Kuznecov_Praktikum

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Український державний морський технічний університет імені адмірала Макарова

ЛАБОРАТОРНИЙ ПРАКТИКУМ

З МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

Рекомендовано Методичною радою УДМТУ

Миколаїв 2002

УДК 517:618.3

Кузнецов А.М., Зароський Р.І., Нєдєлько Є.Ю. Лабораторний практикум з математичної статистики. – Миколаїв: УДМТУ, 2002.

– 48 с.

Кафедра вищої математики

Наведено короткі теоретичні відомості, зразки завдань з докладними методичними вказівками про їх виконання, таблиці вихідних даних для варіантів завдань, таблиці стандартних статистичних розподілів та їх критичних значень.

Посібник може бути рекомендований до виконання лабораторних робіт у курсі математичної статистики, контрольних робіт з цього курсу на заочному відділенні тощо.

Рецензент канд. фіз.-мат. наук, доц. Т.А.Юрченко

Український державний морський технічний університет, 2002

Видавництво УДМТУ, 2002

2

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

Виконання і захист лабораторних робіт є важливим етапом вивчення студентами курсу "Математична статистика". Кожний студент виконує ці роботи згідно з індивідуальним номером a свого варіанта, який він одержує від викладача.

За вказаним номером варіанта студент повинен сформувати індивідуальну статистичну сукупність даних, з якою він буде працювати під час виконання перших шести робіт. Основна сукупність даних кожного варіанта – вибірка А1 – це 100 пар значень двох кількісних ознак (ознака 1 – кількість балів, отриманих на тестуванні; ознака 2 – час, витрачений на підготовку до цього тестування). Вибірка А1 складається за наступним правилом: із таблиці дод.1 треба взяти 100 пар значень, починаючи з номера a і з номерами am = a + 5m (m = 0, 1, 2, …, 99). При цьому до значень обох ознак треба додати 0,1a і одержані таким чином значення округлити до цілого. Наприклад, для варіанта 31 вибірка А1 буде сформована збільшеними на три одиниці значеннями ознак з номерами 31, 36, 41, …, 526; результатом цього формування будуть наступні значення:

ознака 1 – 194, 83, 323, …, 284; ознака 2 – 28, 25, 44, …, 38.

У роботі № 4 використовується вибірка А2 з іншим, ніж у вибірки А1, об'ємом n = 20 + q, де q – остання цифра номера варіанта a (наприклад, для варіанта 31 n = 21).

Для виконання роботи № 7 вихідні дані наведено в дод.2; номер варіанта цих даних потрібно взяти такий же, як і вказане вище значення q – останньої цифри номера варіанта a. Усі вказані в таблицях дод.2 дані треба збільшити

3

Лабораторна робота ¹ 1

ОПИС ТА СТАТИСТИЧНА ОБРОБКА ДАНИХ

1. Основні теоретичні відомості

Вся досліджувана сукупність об'єктів (кількістю N) називається

генеральною сукупністю.

Частина об'єктів кількістю n (n ≤ N), випадково відібрана з генеральної сукупності, називається вибірковою сукупністю, або вибіркою.

Нехай над випадковою величиною Х проведено n незалежних випробувань; х1, х2, …, хn – її можливі значення. Дані заносяться в наведену нижче таблицю в порядку їх одержання.

Цю таблицю називають статистичним рядом, а хі – варіантами. Серед варіант можуть бути однакові. Якщо кожній варіанті поставити у відповідність її частоту (кількість повторень) ni, а також

відносну частоту Pi* = ni , а самі варіанти записувати у зростаючо- n

му (спадаючому) порядку, то наведену нижче таблицю називають

варіаційним рядом.

Статистичною (емпіричною) функцією розподілу F *(x) випадкової величини Х називається закон зміни відносної частоти випадку X < x у даному статистичному матеріалі:

F *(x) = P*( X < x).

Якщо об'єм вибірки n великий, то доцільно весь інтервал одержаних значень хі розбити на часткові (як правило, рівні) інтервали

(х1, х2), (х2, х3), …,(хk, хk+1). Позначимо через ni число значень випадкової величини Х, які попали в інтервал (хі, хі+1). Припустимо,

4

Лабораторну роботу розраховано на 4 години.

Завдання. Задано вибірку A1 (див. пояснювальну записку і дод.1). Провести статистичну обробку сукупності значень ознаки 1. Побудувати:

1)варіаційний ряд;

2)інтервальний варіаційний ряд;

3)гістограму;

4)криву щільності розподілу;

5)статистичну функцію розподілу F *(x) і її графік.

5

Зразок виконання завдання

Виконуємо пункти вказаного вище завдання для наступної вибірки A0 об'єму n = 170 (табл.1.1).

Таблиця 1.1

1. Для впорядкування чисел ці дані можна подати графічно: на числовій осі відмічають результати вимірів, над кожним виміром точками відмічають, скільки разів зустрілося це число (рис.1.2).

Рис.1.2

6

Складаємо варіаційний ряд за цими даними (табл.1.2).

Таблиця 1.2

За одержаними даними складаємо гістограму (рис.1.3); краще це зробити на міліметровому папері.

4.Будуємо приблизну криву щільності статистичного розподілу f (x) (див. рис.1.3).

5.Знаходимо статистичну функцію розподілу F* (x):

7

F* (x)

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

8

Лабораторна робота ¹ 2

ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИБІРКИ

1. Основні теоретичні відомості

До основних числових характеристик вибірки належать: вибіркове середнє (середнє арифметичне), дисперсія, середньоквадратичне відхилення, мода, медіана, коефіцієнт варіації.

Нехай над випадковою величиною проведено n випробувань, результатом яких є наведений нижче варіаційний ряд.

Вибіркове середнє x визначається за формулою

k

x = 1 ∑xi ni , (2.1) n i=1

де хі – варіанти; nі – відповідні частоти; k – кількість груп варіант; n – об'єм вибірки.

Якщо обчислення за формулою (2.1) громіздкі, то вводять так званий "хибний нуль" С. Значення С краще взяти рівним варіанті з максимальною частотою. Підрахунки у такому разі виконують за формулою

k

x = 1 ∑( xi −C )ni +C. (2.2) n i=1

Дисперсія вибірки σ2 обчислюється за однією з наступних формул:

k

σ2 = 1 ∑( xi − x )2 ni , (2.3) n i=1

k

σ2 = 1 ∑x12 ni −( x )2 , (2.4) n i=1

k

σ2 = 1 ∑( xi −C )2 ni −( x −C )2 . (2.5) n i=1

9

Середньоквадратичне відхилення вибірки σ визначається як квадратний корінь із дисперсії:

Мода вибірки Мo для варіаційного ряду – це значення варіанти з максимальною частотою. Якщо задано інтервальний варіаційний ряд, то мода Мo обчислюється за такою наближеною формулою:

де х0 – початок інтервалу з максимальною частотою (модальний інтервал); h – його довжина; ns – відповідна йому частота; ns–1 і ns+1 – частоти, що відповідають інтервалам попередньому і наступному за модальним.

Медіана вибірки Мe – це значення середнього елемента варіаційного ряду:

Для інтервального варіаційного ряду медіана Ме підраховується за формулою

де х0 – початок медіанного інтервалу, тобто інтервалу, в якому утримується середній елемент; h – довжина медіанного інтервалу; n – об'єм вибірки; Тs–1 – сума частот інтервалів, які передують медіанному; ns – частота медіанного інтервалу.

Коефіцієнтом варіації вибірки V називають виражене у процентах відношення середньоквадратичного відхилення до вибіркового середнього:

10