86. Проверка статистических гипотез. Нулевая и альтернативные гипотезы. Ошибки первого и второго рода.

Основные понятия проверки статистических гипотез

Применяется для того, чтобы полученную по выборке инфу использовать для определения или суждения о законе распределения генеральной совокупности.

1) Выбор уровня значимости λ

2) Описание статич. модели, т.е. вида закона распределения вероятности различных состояний изучаемого объекта.

3) Формулировка нулевой и альтернативных гипотез.

4) Выбор критериальной статистики(критерия), закон распределения которой известен.

5) Опред-е подход-й критической области принятого статистического критерия.

6) Вычисление значения критерия и отклонения нулевой гипотезы (Если значение лежит в критической области или принятии ее при непопадании вычисленного значения в критическую область)

H0 – нулевая гипотеза

H0 : F(x) = F0 (x)

Мы допускаем в качестве функции распред-я генеральной совокупности функцию F0 (x).

Пример:

F(0) (x) может быть ф-ей норм-го распределения с параметрами µ и δ0, т.е.

F0 (x) = N (x, µ, δ0^2)

Если вид функции распределения задан отдельными параметрами и гипотеза строится именно по этим параметрам, то говорят о параметрических гипотезах.

Например, допущение по неизвестному параметру µ нормального распределения является параметрической гипотезой: H0 : µ = µ0; µ0 – предполагаемое значение.

В противоположность этому статистические гипотезы общего порядка будут называться непараметрическими гипотезами. В основе таких гипотез нет никаких допущений о конкретном виде распределения, и производится проверка наличия предполагаемой функции распределения.

Для гипотезы относительно неизвестного параметра a с H0 : a = a0 альтернативная гипотеза может быть сформулирована 3 способами:

1) H1: a ≠ a0

2) H1: a > a0

3) H1: a < a0

С помощью статистических методов и критериев о проверке гипотез устанавливается соответствуют ли взятые из выборки данные выдвинутой H0 или нет.

Суждение о принятии или отклонении выдвинутой гипотезы может быть высказано с некоторой вероятностью, с некоторой степенью достоверности, что не исключает возможность ошибки в оценке измерений.

Ошибки могут быть двух видов

- ошибки первого рода (непринятие правильной H0)

- ошибки второго рода (принятие неправильной H0)

Вероятность совершения ошибки первого рода называется уровнем значимости λ

S = 1 – λ - статистическая достоверность

Выбор λ зависит от поставленной задачи и осуществляется до начала проверки.

Практически является целесообразным принимать уровень значимости равный 0,05; 0,01 или 0,001.

Для проверки выдвинутых H0 используется специально подобранная случайная величина, для которой известно точное или приблизительное значения распределения вероятностей.

Эту специальную величину называют статистическим критерием. По значению выборки находят наблюдаемое значение критерия, которое сравнивают с критическим.

Вся область возможных значений критерия разбивается на 2 непересекающиеся подобласти. Одна для принятия H0, другая для ее отклонения. При этом все они являются интервалами или их объединениями на вещественной прямой.

Различают односторонние и двусторонние критические области.

Односторонние области бывают право- и левосторонними.

Правая область для критич. К определяется К > Ккр; Ккр – Критическое значение статистического критерия .

Левая: К < Ккр.

Двустор-я: К < Ккр ^2 ////Дальше в этой строчке не разобрать какая муть написана

Если Л и ПР критические значения являются противоположными числами, то двусторонняя критическая область определяется: |K| > Kкр

Критические значения для односторонних областей определяются из соотношений:

P (K > Kкр) = λ - для правосторонней области

Р (К < Ккр) = λ - для левосторонней

Для двусторонней симметричной области:

Р (К > Ккр) = λ/2, т.е. Р((К) > кр) = λ

Для двусторонней несимметричной области:

Р ( К < Ккр ^2) + P (K < Kкр.пр.) = λ

Для несимметричной области критическое значение обычно выбирается так, чтобы каждое слагаемое в равенстве было λ/2/