V. Інтегрування тригонометричних функцій.

1. Розглядаються інтеграли вигляду

А)Якщо , тоді

Б)Якщо , тоді

В)Якщо , тоді

Г)Якщо R- довільна функція тоді застосовують універсальну тригонометричну підстановку , звідки.

2.Розглядаються інтеграли .

А)Якщо >0 ,тоді

Б)Одне із чисел m чи n-непарне, наприклад, ,тоді

тобтоспрощує підінтегральний вираз.

В) Перетворення добутку тригонометричних функцій в суму згідно відомих співвідношень:

;

;

.

Приклад 4.

,функція під інтегралом непарна по sinx, тоді , отже

=.

Завдання 9

Знайти неозначені інтеграли.

3.5 Означений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.

Запис вигляду називають означеним інтегралом (інтегралом з означеними границями). Якщо дляіснує первісна,тоді справедлива формула Ньюьона-Лейбніца:

Заміна змінної в означеному інтегралі виконується так

.

Формула інтегрування частини матиме вигляд .

Приклад1

.

Приклад 2

2. Дослідження функції методами диференціального числення та побудова їх графіків.

При побудові графіка даної функції доцільно користуватися наступною схемою;

1) знайти область визначення функції;

2) дослідити функцію на парність, непарність і періодичність;

3) знайти точки перетину графіка функції з осями координат;

4) знайти проміжки знакосталості функції;

5) знайти асимптоти;

6) знайти проміжки зростання і спадання, екстремуми;

7)знйти проміжки опуклості вниз та вгору, точки перетину.

Зауваження. У деяких випадках зручно змінювати порядок указаних пунктів.

Приклад.

Провести повне дослідження функції y=і побудувати її графік.

Розв΄язок.

Область визначення функції – вся числова вісь, крім точокx = -2 і x = 2, тобто . Функція неперіодична. Дослідимо її на парність і непарність:

Отже, дана функція непарна i її графік симетричний відносно початку координат. Тому далі будемо досліджувати функцію тільки при x 0 Знайдемо точки перетину графіка з осямикоординат:

з віссю Оy гpафік перетинасться при x = 0, звідси y = (0) = 0, тобто М(0;0) - точка перетину з віссю Оy;

з віссю Ox графік перетинається, якщо f(x) = 0, тобто , звідки х= 0. Таким чином,M ( 0;0 ) - єдина точка пеpетинy гpафiка з осями координат.

Знаходимо проміжки знакосталості функції:

i оскільки ми розглядаємо тільки

випадок x 0, то одержуємо 0< x< 2.

Аналогічно f(x) < 0 при x > 2.

Далі, =+∞,=-∞ тобто пряма х = 2 – вертикальна асимптота. Звідси, в силу симетрії, випливає, що пряма х=-2 – також вертикальна асимптота.

Знайдемо похилі асимптоти:

k===-1,

b====0, тобто прямаy=-x-похила асимптота при x→+∞ (те саме i при х). Горизонтальних асимптот графік намає. Знайдемо проміжки монотонностіi екстремуми функції, досліджуючи першу похідну:

Звідси видно (див. рис. 1), що при х0 функція має максимум в точці

(причому ), зростає на (0;2)i () і спадає на

Рис. 1

Щоб визначити проміжки опуклості і точки перегину, обчислимо другу похідну:

Звідси зрозуміло, що при x функція випукла вropy ( тобто < 0) на (2;+)i випукла вниз (тoбтo f "(х) > 0) на (0;2), x = 0 - точка перегину.

Враховуючи проведено дослідження, будуємо графік функції при x0, a потім симетрично відображаємо його віднoсно початку координат (див. pиc.2).

Рис.2

Завдання 8

Дослідити методами диференціального числення функції та побудyвати їх графіки.