DPA_2011_mat-9-rozvyazannya-vsx-zavdan
.pdf
90 ВАРІАНТ 29
2.3. Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору, |
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
оскільки a =4 >0. Знайдемо координати вершини параболи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x = − |
|
b |
−12 |
= |
3 |
=1,5, y = |
−b2 +4ac |
|
= |
−144 +4 4 8 |
= −1. |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2a |
= − |
8 |
|
2 |
4a |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Знайдемо точки перетину графіка функції з віссю аб- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
сцис: |
4x2 −12x+8 = 0, якщо x =1 |
або |
x =2. Отже, графік |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
функції перетинає вісь абсцис у точках (1;0) |
і (2;0). |
0 |
1,5 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Оскільки c =8, парабола проходить через точку (0;8). |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
–1 |
|
|
1 |
2 |
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Користуючись рисунком, знаходимо найменше значення |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
функції: y = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Відповідь. –1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
2.4.Висота BM рівнобічної трапеції ABCD ділить її основу AD
на відрізки AM =4 см і MD =6 см. AD =10 см. |
|
|
E |
|
F |
|||||
Тоді KD = AM =4 см, MK = MD − KD =6−4 =2 (см). |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
BC = MK =2 см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Довжина середньої лінії EF = |
AD + BC |
= |
2+10 |
=6 |
(см). |
A |
|
M |
K |
D |
|
|
|
||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
Відповідь. 6 см.
Частина третя
3.1.Нехай початкова маса сплаву x кг, тоді маса отриманого сплаву (x+6) кг. У початковому
сплаві міститься 2 кг міді, а в кінцевому— 2+6 =8 кг. У початковому сплаві міді міститься
|
2 100 |
%, а в отриманому — |
8 100 |
%. Враховуючи, що в отриманому сплаві міді на 30 % |
|||||
|
x |
x +6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
більше, ніж у початковому, складаємо рівняння: |
800 |
− |
200 |
=30. ОДЗ: x ≠ −6, x ≠0. |
|||||
x +6 |
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
800x−200(x +6) −30x(x +6)
x(x +6) =0, x2 −14x+40 =0, x1 =4 — не задовольняє умову задачі, x2 =10.
Отже, початкова маса сплаву 10 кг.
Відповідь. 10 кг.
3.2.У даній арифметичній прогресії a1 = −15,1, d =a2 −a1 = −14,4+15,1=0,7. Знайдемо найбільший від’ємний і найменший додатний члени прогресії. a1 +(n−1)d <0, 0,7n <15,8, n <22 23 . Отже,
кількість від’ємних членів даної прогресії n =22 |
і a22 = a1 +21d = −15,1 21 0,7 = −0,4. Най- |
||||
менший додатний член прогресії a23 = a22 +d = −0,4 |
+0,7 =0,3. |
|
−0,4 |
|
>0,3, отже, найменшим |
|
|
||||
із модулів є 0,3. |
|
|
|
|
|
Відповідь. 0,3. |
|
|
|
|
|
ВАРІАНТ 30 91
3.3. AB = AD+ BD =15+20 =35 |
см. |
За |
|
властивістю бісектриси |
||||||||||||||||||||
трикутника |
|
AD |
= |
|
BD |
|
, |
15 |
= |
|
20 |
|
, 4AC =3CB. Нехай CB =x, |
|||||||||||
|
|
|
|
CB |
AC |
|
CB |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|||||
тоді AC = |
|
x. x2 |
+ |
|
|
x =352 , |
|
|
|
|
x2 =1225, |
x =21. Отже, |
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
||||
CB =21 см, |
AC =28 |
|
см. |
|
SABC = |
1 |
AC BC = |
1 |
28 21=294, |
|||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
2SABC |
|
|
|
|
|
2 294 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
r = |
|
|
= |
|
|
=7 |
|
см. |
|
|
||||||||||||||
AB+ BC + |
|
21+ |
28+35 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Відповідь. 7 см.
