DPA_2011_mat-9-rozvyazannya-vsx-zavdan

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Знайдемо нулі функції: 2x2 +x−6 =0, якщо x = −2,

= 1,5. Розв’язками нерівності є всі числа з проміжку

−2; 1,5 . Із них цілими числами є −2, –1, 0, 1.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

2.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

40 ВАРІАНТ 13

2.4.У прямокутному трикутнику ABC ( C =90°) tgB = CBAC = 125 . Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює k. Тоді AC =5k, CB =12k. За теоремою Піфагора AC2 +BC2 = AB2.

	2
(5k)2 +(12k)2 =262 , 169k2 =262 , k2 =	26	, k =	26	=2. Тоді менший катет AC =5 2 =10 см.
(5k)2 +(12k)2 =262 , 169k2 =262 , k2 =	2	, k =	13	=2. Тоді менший катет AC =5 2 =10 см.
	13		13

Відповідь. 10 см.

Частина третя

3.1.Нехай початкова маса сплаву дорівнює x г, тоді маса срібла в ньому становить (x−20) г. Після

додавання до сплаву 5 г срібла і 10 г золота його маса стала дорівнювати (x+15) г, а маса

срібла в ньому — (x−15) г. Початковий сплав містить	100(x−20)	% срібла, а отриманий —
	x

	100(x+15)	%. Враховуючи, що в отриманому сплаві срібла на 5 % більше, ніж у початковому,

	x−15
складаємо рівняння:			100( x−20)	−	100(x+15)	+5 =0.
складаємо рівняння:			x	−	x−15	+5 =0.
			x		x−15
	ОДЗ: x ≠0, x ≠15.

	100(x−20)(x−15) −100x(x+15) +5x(x−15)	=0.
	x(x−15)	=0.
	x(x−15)

x2 −415x+6000 =0, x1 =3 — не задовольняє умову задачі, x2 =80. Тоді в початковому сплаві 80−20 =60 г срібла.

Відповідь. 60 г.

3.2.Кількість двоцифрових натуральних чисел від 10 до 99 дорівнює 90, тобто загальна кількість

подій m = 90. Двоцифрові числа, кратні 4, утворюють арифметичну прогресію, у якої a1 =12, d =4. Знайдемо кількість членів цієї прогресії. 12+4(n−1) =96, n =22.

Отже, кількість сприятливих подій n =22. P = mn = 2290 = 1145 .

Відповідь. 1145 .

3.3. OD AB, AD =6 см, BD =4	см.
AB = AD+BD =6+4 =10	см. За	властивістю дотич-
них, проведених з однієї точки до кола,		AK = AD, BN = BD,
CK =CN =x.

(x+6)2 +(x+4)2 =100, x2 +10x−24 =0, x1 = −12 —

не задовольняє умову задачі, x2 =2.

Отже, CK =CN =2, AC =2+6 =8 см, CB =2+4 =6 см.

P = AC+CB+ AB =8+6+10 =24 см.

Відповідь. 24 см.

		D
K	O
	O
C	N	B
	N

ВАРІАНТ 13

Частина четверта

4.1.М Знайдемо значення змінної, при яких вирази, що

містяться під знаком модуля, дорівнюють нулю:

x+2 =0, x = −2; x−1=0, x =1; x−4 =0, x =4.

Позначимо ці числа на числовій прямій і ви

x + 2

–

значимо знаки підмодульних виразів на кожному із

здобутих проміжків.

–2

Розв’яжемо нерівність на кожному із про

x – 1

–

міжків.

x – 4

–

Якщо x

(−∞;−2 , то нерівність набуває вигля-

ду: −x−2−x+1+x−4 >3, −x >8, x < −8.

Ураховуючи проміжок, на якому розглядали

нерівність, маємо: x < −8.

Якщо x

(−2;1 , то нерівність набуває вигляду:

x+2−x+1+x−4 >3, x >4.

Отже, на проміжку x

(−2;1 вихідна нерівність

розв’язків не має.

