Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

DPA_2011_mat-9-rozvyazannya-vsx-zavdan

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

2.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

ВАРІАНТ 26

3.3.

трикутнику

ABC

сторона AC дорівнює 29 см, OM,

ON, OK — радіуси вписаного кола, CN = 24 см, BN = 1 см.

BC = BN + CN = 25 см. За властивістю дотичних, проведених

до кола з однієї точки,

CN = CK = 24 см, BM = BN = 1

см,

AM = AK = AC− KC = 29− 24 = 5 см.

Тоді AB = AM + BM =

5+ 1= 6 см.

p =

AB+ BC + AC

6 + 25+ 29

= 30 см.

SABC =

30(30− 6)(30− 25)(30− 29) = 60 см2.

Відповідь. 60 см 2.

Частина четверта

4.1.М

− 4xy = 17,

y2 − x2 = 16.

Помножимо перше рівняння системи на 16, друге — на –17, додамо почленно одержані

рівняння, дістанемо:

65x2 + 15y2 − 64xy = 0 (*)

Оскільки (0;0)

не є розв’язком вихідної системи, то поділимо обидві частини рівняння (*)

на y

, дістанемо: 65

− 64

+ 15 = 0.

Нехай

= t, тоді рівняння набуде вигляду: 65t2 − 64t+ 15 = 0, звідки t =

або t =

Отже, система рівнянь рівносильна сукупності двох систем:

x		=	3					x		=	15
					,		або							,
			5								13
y								y
	2	− x		2		= 16			2	− x		2	= 16.
y								y

				y =				5x					,														5x				y =	5x	,		x = 3,
																								=																= 5;

Розв’яжемо першу систему:									3											y									,			3			y
Розв’яжемо першу систему:				25x2												2							2			3				x = 3,								x		= −
											− x					2							2		= 9;													x			3,
											− x						= 16; x								= 9;													y		= −5.
						9																								x = −3;								y		= −5.
						9
																																										5
																																		13x						x =				,
																																		13x						x =		3		,
																		y =			13x											y	=						,			13
																																y	=						,
							13x																				,								5					y =					;
							13x																				,													y =					;
		y		=										,								5													5							3
		y		=										,								5													5							3
Розв’яжемо другу систему:								5											169													x =					,						5
Розв’яжемо другу систему:								5																								x =			3		,
				2	− x					2		= 16;												2	− x			2		= 16;					3
		y																				x														5				x = −						,
		y																				x														5				x = −						,
																		25														x = −											3
																		25														x = −											3
																																				3							13
																																				3							13
																																								y = −							.
																																								y = −			3				.
																																											3
	5			13													5		13
Відповідь. (3;5), (−3;− 5),			;						,						−			;−			.
Відповідь. (3;5), (−3;− 5),			;						,						−			;−			.
	3				3												3		3

ВАРІАНТ 27 81

4.2.М На рисунку зображено трикутник	ABC, у якого AC = 8 см,
BC =6 см. Медіани AM1 і BM2 перпендикулярні і перетина-
ються в точці O. Нехай AO = 2a, BO = 2b, тоді за властивістю
медіан: OM1 = a, OM2 = b. Із трикутника AOM2 за теоремою		B
Піфагора маємо: 4a2 +b2 =16.
Із трикутника BOM1 : 4b2 +a2 =9.
Почленно додамо ці рівності, дістанемо: 5a2 +5b2 =25,
a2 +b2 =5. (*)
Помножимо рівняння (*) на 4:	A
4a2 +4b2 =20 або (2a)2 +(2b)2 =20,
AO2 +BO2 =20.
Оскільки трикутник ABO прямокутний, то за теоремою Піфагора:
AB2 = AO2 +BO2 =20, отже, AB =	20 =2 5 см.

Відповідь. 2 5 см.

Варіант 27

Частина перша

1.1.12 т + 150 кг = 500 кг + 150 кг = 650 кг.

Відповідь. Б).

1.2.9−4 52 =9−4− 52 =5− 52 =4 55 − 52 =4 53 .

Відповідь. В).

1.3.(a+3)(b−4) =ab−4a+3b−12.

Відповідь. Г).

1.4.	Оскільки 1≠ −4 (−1) +3, 5 ≠ −4 2+3, −1= −4 1+3, 1≠ −4 1+3, то графіку функції належить
	точка (1;−1).
	Відповідь. В).
1.5.		4x	3	2	=	42	(x3 )2	=	16x	6	.