A
D
С |
B |
|
Частина четверта
4.1.М При n =1 маємо 41 +15−1=18 9, тобто теорему «база індукції» доведено.
Нехай при n = k є правильним твердження (4k +15k−1) 9.
Доведемо, що твердження є правильним при n =k+1, тобто (4k+1 +15(k+1) −1) 9.
Перепишемо вираз 4k+1 +15(k+1) −1 у вигляді:
4 4k +15k+15−1=4 4k +60k−4+45k+4+15−1=4(4k +15k−1)+45k+18 = 4(4k +15k−1)+9(5k+2).
Перший вираз кратний 9 за припущенням, другий — ділиться на 9, оскільки один множник дорівнює 9. Отже, сума кратна 9.
Отже, для будь-якого n N значення виразу 4n +15n−1 кратне 9.
4.2.М Коло, що задане рівнянням (x−1)2 +(y+3)2 =4, має центр у точці O(1;−3), радіус, що дорів
нює 2. Відстань між точками O і Q дорівнює: OQ = (1+2)2 +(−3−1)2 =5. Якщо кола дотикаються зовнішньо, то радіус шуканого кола дорівнює 5−2 =3. Тоді рівняння цього кола має вигляд: (x+2)2 +(y−1)2 =9.
Якщо шукане і подане кола дотикаються внутрішнім чином, то радіус шуканого кола дорівнює 5 + 2 = 7 і його рівняння має вигляд: (x+2)2 +(y−1)2 =49.
Відповідь. (x+2)2 +(y−1)2 =9 або (x+2)2 +(y−1)2 =49.
Варіант 30
Частина перша
1.1.48,5 0,1+48:1,6 =4,85+30 =34,85.
Відповідь. Б).
1.2.Відповідь. Г).
1.3.Оскільки 6−1=5 ≠7, 1−6 = −5 ≠7, 6−(−1) =7, −1−(−6) =5 ≠7, то розв’язком рівняння є пара чисел (6;−1).
Відповідь. В).
92 ВАРІАНТ 30
1.4.Рівносильні рівняння мають одні й ті самі корені. Коренем рівняння −10x−7 =13 є число –2.
Оскільки коренем рівняння −5+7x =1 є число 76 ≠ −2, коренем рівняння −2x+5 =9 є число –2,
коренем рівняння −4x−2 = −11 є число |
9 |
≠ −2, коренем рівняння 3x−9=10 є число |
19 |
≠ −2, |
|
4 |
3 |
||||
|
|
|
то рівносильним рівнянню −10x−7 =13 є рівняння −2x+5 =9.
Відповідь. Б).
1.5.Коренями рівняння x2 +4x−5 =0 є числа −5 і 1. Більшим із них є число 1.
Відповідь. Г).
1.6. |
|
a2 −6a +9 |
= |
|
|
(a −3)2 |
|
= |
a −3 |
. |
|
|
|||||
|
a2 −9 |
|
(a −3)(a +3) |
a +3 |
|
|
|||||||||||
|
Відповідь. А). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
b1 |
(qn −1) |
|
3(( |
−2)5 −1) |
|
3 (−33) |
|
|||||||
1.7. |
Sn = |
|
|
|
|
|
|
. |
S5 = |
|
|
|
|
= |
|
=33. |
|
|
|
q −1 |
|
−2−1 |
−3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Відповідь. В). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.8. |
Вираз |
|
|
5x −3 |
має зміст при всіх значеннях x, що задовольняють умови |
||||||||||||
|
|
x −1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
{5x −3 0, |
|
3 |
|
3 |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
x |
5 , |
x |
|
||||
5 |
|||||||
x −1≠ 0, |
|
1, |
|
|
|||
|
x ≠ |
|
|
|
|||
Відповідь. Б).
;1 (1;+ ∞).
1.9.Оскільки відстань між центрами кіл більша, ніж сума їх радіусів, то кола не мають спільних точок.
Відповідь. А).
M
1.10. З прямокутного трикутника MNK:
NK = MK2 −MN2 = 133 −122 =5 (см).
