3. Открытое шифрование.

Асимметричный криптоалгоритм - алгоритм, в котором для шифрования сообщения используется один ("открытый") ключ, известный всем желающим, а для расшифровки - другой ("закрытый"), существующий только у получателя. Оба ключа связаны между собой.

Такой алгоритм реализует возможность построения протоколов, решающих задачи взаимодействия сторон, которые не доверяют друг другу. Это связано с тем, что в двухключевых шифрах секретный ключ, вырабатываемый пользователем, остаётся известным только ему. Подписать документ может только владелец секретного ключа, а проверить подписанный документ с помощью открытого ключа может любой желающий.

Способ открытого шифрования Эль-Гамаля включает в себя составной частью систему открытого распределения ключей Диффи-Хеллмана. Каждый пользователь выбирает секретный ключ x, вычисляет свой открытый ключ и помещает его в заверенный справочник. Шифрование сообщения T осуществляется с помощью следующего алгоритма:

1. Выбирается случайное число .

2. Вычисляется значение , которое, по сути, является разовым открытым ключом.

3. Используя открытый ключ получателя, вычисляется значение , где - общий секрет обоих собеседников.

4. Получателю отправляется блок шифртекста .

Расшифрование сообщения получателем происходит следующим образом:

1. Вычисляется значение общего секрета .

2. Вычисляется значение .

3. Из полученного шифртекста извлекается сообщение .

Для асимметричного алгоритма RSA первый этап - создание пары ключей: открытого и закрытого, - и передача открытого ключа:

1. Выбираются два простых числа р и q.

2. Вычисляется их произведение .

3. Выбирается произвольное число , что , т. е. число e должно быть взаимно простым с числом .

4. Методом Евклида решается уравнение с неизвестными переменными d и у.

5. Пара чисел (e, n) публикуется как открытый ключ.

6. Число d хранится в секрете, т. к. это и есть закрытый ключ, который позволит читать все послания, зашифрованные с открытого ключа - пары чисел (e, n).

Шифрование производится следующим способом. Отправитель разбивает свое сообщение на блоки и вычисляет выражения . Множество блоков c_i и есть зашифрованное сообщение.

Для того, чтобы прочесть сообщение достаточно возвести его в степень d по модулю n: .

Операции возведения в степень больших чисел трудоемки для современных процессоров, даже если они производятся по оптимизированным по времени алгоритмам. Поэтому обычно весь текст сообщения кодируется обычным блочным шифром (намного более быстрым), но с использованием сеансового ключа. А сам сеансовый ключ шифруется асимметричным алгоритмом с помощью открытого ключа получателя и помещается в начало файла.

4. Системы цифровой подписи на основе сложности факторизации чисел специального вида.

Теорема Эйлера: для любых взаимно простых целых чисел M и n, где M < n, выполняется соотношение .

В криптосистеме RSA в качестве числа M используется сообщение, которое необходимо подписать или зашифровать.

Будем полагать, что условие взаимной простоты чисел М и n выполняется. Например, это обеспечивается тем, что в данной криптосистеме выбирается число n, равное произведению двух больших простых множителей. Поэтому вероятность того, что случайное сообщение не будет взаимно простым с модулем, является пренебрежимо малым.

Алгоритм формирование ключей:

1. Каждый пользователь выбирает два больших не равных между собой простых числа р и q, находит их произведение и вычисляет значение функции Эйлера . Числа р и q являются частью закрытого ключа и должны иметь специальную структуру. Для этого разложение на простые сомножители, по крайней мере, одно из чисел (р ‑ 1) или (q ‑ 1) должно иметь один большой простой множитель.Модуль n является частью открытого ключа и его размер должен быть не менее 1024 бит.

2. Затем выбирается целое число d, что и , и вычисляется число е, удовлетворяющее условию .

Секретным ключом является тройка чисел р, q и d. Открытым ключом является пара n и е, которая сообщается пользователям.

Процедура подписывания сообщения: .

Процедура проверки подписи: . Если , то сообщение М признается подписанным.