		5y				52	y2		25y2

Відповідь. Б).

ВАРІАНТ 27

1.6.

8( 3 +1)

3 +1)

=4( 3 +1).

( 3 −1)( 3 +1)

3 −1

( 3 )2 −12

3−1

Відповідь. Г).

1.7.Відповідь. В).

1.8.Оскільки серед наведених даних значення 38 трапляється найчастіше, то мода отриманих даних дорівнює 38.

Відповідь. Г).

1.9.Відповідь. Б).

1.10. Нехай MN — середня лінія трапеції ABCD. Відрізок KN є середньою лінією трикутника BCD,

NK = 12 BC = 12 4 =2 см.

Відрізок MK є середньою лінією трикутника ABD,

MK = 12 AD = 12 10 =5 см.

Відповідь. А).

1.11.Нехай BD — висота рівнобедреного трикутника ABC. Тоді з прямокутного трикутника ADB:

AD = ABcosA =8cos30°=8 23 =4 3 см.

Оскільки висота рівнобедреного трикутника є його медіаною,

то	AC =2AD =2 4 3 =8 3 см. Тоді площа трикутника
S =	1	AB AC sin A.
	2

Враховуючи,що sin A =sin30°= 12 , S = 12 8 8 3 12 =16 3 см2.

Відповідь. Г).

M N

A D B

A D C

1.12. Нехай точка C(x;y) — середина відрізка AB. Тоді x =

3−1

=1, y =

−2+4

=1. Відстань від точ-

ки C(1;1)

до точки O(0;0)

дорівнює 12 +12 =

2 .

Відповідь. В).

Частина друга

6(x −2) + x(1+ x)

2.1. За умовою

. ОДЗ: x ≠ −1,

x ≠2.

1+ x

x −2

1+ x

x −2

(1+ x)(x −2)

6x−12+x+x2 =6x, x2 +x−12 =0, x1 = −4, x2 =3.

Відповідь.

−4; 3.

ВАРІАНТ 27 83

2.2.Оскільки графік функції y = kx+ b паралельний осі абсцис, то k =0. Оскільки він проходить через точку B(3;−2), то b = −2.

Відповідь. k =0, b = −2.

2.3.0,2(3) =0,2+0,03+0,003+...= 307 , 0,(15) =0,15+0,0015+0,000015+...= 335 .

0,2(3) −0,(15) =

−

77 −50

330

110

Відповідь.

110

2.4. Нехай CK — висота трапеції. CK =12см, AK =4 см.

прямокутного

трикутника

ABD:

AD =

BD2 − AB2

152 −122

=9 (см). Тоді KD = AD− AK =9−4 =5 (см).

прямокутного

трикутника

CKD:

CD =

CK2 + KD2

= 122 +52 =13 (см).

Відповідь. 13 см.

Частина третя

3.1.Нехай слюсар може виконати замовлення за x год, тоді перший учень виконає замовлення

за (x+4) год, а другий учень — за (x+9) год. За одну годину слюсар виконає					1	частину
					x	частину
					x
замовлення, перший учень —	1	, а другий —	1	частини замовлення. Враховуючи, що
замовлення, перший учень —	x +4	, а другий —	x +9	частини замовлення. Враховуючи, що
	x +4		x +9

за одну годину слюсар виконує такий об’єм роботи, як два учні разом, складаємо рівняння:

x1 = x1+4 + x1+9 . ОДЗ: x ≠ −4, x ≠ −9, x ≠0

	(x+4)(x+9) −x(x +9) −x(x +4)		=0, x2 −36 =0, x1 = −6 — не задовольняє умову задачі, x2 =6.
	x(x+4)(x +9)
	x(x+4)(x +9)
Отже, слюсар може виконати замовлення за 6 год. Тоді перший учень виконає замовлення
за 10 год, а другий учень за 15 год.
Відповідь. 6 год, 10 год, 15 год.
3.2. Знаходимо		область визначення		даної	функції.	4−x2 0,
(2−x)(2+x) 0. Нулі: x1 =2,							–	+	–
(2−x)(2+x) 0. Нулі: x1 =2,			x2 = −2. D(y) = −2;2 .				–	+	–
Найменшого значення y =1			функція		набуває	при x =2,
Найменшого значення y =1			функція		набуває	при x =2,	–2	2	x
x = −2, а найбільшого значення — y =3 приx =0. Отже, об-

ласть значень заданої функції 1;3 .