Відповідь. Б).
a
K N
1.11. a b =6 3+(−5) 4 = −2.
Відповідь. В).
ВАРІАНТ 30 93
1.12. За теоремою синусів |
AC |
= |
AB |
, звідки sinB = |
ACsinC |
. |
|
|
|
|
|||||||
sinB |
sinC |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
= |
2 |
3 |
= |
2 |
, B =45°. |
|||||
Враховуючи, що sinC = sin60°= |
|
, sinB = |
|
2 |
|||||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
2 |
3 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Відповідь. Б).
Частина друга
2.1. 0,75−2 −1,5−3 −(−3) |
0 |
|
3 −2 |
|
3 −2 |
|
4 2 |
|
3 2 |
|
16 |
|
8 |
|
|
3 16 − 8 − 27 |
|
13 |
|
|||||||
|
= |
|
|
− |
|
|
−1= |
|
|
− |
|
|
−1 |
= |
|
− |
|
−1 |
= |
|
= |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
9 27 |
|
|
27 |
|
27 |
|
||||||
Відповідь. |
13 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2. |
2x3 |
|
a6 |
= − |
2x3 |
|
a3 |
= − |
a |
. |
a2 |
|
16x8 |
a2 |
4x4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
2x |
|||||
Відповідь. 2ax .
2.3.До області визначення входять ті значення x, при яких
−x2 +3x+4 >0. −x2 +3x+4 =0, якщо x1 = −1, x2 =4.
Відповідь. (−1;4).
2.4.Оскільки трикутники ABC і MNC подібні, то ABAC = MNMC .
Нехай MC =x см, AC =(x+3) см.
Тоді |
x + 3 |
= |
x |
, 6(x+3) =15x, 6x+18 =15x, 9x =18, x =2. |
15 |
|
|||
|
6 |
|
||
– + –
–1 4 x
C
MN
AC =2+3 =5 см. |
|
|
Відповідь. 5 см. |
A |
B |
Частина третя
3.1. Нехай швидкість течії річки x км/год. Систематизуємо дані у вигляді таблиці.
Рух |
s, км |
v, км/год |
|
t, год |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
За течією |
18 |
x |
|
18 |
|
|
|
(на плоту) |
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Проти течії |
18 |
15−x |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
15− x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
94 ВАРІАНТ 30
Враховуючи,що човном турист плив на 4,5 год = 29 год менше, ніж плотом, складаємо рівняння:
18x − 1518−x = 29 . ОДЗ: x ≠0, x ≠15.
36(15−x) −36x −9x(15 − x)
2x(15 − x) =0, x2 −23x+60 =0, x1 =20 — не задовольняє умову задачі, x2 =3.
Отже, швидкість течії річки 3 км/год.
Відповідь. 3 км/год.
3.2.Знайдемо різницю першого і другого рівнянь системи.
y =3−x,
3x(3−x) +3−x =7.
З другого рівняння останньої системи
3x2 −8x+4 =0,
x1 = |
8 −4 |
= |
|
2 |
|
, x2 = |
8 +4 |
=2. |
|||||||
|
3 |
|
6 |
||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y1 =3−2 =2 |
1 |
|
|
, y2 =3−2 =1. |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Відповідь. |
2 |
|
;2 |
1 |
|
, (2;1) . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||
3.3.BC =2 см, AD =18 см, AC =7 см, BD =15 см. Проводимо ви-
соти BM і CK. MBCK — прямокутник, MK = BC =2 см. |
B |
C |
|
Нехай KD = x, тоді AK = AD−KD =18−x; |
|||
|
|
||
MD = KD+MK =x+2. |
|
|
Зпрямокутного трикутника DMB: BM2 = BD2 −MD2 ,
BM2 =225−(x+2)2.