Якщо x

(1;4 , то нерівність набуває вигляду:

x+2+x−1+x−4 >3, 3x >6, x >2.

З урахуванням розглядуваного проміжку ма

ємо: x

(2;4 .

4)Якщо x (4;+∞), то нерівність набуває вигляду:

x+2+x−1−x+4 >3, x >4.

Отже, x >4.

Розв’язками вихідної нерівності є об’єднання всіх проміжків, тобто (−∞;−8) (2;+ ∞).

Відповідь. (−∞;−8) (2;+ ∞).

4.2.М Нехай у трикутнику

ABC: AB =c,

BC =a, AC =b,

CM =5 см, AN = 73

см, BP =2

см.

За наслідком із теореми косинусів для медіа

ни CM маємо: 2a2 +2b2 =c2 +100;

для медіани AN: 2b2 +2c2 =a2 +292;

для медіани BP: 2a2 +2c2 =b2 +208.

+2b

+100,

Отже, маємо систему рівнянь: 2b2 +2c2 = a2 +292,

2a2

+2c2 =b2

+208.

Помножимо обидві частини першого рівняння системи на 5 і віднімемо від нього друге і третє рівняння, дістанемо:

10a2 +10b2 −2b2 −2c2 −2a2 −2c2 =5c2 −a2 −b2, 9a2 +9b2 =9c2 або a2 +b2 =c2 .

Отже,затеоремою,оберненоюдотеоремиПіфагора,маємо:трикутник ABC прямокутний.

42 ВАРІАНТ 14

Варіант 14

Частина перша

1.1.5−3 29 =5−3− 29 =2− 29 =179 .

Відповідь. Б).

1.2.Відповідь. В).

1.3. При x =3 y = −2 3+8 =2.

Відповідь. А).

1.4. 9a2 −6ab+b2 =(3a)2 −2 3a b+b2 =(3a−b)2.

Відповідь. Г).

1.5.−x−5 0, x −5.

Відповідь. Б).

1.6.Для того щоб знайти шлях, треба час помножити на швидкість: 0,5 106 3 108 =1,5 1014 (м/с).

Відповідь. В).

1.7.Загальна кількість подій дорівнює п’яти, а сприятлива подія одна. Оскільки ймовірність

події — це відношення кількості сприятливих подій до загальної кількості подій, то P = 15 .

Відповідь. Г).

1.8.Відповідь. Б).

1.9.Нехай бічні сторони трикутника дорівнюють x см. Тоді 2x+18 =58, x =20.

Відповідь. В).

1.10.Оскільки катет, прилеглий до кута α, дорівнює добутку гіпотенузи на cosα, то BC =8cosα.

Відповідь. Г).

1.11.Відповідь. В).

1.12.Кожний із внутрішніх кутів правильного многокутника дорівнює 180° – 60° = 120°. Тоді

180(n−2) =120, звідки n =6. n

Відповідь. Г).

Частина друга

2.1.

x−1

x+1

4x2 +4

(x−1)2 +(x+1)2

(x−1)2

2x2 +2

x−1

−2x+1

(x+1)(x−1)

2(2x

+2)

x+1

2(2x

+2)

2(x+1)

2x+2

x+1

Відповідь. 2xx−+12 .

ВАРІАНТ 14 43


2.2.	x+8		<8,
2.2.		−2(5+5x) >6		−3(1−x),	x <0,	x <0,
	24	−2(5+5x) >6		−3(1−x),	24−10−10x >6−3+3x,	−13x > −11,

Відповідь. (−∞;0).

2.3.Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вниз,

оскільки	a = −2<0.			Знайдемо координати вершини парабо-
ли: x = −	b	= −	8		=2, y =	−b2	+4ac	=	−64+40	=3. Оскільки
	2a		2 (−2)				4a		−8

c = −5, парабола проходить через точку (0;−5) . Знайдемо точки перетину графіка функції з віссю абсцис: −2x2 +8x −5 = 0,

якщо x1 =	4 −	6	; x2 =	4 + 6	.
	2			2

Користуючись рисунком, знаходимо найбільше значення функції: y =3.