Відповідь. 1;3 .

84 ВАРІАНТ 27

3.3.Точка O — центр кола, вписаного у рівнобічну трапе

цію ABCD, OK CD, CO = BO =6 см, DO = AO =8 см.Відомо,

що якщо чотирикутник описаний навколо кола, то сума кутів,

під якими видно з центра вписаного кола дві його протилежні

сторони, дорівнює 180°. Оскільки трикутники ABO і DCO

рівні за трьома сторонами, то BOA = COD =180°:2 =90°.

трикутнику

COD

CD =

CO2 + DO2

= 36+64 =10

см.

SCOD = 1 CO DO =

1 6 8 =24; SCOD = 1 CD OK = 1 10 OK.

1 10 OK =24, OK =4,8 см.

Довжина вписаного кола l =2π OK =2π 4,8 =9,6π см.

Відповідь. 9,6π см.

Частина четверта

4.1.М Знайдемо нулі підмодульних виразів:

x−2 =0, x =2;

x−3 =0, x =3;

x−4 =0, x =4.

x – 2

–

Позначимо ці точки на числовій прямій і визначимо

x – 3

–

знаки кожного з виразів на здобутих проміжках.

x – 4

–

Якщо x

(−∞;2 , то вихідна нерівність набуває

вигляду: −x+2−x+3 −x+4,

−x −1,

x 1.

Враховуючи проміжок, на якому розв’язуємо

нерівність, маємо: x

(−∞;1 .

Якщо x

(2;3 , то нерівність набуває вигляду: x −2−x+3

−x+4,

x 3.

Враховуючи проміжок, на якому розв’язуємо нерівність, маємо: x =3.

Якщо x

(3;4 , то нерівність набуває вигляду: x −2+x −3

−x+4,

3x 9,

x 3.

Враховуючи проміжок, на якому розв’язуємо нерівність, маємо: x

(3;4 .

Якщо x (4;+∞), то нерівність набуває вигляду: x −2+x −3 x −4,

x 1.

Враховуючи проміжок, на якому розв’язуємо нерівність, маємо: x (4;+∞).

Відповідь. (−∞;1

3;+ ∞) .

4.2.М На

рисунку

зображено

рівносторонній

трикутник

ABC;

точка M — довільна точка всередині трикутника, що роз-

ташована на відстанях b, c і d від сторін AB, BC і AC

відповідно. Сполучимо точку M із вершинами трикутника.

SABC = 1 AC h, де h — висота трикутника ABC.

SABC =SABM +SAMC

+SBMC = 1 AB b+

1 BC c+ 1 AC d =

= 1

AC (b+c+d)

(оскільки AB = AC = BC).

Маємо:	1	AC h =	1	AC (b+c+d), звідки h =b+c+d, що
	2		2

й треба було довести.

ВАРІАНТ 28 85

Варіант 28

Частина перша

1.1.3x =12−84, 3x = −72, x = −72:(−3), x =24.

Відповідь. В).

1.2.74 : 141 = 74 141 = 4 72 7 =8.

Відповідь. Б).

1.3.a2 −8ab+16b2 =a2 −2 4ab+(4b)2 =(a−4b)2.

Відповідь. А).

1.4.xy(2x−3y) −3y(x2 −xy) =2x2y−3xy2 −3x2y+3xy2 = −x2y.

Відповідь. Г).

1.5.Відповідь. В).

1.6.	−	3a	5	2	=	32	(a5 )2	=	9a	10	.

		4b3				42 (b3 )2			16b6

Відповідь. Б).

1.7.Відповідь. Г).

1.8.Квадратична функція y =2x2 +12x−5 набуває найменшого значення в точці, яка є вершиною

параболи — графіка функції, тому x = −	b	= −	12	= −3.
	2a
			2 2
Відповідь. А).

1.9.Оскільки при перетині двох паралельних прямих січною, утворюються або рівні кути, або такі, що їх сума дорівнює 180°. З-поміж наведених таким є кут 155°.

Відповідь. Б).

1.10. Оскільки	AO	=	OC	і AOC = BOD (як верти	A
	AO		OC
			OD
	BO		OD
кальні), то трикутники AOC і BOD подібні за дво-						O	D
						O
ма сторонами та кутом між ними.
Тому CAO = DBO =45°.					C		B

Відповідь. В).