Зпрямокутного трикутника ACK: CK2 = AC2 − AK2,
CK2 =49−(18−x)2 . |
|
A |
M |
|
|
D |
||
|
|
|
||||||
|
K |
|||||||
225−(x+2)2 =49−(18−x)2, |
40x =496, x =12,4. |
|
||||||
|
|
|
|
|||||
CK2 =49−(18−12,4)2 =17,64, CK =4,2. |
|
|
|
|
||||
SABCD = |
BC + AD |
CK = |
2+18 |
4,2 =42 см 2. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Відповідь. 42 см2.
ВАРІАНТ 30 95
Частина четверта
4.1.М |
|
x −4 |
|
(x2 +x −12) 0. |
|
x −2 |
|||||
|
|
|
|
Задана нерівність рівносильна сукупності:
x ≠2,−4 x 3;
x =4.
|
|
|
|
Відповідь. |
|
−4;2) (2;3 |
{4}. |
4.2.М Оскільки ha = 2aS , hb = 2bS , hc = 2cS , то
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
= |
a |
+ |
b |
+ |
c |
= |
a +b + c |
= |
2p |
= |
|
|
|
2S |
2S |
2S |
2S |
2S |
||||||||
h h h |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
|
b |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x−2 ≠0,
x2 +x−12 0;x =4;
S1 = 1r , що й треба було довести. p
96 Відповіді
ВІДПОВІДІ
(перша та друга частини)
Варіант 1
У завданнях 1.1—1.12 правильну відповідь позначайте тільки так: 
У завданнях 2.1–2.4 упишіть відповідь.
2.1 |
17 |
|
2.3 |
(6; 1); (–2,25; 1,75) |
|
|
|
|
|
|
|
2.2 |
(1; –1); (–5; 5) |
|
2.4 |
16p |
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 2
У завданнях 1.1—1.12 правильну відповідь позначайте тільки так: 
У завданнях 2.1–2.4 упишіть відповідь.
2.1 |
2 |
|
2.3 |
610 |
|
|
|
|
|
2.2 |
(6; 3) |
|
2.4 |
14 |
|
|
|
|
|
Відповіді 97
Варіант 3
У завданнях 1.1—1.12 правильну відповідь позначайте тільки так: 
У завданнях 2.1–2.4 упишіть відповідь.
2.1 |
− |
3 |
|
|
2.3 |
500 г |
|
xy |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2 |
2,5; –4 |
|
2.4 |
10 см |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 4
У завданнях 1.1—1.12 правильну відповідь позначайте тільки так: 
У завданнях 2.1–2.4 упишіть відповідь.
2.1 |
− |
4 |
|
|
2.3 |
(–∞; 2] |
b |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2.2 |
1; 2 |
|
2.4 |
45° |
||
|
|
|
|
|
|
|
98 Відповіді
Варіант 5
У завданнях 1.1—1.12 правильну відповідь позначайте тільки так: 
У завданнях 2.1–2.4 упишіть відповідь.
2.1 |
84 |
|
|
|
|
2.3 |
1; 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
125 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2 |
|
|
a |
|
2.4 |
(–4; 0) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
a |
|
−5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 6
У завданнях 1.1—1.12 правильну відповідь позначайте тільки так: 
У завданнях 2.1–2.4 упишіть відповідь.
2.1 |
3 |
|
2.3 |
(–2; 1), (2; 1) |
|
|
|
|
|
|
|
2.2 |
6,5 |
|
2.4 |
78 см2 |
|
|
|
|
|
|
|
Відповіді 99
Варіант 7
У завданнях 1.1—1.12 правильну відповідь позначайте тільки так: 
У завданнях 2.1–2.4 упишіть відповідь.
2.1 |
3 |
|
2.3 |
− |
1 |
; |
|
1 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.2 |
[0; 1) |
|
2.4 |
30 см |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 8
У завданнях 1.1—1.12 правильну відповідь позначайте тільки так: 
У завданнях 2.1–2.4 упишіть відповідь.
2.1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2.3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a + 2 |
|
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2 |
− |
1 |
(x+6)(x −3) |
|
2.4 |
16 см |
|||||
3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|