Відповідь. 3.

x <0,

x <0.

x < 11 ,

0 x1 x2 x

–5

2.4.

= ( p+1)2 +(−3)2 =5. ( p+1)2 +9=25, ( p+1)2 =16, p+1= −4,

p = −5 або

p+1=4, p =3.

Відповідь. −5; 3.

Частина третя

3.1.

Нехай знаменник дробу дорівнює x, тоді його чисельник — (x−3). Отже, даний дріб

x−3

x−1

Після збільшення чисельника на 2 і знаменника на 10 дістанемо дріб

. Враховуючи, що

x+10

при цьому дріб зменшився на

, складаємо рівняння:

x−3

−

x−1

−

=0.

ОДЗ: x ≠0, x ≠ −10.

x + 10

15(x−3)(x+10) −15x(x−1) −2x(x+10)

=0. x2 −50x+225 =0, x1 =5, x2 =45. Якщо x =5, то

15x(x+10)

дістанемо нескоротний дріб

, якщо x =45, то дістанемо скоротний дріб

— не задовольняє

умову задачі.

			y
	Відповідь.	2 .
		5
	Функція не визначена при x =0, x =3, x = −3.		2
3.2.	Функція не визначена при x =0, x =3, x = −3.
	6(x2 −9)	6	–3 –1 0	3	x
	y = x(9−x2 ) = − x .		–2

44 ВАРІАНТ 14

3.3.BD =7 см, AC =11 см, P =2(AB+BC).

BD2 + AC2 =		2(AB2 +BC2); AB+BC =13				см. Нехай	B	С
BD2 + AC2 =		2(AB2 +BC2); AB+BC =13				см. Нехай
більша сторона BC дорівнює x, тоді AB =13−x.
2((13−x)2 +x2 )=49+121,
x2 −13x+42 =0, x1 =6, x2 =7.							A	D
BC =7 см, AB =13−7 =6 см.
Відповідь. 6 см, 7 см.
					Частина четверта
4.1.М Задане рівняння рівносильне сукупності рівнянь:
	x+2		−	x−6	=x,


	x+2		−	x−6	= −x.
	x+2		−	x−6	= −x.

Розв’яжемо цю сукупність рівнянь.

x + 2

–

Нулі підмодульних виразів: x = −2 і x =6.

x – 6

– –2

–

6 + x

(−∞;

1) Якщо x

−2 , то сукупність набуває вигляду:

−x−2+x−6 = x,

x = −8,

−x−2+x−6 = −x;

x =8.

З урахуванням проміжку, що розглядається, маємо: x = −8.

2) Якщо x

(−2;6 , то сукупність набуває вигляду:

x+2+x−6 =x,

x =4,

x+2

+x−6

= −x;

x =

З урахуванням проміжку, що розглядається, маємо: x =4;

x =

3) Якщо x (6;+∞) , то сукупність набуває вигляду:

x+2−x+6 =x,

x =8,

−x+6

= −x;

x+2

x = −8.

З урахуванням проміжку, що розглядається, маємо: x =8.

Відповідь. –8;

; 4; 8.

4.2.М Нехай AM, BN і CP — медіани трикутника ABC. «Подвоїмо»медіану BN,дістанемопаралелограм ABCD.

За нерівністю трикутника маємо:

BD < AB+ AD або 2BN < AB+BC.

Аналогічно, «подвоївши» медіани AM і CP, дістанемо: 2AM < AB+ AC і 2CP< AC+BC.

Додавши ці три нерівності, маємо: 2AM+2BN+2CP<2AB+2BC+2AC

або AM+BN+CP< AB+BC+ AC,

що й потрібно було довести.

P M

A N C

ВАРІАНТ 15 45

Варіант 15

Частина перша

1.1.500 0,25 =125.

Відповідь. В).

1.2.2(−1,5x+3) −3(1,3−x) = −3x+6−3,9+3x =2,1.

Відповідь. Г).

