Теоретична частина Двійкова арифметика

Дії додавання, віднімання, множення і ділення над багаторозрядними двійковими числами виконують за тими самими правилами, що й у десятковій системі числення. При цьому використовують, звичайно, таблиці додавання і множення двійкових чисел:

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10

0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

Аналізуючи приклади множення двох чисел у двійковій системі числення, звернемо увагу на ті обставини, що множник складається тільки з 0 і 1, що всі проміжні добутки дорівнюють множеному або 0, що проміжні добутки зсуваються ліворуч відповідно до положення 1 у множнику, що операція множення замінюється послідовним додаван­ням множеного.

Арифметичні операції в різних системах числення
Десяткова	Двійкова	Десяткова	Двійкова
14,5 + 11,0 5,75 31,25	1110,1 + 1011,0 101,11 11111,01	23,25 2,75 11625 +16275 4650 63,9375	10111,01 10,01 1011101 +1011101 1011101 11111,1111
21,64 -10,35 11,29	10101,101 -1010,010 1011,011	48 6 - 48 8 00	110000 110 - 110 1000 000

В еом всі чотири арифметичні дії зводяться до дії додавання.

Розглянемо, як можна віднімання замінити додаванням. Для цього в ЕОМ використовується доповняльне число, яке дозволяє цю операцію звести до операції додавання двох чисел.

Доповняльне число — це число, яке доповнює дане число до значення наступного старшого розряду.

Наприклад, доповняльне число:

• до числа 234 буде 766, бо 766 доповнює 234 до 1000;

• до числа 75 буде 25, бо 25 доповнює 75 до 100;

• до числа 6334 буде 3666, бо 3666 доповнює 6334 до 10000.

Правило виконання віднімання за допомогою доповняльного числа:

Щоб відняти число В від числа А, достатньо скласти число А з числом, доповняльним до В і відкинути перенос у сусідній старший розряд.

Наприклад: 842 - 623 = 842 + 377 = (1)219 = 219

Якщо в десятковій системі цей прийом не справляє враження, то в двійковій системі заміна віднімання на додавання приносить відчутні переваги. Справа в тому, що доповняльне число в цій системі створю­ється дуже просто:

Щоб одержати доповняльне двійкове число, достатньо всі цифри числа замінити на протилежні (0 на 1, а 1 на 0)і в молодший розряд додати 1.

Наприклад, доповняльне число до числа 1001 буде 0110+1 = 111; до числа 110010 буде 001101 + 1 = 1110.

Тепер розглянемо приклад, як виконується віднімання за допо­могою доповняльного числа у двійковій системі числення.

Наприклад: 11110- 10011 = 11110+ 1101 =(1)01011 = 1011

Перш ніж розглянемо операцію ділення на ЕОМ, зробимо деякі по­яснення. Нехай потрібно 60 поділити на 12, не знаючи таблиці множення. Послідовно будемо віднімати 12 спочатку від 60, а потім від результату попереднього віднімання. І так доти, поки не одержимо у результаті віднімання 0. При цьому будемо рахувати кількість віднімань.

60-12 = 48 —1-е віднімання

48-12 = 36 —2-е віднімання

36-12 = 24 —3-є віднімання

24-12=12 — 4-е віднімання

12-12 = 0 —5-е віднімання

Тобто, 60:12 = 5

У цьому прикладі замінимо віднімання на додавання з доповняль­ним числом і одержимо алгоритм ділення чисел шляхом послідовного додавання. Якщо два числа не діляться націло, тоді алгоритм зупиняє­ться при залишку, меншому дільника для одержання цілої частини дробу. Далі аналогічно обчислюється дробова частина.

Найважливіша перевага двійкової системи числення полягає в тому, що вона дозволяє всі арифметичні дії звести до одної - додавання. Це значно спрощує будову процесора ЕОМ.

Головною частиною процесора, який виконує арифметичні опе­рації, є суматор.