебания в системе, состоящей из двух маятников, соединенных между собой с помощью упругой пружины (рис.2).
Будем предполагать, что маятники совершают колебания в одной плоскости, и каждый представляет собой шар массы m , закрепленный на легком стержне длины l , причем l значительно больше радиуса шара (т.е. маятники считаются математическими). Расстояние от точки крепления пружины на стержне до оси вращения маятника обозначим b.
Из теоретического анализа этой системы (см. при-
|
ложение 1) |
следует |
вывод, что она характеризуется |
||||||||||
Рис.2. Схематическое изображение |
не одной, а двумя собственными частотами |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
системы из двух связанных маятников |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2kb |
2 |
|
|
|
|
|
g / l ; |
2 |
|
, |
(5) |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
mgl |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где g - ускорение свободного падения; k - коэффициент жесткости пружины.
При малых амплитудах колебательный процесс представляет собой сумму гармонических колебаний с этими собственными частотами:
1 |
A1 cos( 1t 1) A2 cos( 2t 2 ) ; |
(6) |
2 |
A1 cos( 1t 1) A2 cos( 2t 2 ) . |
(7) |
Формулы (6), (7) описывают колебания маятников при произвольных начальных условиях, которым соответствуют конкретные значения величин A1, A2 , 1, 2 . Рассмотрим три важных специальных случая.
1) Синфазные колебания. Если A2 0 , то 1(t) 2 (t) и формулы (6), (7) описывают синфазные колебания маятников с частотой 1 . В этом случае длина пружины при колебании маятников не изменяется, поэтому пружина не оказывает влияния на колебательный процесс и частота синфазных колебаний совпадает с собственной частотой 1 
g / l уединенного маятника.
2)Противофазные колебания. Если A1 0 , то формулы (6), (7) описывают противофазные гармонические колебания маятников с частотой 2 . При этом в любой момент времени углы отклонения маятников отличаются лишь знаком: 1(t) 2 (t) . Сила упругости, возникающая при деформации пружины, одинаковым образом ускоряет возвращение каждого из маятников к положению равновесия. Поэтому соответствующая частота колебаний 2 больше, чем 1 .
3)Биения. При A1 A2 A и 1 2 0 получим
1 A[cos( 1t) cos( 2t)] , |
2 A[cos( 1t) cos( 2t)] . |
(8) |
||||||||
Если собственные частоты близки |
2 1 1 |
2 , то формулы (8) |
описывают |
|||||||
биения. При t 0 из (8) следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
|
|
||
1(0) 0 ; |
d 1 |
|
|
0 ; |
2 (0) 2A ; |
|
|
0 . |
|
|
dt |
|
t 0 |
|
dt |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Это означает, что рассматриваемый режим колебаний можно возбудить, если в начальный момент времени оба маятника отпустить без начальной скорости: первый из положения, смещенного от равновесного положения на угол 1(0) 2A , а второй из положения равновесия.
118
Для определения частоты биений воспользуемся формулами (5):
2 |
2 |
|
2kb2 |
2 |
2kb2 2 |
2 |
|
1 |
21 1 mgl 1 mgl
иприближенным соотношением 22 12 ( 2 1)( 2 1) ( 2 1)2 1 . Из этих выраже- ний найдем 2 1 kb2 1 / mgl и 1
|
|
|
|
|
|
kb2 |
. |
(9) |
|
|
|
||||||
|
Б |
|
2 |
1 |
1 mgl |
|
||
Если варьировать начальные условия (углы отклонения маятников и их начальные скорости при t 0 ), то можно реализовать различные виды колебаний, частными случаями которых являются три рассмотренных выше; в общем случае происходят колебания с пульсирующей амплитудой.
Описание установки
Установка содержит два маятника 1, соединенных легкой пружиной 2 (рис.3). На оси вращения каждого маятника закреплен датчик угла поворота 6, подключенный к блоку питания 3. Сигнал с выхода датчика пропорционален углу отклонения маятника от положения равновесия. После преобразования в цифровую форму в устройстве «Cobra3» 4 сигнал поступает в компьютер для обработки.
Рис.3. Установка для изучения колебаний связанных маятников
119
|
Датчик угла поворота выполнен на основе |
|
резистивного моста (рис.4). Ползунок реостата |
|
связан со стержнем маятника. При повороте |
|
стержня изменяется соотношение сопротивлений |
|
резисторов и, следовательно, напряжение Uвых , |
|
измеряемое вольтметром. Это напряжение про- |
|
порционально углу отклонения маятника. |
|
Ручная регулировка второго реостата (верхнего |
|
на рис.4) необходима для установки нулевого |
|
напряжения в положении равновесия маятника. |
|
Положение ползунка этого реостата можно уста- |
|
новить с помощью рукоятки 5 (см. рис.3). |
|
Каждый из маятников представляет собой |
|
стержень, к которому прикреплен груз в виде |
Рис.4. Схема резистивного датчика |
диска. Масса груза m (1,01 0,01) кг, диаметр |
угла поворота |
d = 80 мм. Расстояние от центра масс маятника |
|
до точки подвеса может изменяться в небольших пределах ( l 100...110 см) вращением узла крепления диска к стержню. В случае необходимости такой регулировки пригласите препо-
давателя или инженера.
Экспериментальная часть
Подготовка оборудования к работе
1. Установите заданное расстояние b |
между точкой крепления пружины к маятнику и |
||||||
осью вращения в соответствии с индивидуальным заданием (табл.1). |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
Индивидуальные задания |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер бригады |
1 и 7 |
2 и 8 |
3 и 9 |
|
4 и 10 |
5 и 11 |
6 и 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние b, см |
30 |
40 |
50 |
|
50 |
60 |
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Включите блок питания, компьютер и запустите программу «Measure».
Упражнение 1. Измерение собственных частот колебаний связанных маятников.
1.Следуя инструкциям (приложение 2), измерьте периоды синфазных и противофазных колебаний.
2.Рассчитайте собственные частоты (частоты синфазных и противофазных колебаний) и
их погрешности: 1,2 1/T1,2 , 1,2 T1,2 , 1,2 1,2 1,2 . Рекомендации по выбору погрешностей приведены в п. 7 приложения 2.
120