1.3.2−(−1) =3 ≠ −3, 2+(−1) =1, 2 2−(−1) =5 ≠3, 2+2 (−1) =0 ≠ 4.

Відповідь. Б).

1.4.Рівносильні рівняння мають одні й ті самі корені. Рівняння 3−5x =18 має корінь x = −3.

−7x−4 =3, x = −1; 2x−7 =11, x =9; −6x+5 =23, x = −3; −6x−5 =22, x = −4,5.

Відповідь. В).

1.5. D =b2 −4ac =(−3)2 −4 2 1=9−8 =1.

Відповідь. Б).

		5x(x+ 3)		5x(x+ 3)
1.6.			=		=5.
		x3 + 3x		x(x+ 3)
	Відповідь. А).
1.7.	Формула n -го члена арифметичної прогресії має вигляд an =a1 +(n−1)d. Тоді
	a5 =a1 +4d =6+4 (−4) =6−16 = −10.

Відповідь. Г).

1.8.	Відповідь. Б).
1.9.	Усі точки площини, рівновіддалені від заданої точки, утворюють коло.
	Відповідь. Г).			B
				B
1.10. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і точкою перетину
	діляться навпіл. Тоді у ромбі ABCD AB =8	см,	A		С
	AO =12:2 =6 см.		A	O	С
	AO =12:2 =6 см.			O
	З прямокутного трикутника ABC знаходимо

BO = AB2 − AO2 =

64−36 = 28 =2 7 см. BD =

2BO =4 7 см.

Відповідь. В).

1.11. a b =

cos (a

b). Враховуючи, що cos30°=

, a

b =5

= 10

3 .

Відповідь. Б).

1.12.Оскільки 122 +55 =132, то трикутник зі сторонами 13 см, 12 см і 5 см прямокутний.

Відповідь. В).

ВАРІАНТ 15

Частина друга

2.1.

(x−2 −y−2 ):(x−1 +y−1 )

= y

−x

: x+y

(y−x)(y+x)

y−x

− 1

: 1

+ 1

y2 x

x2y2

x+ y

Відповідь.

y−x

x−6 x y

+9y

( x )2 −6 x y +(3 y )2

( x −3 y )2

x −3 y

2.2.

x−9y

(

x )2 −(3

y )2

(

x −3

y )(

x +3

y )

x +3 y

Відповідь.

x −3

x +3

2.3.Функція y =2x2 +x−6 визначена при всіх дійсних x.

Відповідь. −2, –1, 0, 1.

2.4.Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Знайдемо коор-

динати точки O — середини діагоналі AC. x =	4−	6	= −1, y =	−2+10	=4. Отже, точка O(−1;4)
динати точки O — середини діагоналі AC. x =	2		= −1, y =	2	=4. Отже, точка O(−1;4)
	2			2		x−2
є серединою діагоналі BD. Тоді координати точки D знаходимо із співвідношень: −1=						x−2	,
							,
					2

x =0; 4 = y2+6 , y = 2.

Відповідь. D(0;2).

Частина третя

3.1.Нехай початкова швидкість поїзда x км/год. Систематизуємо дані у вигляді таблиці.

Рух

s, км

v, км/год

t, год

За графіком

300

Фактично

300

x+10

300

x+10

Враховуючи, що поїзд затримався на 1 год, складаємо рівняння:

300

−

300

=1. ОДЗ: x ≠ −10, x ≠0.

x+10

300(x+10) −300x−x(x+10)

=0, x2 +10x−3000 =0, x1 =

−10−110

= −60

— не задовольняє

x(x+10)

умову задачі, x2

−10+110

=50. Отже, початкова швидкість поїзда 50 км/год.

Відповідь. 50 км/год.

