4.6. Варианты заданий

№4.1. Найти частные производные, частные дифференциалы данных функций по каждой из независимых переменных (x, y, z, t, …) и полный дифференциал:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

4.7. Контрольные вопросы Глава 5. Численное дифференцирование

При анализе медицинских, инженерных и научных данных часто возникает необходимость найти наклон кривой, которая задана таблицей значений.

Возможна и другая ситуация: f(x) известна, но имеет очень сложное аналитическое выражение.

В первом случае классические методы дифференциального исчисления просто неприемлемы, а во втором случае их использование вызывает значительные трудности. В таких задачах вместо функции f(x) рассматривают интерполирующую функцию P(x), а затем полагают f '(x)  P'(x) на интервале axb. Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков функции f(x).

Если для интерполирующей функции P(x) известна погрешность интерполяции R(x)=f(x)–P(x), то погрешность производной равна производной от погрешности этой функции

r(x)=f '(x)–P'(x)=R'(x).

Такое утверждение справедливо и для производных высших порядков.

В целом же численное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование.

5.1. Формулы для вычисления первой производной

Численное дифференцирование весьма чувствительно к погрешностям, вызванным неточностью исходных данных. Значительно меньшую погрешность имеет дифференцирование многочленов наилучшего среднеквадратического приближения (методом наименьших квадратов). На практике часто применяются формулы безразностного дифференцирования для производной первого порядка:

По трем точкам:

(5.1)

По четырем точкам:

;(5.2)

;

.

По пяти точкам:

;

;

;(5.3)

;

.

5.2. Формулы второй производной

По четырем точкам:

; (первое значение)

; (внутренние точки)(5.4)

. (последнее значение)

По пяти точкам:

;

;

; (5.5)

;

.

Заметим, что с ростом порядка производной резко падает точность численного дифференцирования. Поэтому на практике редко применяют формулы для производных второго порядка.

5.3. Примеры

№1. Пользуясь безразностными формулами по 3 точкам, определить первые производные для функции у=х² на интервале [1; 3] с шагом 0,2 и сравнить их значения с аналитическими.

Решение.

Воспользуемся формулами (5.1):

Для сравнения этих значений с аналитическими составим таблицу:

i	хi	у=х2	Аналитические значения у΄=2х	Численные значения у΄
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3	1 1,44 1,96 2,56 3,24 4 4,84 5,76 6,76 7,84 9	2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6	2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6

Таким образом, мы видим, что все значения первой производной полностью совпадают с аналитическими.

№2. Пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, определить первые производные для функции у=х³ на отрезке [1; 3] с шагом 0,2 и сравнить эти значения с аналитическими.

Решение.

Пользуемся формулами (5.2):

и т.д. по формуле для .

Для сравнения полученных значений с аналитическими составим таблицу:

i	хi	у=х3	Аналитические значения у´=3х2	Численные значения у´(х)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3	1 1,728 2,744 4,096 5,832 8 10,648 13,824 17,576 21,952 27	3 4,32 5,88 7,68 9,72 12 14,52 17,28 20,28 23,52 27	3 4,32 5,88 7,68 9,72 12 14,52 17,28 20,28 23,52 27

Получим, что для функции у=х³ численное дифференцирование по 4 точкам дает такие же значения, что и аналитические.

№3. Найти вторую производную для функции у=х³ на отрезке [1; 3] с шагом 0,2, пользуясь безразностными формулами по 4 точкам и сравнить полученные значения с аналитическими.

Решение.

Воспользуемся формулами (5.4):

(первое значение)

(последнее значение)

и т.д. по формуле для внутренних точек.

Для сравнения составим таблицу:

i	хi	у=х3	Аналитические значения у″=6х	Численные значения у″
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3	1 1,728 2,744 4,096 5,832 8 10,648 13,824 17,576 21,952 27	6 7,2 8,4 9,6 10,8 12 13,2 14,4 15,6 16,8 18	6 7,2 8,4 9,6 10,8 12 13,2 14,4 15,6 16,8 18

Таким образом, получим, что для функции у=х³ численное нахождение второй производной по 4 точкам дает такие же значения, что и аналитические.