Приложение первое история бесконечности

Глава XIX

Первые геометры, без сомнения, обратили внимание на одиннадцать или двенадцать теорем, и если бы они следовали им без отклонений, они оказались бы на краю пропасти; не могли они и не заметить того, что отдельные неопровержимые истины, открытые ими, окружены бесконечностью. Эта догадка смутно мелькнула у них с того момента, как подумали о том, что сторона квадрата никоим образом не может быть соизмерима с диагональю, или о том, что различные окружности всегда могут быть проведены между кругом и его касательной, и т.д.

Если даже кто-то просто вычислял квадратный корень числа 6, он отлично мог заметить, что это - число, лежащее между двумя и тремя, но, какое бы он ни производил деление, корень этот, к значению которого он постоянно приближался, никогда не будет найден. Если рассматривали прямую линию, пересекающую под прямым углом другую прямую, то замечали, что они пересекаются между собой в неделимой точке; но если линии эти пересекались под косым углом, это либо вынуждало допускать, что одна точка превышает по размеру другую, либо мешало что бы тони было понять в природе точек и начале любой величины.

Одно только наблюдение конуса должно поражать ум, ибо его основание, представляющее собой круг, содержит бесконечное количество Линий. Вершина конуса представляет собой нечто бесконечно отличное от линии. Если рассечь этот конус параллельно его оси, мы получим фигуру, стороны которой все больше и больше будут приближаться к сторонам треугольника, образованного конусом, но никогда с ними не совпадут. Бесконечность была повсюду; каким образом получить площадь круга? Как выразить какую бы то ни было кривую?

До Аполлония¹⁴¹круг был изучен лишь как мера углов и как то, что дает определенные средние пропорциональные. Это, кстати, доказывает, что египтяне, обучившие греков геометрии, были весьма посредственными геометрами, хотя и вполне хорошими астрономами. Аполлоний детально занялся сечениями конуса. Архимед рассматривал круг как фигуру, состоящую из бесконечного числа углов, и определил отношение диаметра к окружности настолько точно, насколько это доступно человеческому уму. Он нашел площадь параболы; Гиппократ из Хиоса¹⁴²нашел площадь сегментов круга.

Удвоение куба, тройное сечение угла, недоступные обычной геометрии, и квадратура круга, немыслимая для любой геометрии, были объектом бесполезных поисков древних. На этом пути они раскрыли некоторые секреты, как это произошло и с искателями философского камня. Стала известна циссоида Диоклеса¹⁴³, приближающаяся к своей директрисе, но так и не совпадающая с ней, конкоида Никомеда¹⁴⁴, судьба которой аналогична, спираль Архимеда. Все это было открыто без алгебры, без счета, так сильно помогающего человеческому уму и служащего ему не столько просветителем, сколько проводником.

Как, например, два знатока арифметики, которым надо сделать подсчет, причем один из них делает его, постоянно имея перед своим умственным взором числа, а другой водит по бумаге счетной линейкой, старинной, но надежной, за которой он усматривает искомую истину лишь после нахождения результата и как человек, пришедший к ней с закрытыми глазами, почти так же различаются между собой геометр, не пользующийся счетом, но наблюдающий фигуры и устанавливающий отношения между ними, и алгебраист, выясняющий эти отношения с помощью действий, ничего не говорящих его уму. Однако с помощью первого из этих методов не уйдешь далеко: быть может, он предназначен для существ, стоящих на более высокой ступени, чем мы. Мы не нуждаемся во вспомогательных средствах, подтверждающих нашу слабость. По мере того как объем геометрии расширился, эти вспомогательные средства стали нам более необходимы.

Англичанин Гариот¹⁴⁵, Вьетт из Пуату¹⁴⁶и особенно знаменитый Декарт применяли знаки и буквы. Декарт подчинил кривые алгебре и привел все к алгебраическим уравнениям.

Во времена Декарта, Кавальери¹⁴⁷, священник Ордена иезуитов, в наше время более не существующего, опубликовал в 1635 году "Геометрию неделимых": это совсем новая геометрия, согласно которой плоскости образуются бесконечным числом линий, а тела - бесконечным числом плоскостей. Правда, он не более осмеливался произнести слово "бесконечность" в математике, чем Декарт - в физике. Оба они пользовались смягченным термином неопределенность. Между тем у Роберваль¹⁴⁸во Франции были те же идеи, а в Брюгге жил иезуит, который сделал гигантские шаги на этом пути, но идя иной дорогой. Это был Грегуар пе Сент-Винсент¹⁴⁹, который, поставив перед собой ошибочную цель и считая, что он открыл квадратуру круга, и в самом деле открыл удивительные вещи. Он привел к конечным отношениям саму бесконечность и познал ее в великом и малом.

Но исследования эти были потоплены в трех томах in-folio: в них недоставало методичности, и, что самое худшее, явная ошибка в конце книги повредила всем содержащимся в ней истинам.

Между тем продолжались непрерывные поиски квадратур кривых. Декарт пользовался касательными; Ферма, советник из Тулузы, применил свой закон максимальных и минимальных; закон этот заслуживал более справедливого отношения, чем проявил к нему Декарт. Англичанин Уоллис в 1655 году отважно предложил арифметику бесконечных [чисел] и бесконечных рядов в числе.

Милорд Брункер воспользовался таким рядом, чтобы получить квадратуру гиперболы. Значительная доля этого открытия принадлежит Меркатору де Гольстейну; однако главным образом речь шла здесь о построении кривых, т.е. о том, за что так удачно взялся лорд Брункер. Шли поиски всеобщего метода подчинения бесконечности алгебре, подобно тому как Декарт подчинил ей конечное; именно этот метод и открыл Ньютон в возрасте двадцати трех лет; за это он заслуживает такого же восхищения, как наш юный г-н Клеро¹⁵⁰, который в возрасте тринадцати лет сумел опубликовать Трактат по измерению кривых с двойным изгибом. Метод Ньютона состоит из двух частей - дифференциального и интегрального исчисления.

Дифференциальное исчисление состоит в том, чтобы найти величину, меньшую любой определимой и которая, будучи взята бесконечное число раз, оказывается равной данной величине; именно это в Англии называют методом флюент, или флюксий.

Интегрирование состоит в получении итоговой суммы дифференциальных величин.

Знаменитый философ Лейбниц и глубокий математик Бернулли заявляли свои права, один - на дифференциальное, другой - на интегральное исчисление; надо быть способным открывать столь великие вещи, чтобы осмелиться приписать себе честь этого открытия. Почему трем великим математикам, ищущим истину, ее не открыть? Торичелли, Ла Лубер¹⁵¹, Декарт, Роберваль, Паскаль разве не доказали, каждый со своей стороны, свойства циклоиды, именовавшейся в их время рулеткой? Не наблюдали ли мы часто ораторов, трактующих один и тот же предмет, использующих одни и те же мысли, но под различными названиями? Символы, которыми пользовались Ньютон и Лейбниц, были различными, но мысли их были одни и те же.

Как бы то ни было, бесконечность стали в то время подчинять счету.

Незаметно привыкли к тому, что получали бесконечные величины неравной величины. Это столь дерзкое построение испугало одного из своих архитекторов. Лейбниц не осмелился своим бесконечным дать иное наименование, кроме "несоизмеримых", но г-н де Фонтенель пришел наконец к тому, что установил эти различные ряды бесконечных без всяких оговорок, и, конечно, он был совершенно уверен в своем деянии, коль скоро он на него дерзнул.