ВАРІАНТ 15 47

	2x+4 >0,						(1)
3.2. Область визначення функції є множиною розв’язків системи	2x+4 >0,			2x > −4,			(1)
		x	−3 ≠0.		x	≠3.	(2)
		x	−3 ≠0.		x	≠3.	(2)
З нерівності (1) дістанемо: x > −2; із (2): x ≠3, x ≠ −3.
З нерівності (1) дістанемо: x > −2; із (2): x ≠3, x ≠ −3.
Отже, область визначення заданої функції: (−2;3) (3;+ ∞).
Відповідь. (−2;3) (3;+ ∞).

3.3.BD =32 см, BD — висота рівнобедреного трикутника, про-

ведена до основи, отже, BD — медіана,	AC =2AD. Довжина	B
кола, описаного навколо трикутника, 2πR =50π, отже, радіус		B
кола, описаного навколо трикутника, 2πR =50π, отже, радіус
описаного кола R =25 см. OD = BD−BO =32−25 =7 см.
З прямокутного трикутника AOD:	AD = AO2 −DO2 =
= 625−49 =24 см, тоді AC =2AD =48 см.		O
З прямокутного трикутника ADB : AB =	BD2 + AD2 =	O
З прямокутного трикутника ADB : AB =	BD2 + AD2 =
= 1024+576 =40 см.
P =2AB+ AC =2 40+48 =128 см.	A		C
P =2AB+ AC =2 40+48 =128 см.	A	D	C

Відповідь. 128 см.

Частина четверта

4.1.М Очевидно, що x =0 не є коренем рівняння x4 −3x3 −6x2 +12x+16 =0. Поділимо обидві частини цього рівняння на x2, дістанемо рівняння, рівносильне заданому.

Маємо: x

−

3x−6+

=0, x

−3 x−

−6 =0.

Нехай

x−

=t, тоді x2 +

=t2

+8. Звідси t2 +8−3t−6 =0, t2 −3t+2 =0, t =1

або t =2.

x−

=1,

x2 −x−4 =0,

−

Отже,

−2x−4 =0;

x−

=2;

=1+

=1−

1± 17

Відповідь.

; 1±

5 .

4.2.М На рисунку зображено трапецію ABCD з основами BC і AD.

Точки M і N — середини основ BC і AD відповідно.

Точка O — точка перетину діагоналей трапеції.

ON =

(OA

+OD), OM =

(OB+OC).

Оскількитрикутники AOD і COB подібнізкоефіцієнтом

подібності k =

, то OA = −kOC, OD = −k OB.

ON =

(OA

+OD) =

(−k

OC−k OB) = −

(OC+OB) = −k OM.

Отже, вектори OM і ON колінеарні, тобто точка O належить прямій MN, що й треба було довести.

48 ВАРІАНТ 16

Варіант 16

Частина перша

1.1.Відповідь. Г).

1.2.Відповідь. Б).

1.3.Оскільки 7+13 =20 ≠30, 6 7 =42 ≠56, 49:7 =7, 25−7 =18 ≠19, то число 7 є коренем рівняння

49:x =7.

Відповідь. В).

1.4.Відповідь. В).

1.5.	6a3b3	=	2 3 a3 b b2	=	3b	.
	14a4b2		2 7 a3 a b2
					7a

Відповідь. А).

1.6.Рівняння ax2 +bx+c =0 не має коренів, якщо дискримінант D =b2 −4ac<0.

Оскільки

x2 −8x+7 =0,

D =64−28 =36 >0;

x2 −7x−3 =0,

D =49+12 =61>0;

x2 −4x+4 =0,

D =16−16 =0; x2 −3x+5 =0, D =9−20 = −11<0, то не має коренів рівняння x2 −3x+5 =0.

Відповідь. Г).

1.7.

−3x <15, x > −5, x (−5;+ ∞).

Відповідь. Б).

1.8.

Sn =

a1 + an

n, an = a1 +(n−1)d. a5 =3+4 (−2) = −5, S5 =

3+ (−5)

5 = −5.

Відповідь. В).

1.9.

Нехай AOM = x° , тоді MOB =(x+18)°. Оскільки

промінь OM проходить між сторонами кута

AOB, то

AOM + MOB = AOB. Тоді x+ x+ 18 = 56, x = 19.