86 ВАРІАНТ 28

1.11. Оскільки центральний кут правильного многокутника дорівнює 30°, то кут при вершині

дорівнює 150°. Тоді

180(n −2)

=150°, 180n−360 =150n, 30n =360, n =12.

Відповідь. А).

1.12. Позначимо бічну сторону рівнобедреного трикутника через

Оскільки кут при вершині

дорівнює 30°, то площа трикутника дорівнює S =

a2 sin30°=

За умовою

=24, a2 =4 24, a =2 24 =2 2 6 =4 6 (см).

Відповідь. Г).

Частина друга

+2a +4

a3 −8

+2a +4

(3a −4)(3a +4)

3a +4

2.1.

3a −4

9a2 −16

3a −4

(a −2)(a2 +2a +4)

a −2

Якщо a =10, то

3a + 4

3 10 + 4

= 4,25.

a −2

10 −2

Відповідь. 4,25.

2.2.За теоремою, оберненою до теореми Вієта, x1 +x2 = −p, x1 x2 =q. Тоді

Додавши почленно рівняння системи, дістанемо: 3x1 =15, q =5 (−2) = −10.

Відповідь. −10.

x1 +x2 =3,

2x1 −x2 =12.

x1 =5. Тоді x2 = −2.

2.3.Сприятливими подіями є випадки випадання на обох гральних кубиках такої кількості очок:

6 і 3, 5 і 4, 3 і 6, 6 і 3. Ймовірність кожного випадку дорівнює 16 16 = 361 . Оскільки всього таких випадків чотири, то шукана ймовірність дорівнює 4 361 = 19 .

Відповідь. 19 .

2.4. Нехай BAO = ABO = x. Тоді BOC =70+x, а суміжний із ним BOA =180−(70+x) =110−x. Тоді сума кутів трикут-

ника ABO: x+x+110−x =180, звідки x =70.

Відповідь. 70°.

B C

ВАРІАНТ 28 87

Частина третя

3.1.

Нехай власна швидкість човна x

км/год, а швидкість течії y км/год. Систематизуємо дані

у вигляді таблиці.

Рух

s, км

v, км/год

t, год

За течією

5(x+y)

x+ y

Озером

Проти течії

2(x −y)

x−y

Враховуючи, що човен за течією і озером здолав 123 км, а відстань 5(x+y) у три рази більша

за 2x , складаємо систему рівнянь:

5(x+y) +2x =123,

y =1,5. Отже, швидкість течії 1,5 км/год, власна швидкість

6(x−y);

7x+5y =123,

5(x+y) =

x =11y;

човна 11 1,5 = 16,5 км/год.

Відповідь. 16,5 км/год, 1,5 км/год.

3.2.

(a−2)2 −5−2(a−6) >0, (a2 −6a+9)+2 >0, (a−3)2 +2 >0

при всіх дійсних значеннях a, 2 >0,

отже, сума (a−3)2 +2 >0 при всіх дійсних значеннях a.

3.3.

BD =4 3

— діагональ паралелограма

ABCD,

BAD = 60°.

ABD = 3k, CBD = k.Маємо: 60+ 3k+ k = 180, k = 30.

Отже, ABD = 90°.

У прямокутному

трикутнику

ABD

=sin A,

AD =

4 3

=8 см. P =2( AB+ BC) =2(4+8) =24 см.

sin A

Відповідь. 24 см.

Частина четверта

4.1.М x−y + x+y =2.

Побудуємо на координатній площині прямі y =x і y = −x. Ці прямі розбили координатну площину на ділянки, як показано на рисунку. Точки, що розташовані на ділянці І, мають

координати (x;y) , які задовольняють умови: x > y,

x > −y.

Рівняння набуває вигляду: x−y+x+y =2, звідки x =1.

x < y,

На ділянці ІІ маємо: > −

x y.

Рівняння має вигляд: y−x+x+y =2, y =1.

y	II
	II
	1
III	1	I
O		x
	IV

88 ВАРІАНТ 29

На ділянці ІІІ маємо: x < y,

x < −y.

Рівняння має вигляд: y−x−x−y =2, x = −1.

x > y,

На ділянці ІV маємо:

x < −y.

Рівняння має вигляд: x−y−x−y =2, y = −1.