Отже, AOM = 19°, MOB = 19°+ 18° = 37° .

Відповідь. Б).

1.10. Відповідь. Б).

1.11. За наслідком із теореми синусів R =

2sinC

Враховуючи, що sin45°=

, R =

(см).

Відповідь. А).

1.12.

= (3

=3.

−3) +(−4−(−1))

Відповідь. Б).

ВАРІАНТ 16 49

Частина друга

2.1.ОДЗ: 3x+1>0, x > − 13 .

3x+1 =2, 3x+1=4, 3x =3, x =1.

Відповідь. 1.

2.2.Пряма x = −2 є віссю симетрії параболи, що є графіком функції y =2x2 +bx−7, якщо абсциса

вершини параболи дорівнює −2. x = −	b	.	−2 = −	b	= −	b	, b =8.
				2 2
	2a				4
Відповідь. 8.

2.3.З першого рівняння системи знаходимо xy = y2 −2. Підставивши вираз для xy в друге рівняння

системи, дістанемо 2y2 +3(y2 −2) =14, 2y2 +3y2 −6 =14, 5y2 =20, y2 =4, y1 = −2, y2 =2. Тоді −2x1 =(−2)2 −2, −2x1 =2, x1 = −1; 2x2 =22 −2, 2x2 =2, x2 =1.

Відповідь.(−1;−2), (1;2) .

2.4.Нехай CM — висота прямокутної трапеції ABCD. За умовою AB = BC =8 см. Тоді CM =8 см і AM =8 см. З прямокутного

трикутника CMD: MD =					CD2 −CM2 = 102 −82 =6(см).
AD = AM + MD =8+6 =14					(см).
S =	BC + AD	CM =	8 +14	8 =88 (см2).
			2
2

Відповідь. 88 см2.

A M D

Частина третя

3.1. Нехай 3-відсоткового розчину було x г, а 8-відсоткового розчину — y г. Тоді x+y =260.

У 260 г 5-відсоткового розчину міститься 0,05 200 г солі, а у 8-відсотковому — 0,08y г солі. 0,03x+0,08y =0,05 260. Розв’яжемо систему рівнянь

		−x,	(1)
	y =260			Підставимо (1) в (2) і розв’яжемо отримане рівняння.
x+y =260,			(2)
0,03x+0,08y =13;	0,03x+0,08y =13.

0,03x+0,08(260−x) =13, x =156. З рівняння (1) y =260−156 =104.

Отже, 3-відсоткового розчину взяли 156 г, а 8-відсоткового — 104 г.

Відповідь. 156 г, 104 г.

3.2.ОДЗ: x ≠ −1, x ≠ −3, x ≠3.

1	1			12		x +3+(x +1)(x −3) −12
	+		−		=0,		=0, x2 −x−12 =0, x1 =4,
(x −3)(x +1)	+	x +3	−	(x +1)(x −3)(x +3)	=0,	(x −3)(x +1)(x +3)	=0, x2 −x−12 =0, x1 =4,

x2 = −3 — не входить в ОДЗ.

Відповідь. 4.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015227.84 Кб3Doc1.doc
#
14.02.2015224.77 Кб3Doc2.doc
#
04.09.2019706.05 Кб1Dodatok_1.doc
#
15.02.201540.84 Кб5Dokument_Microsoft_Office_Word.docx
#
12.03.201615.72 Mб201dopatka_r_perepechko_a_kniga_o_sudah.pdf
#
15.02.20152.63 Mб45DPA_2011_mat-9-rozvyazannya-vsx-zavdan.pdf
#
06.11.2018148.48 Кб2dvp_pr_001.doc
#
14.02.2015318.98 Кб10Ekonomichna_istoriya_Ukrayini.doc
#
15.02.201556.71 Кб31ekonomika.docx
#
15.02.20151.71 Mб309Ekon_Pidp_ta_mij-komp-Fedorova.pdf
#
15.02.20151.04 Mб153Ekon_prom_pidpr_Maslak_2011.pdf