Отже, шуканий графік рівняння — квадрат зі стороною 2, центром у початку координат,

діагоналі якого лежать на прямих x = y і x = −y. Шуканий графік зображено на рисунку.

4.2.М На рисунку зображено гострокутний трикутник ABC, у яко-

го

AB =

13 см, BC =

см.

Проведемо BD AC, за умовою BD = AC.

Оскільки трикутник

ABC гострокутний, то висота BD роз-

ташована всередині трикутника.

Нехай AC =h,

AD =x, тоді DC =h−x.

За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника

ABD

маємо: AB2 = AD2 + BD2 , 13 =h2 +x2 .

За теоремою

Піфагора з прямокутного трикутника

BDC

маємо: BC2 = BD2 + DC2 , 10 =h2 +(h−x)2 .

Дістали систему рівнянь:

=13,

+10x

=130,

=13,

10h

2h2 −2hx+x2

=10;

−26h2 +26hx−13x2 = −130;

16h2 −26hx+3x2 =0.

Розв’язавши однорідне рівняння 16h2 −26hx+3x2 =0 з урахуванням умови h >0, дістанемо:

,звідки x =

Підставимо	x =	2h	у рівняння h2 +x2 =13, дістанемо: h =3. Отже, AC =3 см.
		3

Відповідь. 3 см.

Варіант 29

Частина перша

1.1.Відповідь. Г).

1.2.180 км = 18 000 000 см; 18 000 000:5000 000 =3,6 см.

Відповідь. В).

1.3.Відповідь. Б).

ВАРІАНТ 29 89

1.4.	x3 +27 =x3 +33 =(x+3)(x2 −3x+9).
	Відповідь. В).
1.5.	6 −5 6 −3 6 = 6 (1−5−3) = −7 6 .
	Відповідь. А).

1.6.Відповідь. Г).

1.7.З-поміжчиселвід1до20існуєтричисла,кратних6.Томукількістьсприятливихподійдорівнює трьом, а загальна кількість подій дорівнює 20. Отже, шукана ймовірність дорівнює 203 .

Відповідь. Г).

1.8.Відповідь. Б).

1.9.M = A = 46°. Тоді KNM =180°−(46°+54°) =80°.

Відповідь. В).

1.10. Величина прямого кута дорівнює 90°. Нехай α і β — гострі кути цього трикутника.

sinα = 23 , α =60°. Тоді β=90°−α =90°−60°=30°.

Відповідь. Г).

1.11. AB = (6−2)2 +(−3−(−1))2 = 16+4 = 20 =2 5 .

Відповідь. Б).

1.12.Площа круга S = πr2 =4π, r2 =4, r =2 (см). Сторона квадрата, описаного навколо кола, дорівнює a =2r =2 2 =4 (см).

Відповідь. В).

Частина друга

2.1.Перетворимо вираз у дужках:

x2 − y2

(x − y)(x + y)

x + y

−

xy − y2

x2 −xy

y(x − y)

x(x − y)

xy(x − y)

Тоді

x + y

4xy

=4.

4xy

x + y

Відповідь.

2.2.

3−10x−5 >7x−2x−2,

−10x−7x+2x > −2−3+5, −15x >0,

x <0,

6+6x+2 >3−3x+7x,

6x+3x−7x >3−6−2,

2x > −5,

x > −2,5.

Розв’язком системи нерівностей є проміжок (−2,5;0). Найбільшим цілим числом із цього проміжку є число –1.

Відповідь. –1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015227.84 Кб2Doc1.doc
#
14.02.2015224.77 Кб2Doc2.doc
#
04.09.2019706.05 Кб1Dodatok_1.doc
#
15.02.201540.84 Кб4Dokument_Microsoft_Office_Word.docx
#
12.03.201615.72 Mб91dopatka_r_perepechko_a_kniga_o_sudah.pdf
#
15.02.20152.63 Mб44DPA_2011_mat-9-rozvyazannya-vsx-zavdan.pdf
#
06.11.2018148.48 Кб1dvp_pr_001.doc
#
14.02.2015318.98 Кб8Ekonomichna_istoriya_Ukrayini.doc
#
15.02.201556.71 Кб28ekonomika.docx
#
15.02.20151.71 Mб292Ekon_Pidp_ta_mij-komp-Fedorova.pdf
#
15.02.20151.04 Mб148Ekon_prom_pidpr_Maslak_2011.pdf