2.6. Дифференциал функции

Если функция f(х) дифференцируема в точке х₀, то ее приращение можно представить в виде

Δf(х₀) = f ^/(x₀)Δх + α(Δх) Δх. (2.3)

В этом случае выражение f ^/(x₀)Δх, линейно зависящее от Δх, называется дифференциалом функции f(х) в точке х₀ и обозначается символом df(x):

df(x) = f '(x₀)·Δx.

Дифференциал функции равен произведению производной функции на приращение ее аргумента.

Термин «дифференциал» происходит от латинского слова differentia, означающего различие.

Дифференциал функции есть главная часть приращения функции. В этом состоит аналитический смысл дифференциала.

Дифференциал аргумента dx равен его приращению ∆x: dx=∆x. Поэтому можно записать df=f ^/(x)dx (дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента).

Если приращение аргумента ∆x близко к нулю (достаточно мало), то приращение функции Δf приближенно равно ее дифференциалу, т.е. Δf df, откуда f(х₀ +∆x) ≈ f ^/(x₀)+df или

f(х₀ +∆x) ≈ f ^/(x₀)+f ^/(x₀) ∆x (2.4)

Формула (2) используется для приближенного вычисления значения функции f(x) в точке x₀+∆x по известному значению этой функции и ее производной в точке x₀.

2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала

Пусть кривая, изображенная на рис. 2.3 является графиком функцииy=f(x).

Из треугольника MKL выразим сторону KL:

KL = tgx = f ^/ (x)x = dy

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.

Дифференциал сложной функции

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у – сложная функция.

Тогда

dy = f (x)g(t)dt = f (x)dx. (2.5)

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой-то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

2.8. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a; b). Тогда в каждой точке этого интервала определен дифференциал dу=f ^/ (x)dx функции f(x), называемый также дифференциалом первого порядка (или первым дифференциалом).

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) от функции y=f(x) в точке х(a; b) называется дифференциал от дифференциала первого порядка функции f(x) в этой точке.

Дифференциал второго порядка обозначается d²f(х) или d²y (читается: «дэ два игрек»). Таким образом, d²y=d(dy). Учитывая, что dу=f ^/ (x)dx, где dx – не зависящая от х константа получим

d²y=f^//(x)dx².

Аналогично определяются дифференциалы третьего и более высоких порядков: d³y=d(d²y), d⁴y=d(d³y), … В общем случае, дифференциалом п-ного порядка от функции f(x) в точке x называется дифференциал от дифференциала (п–1)-го порядка функции f(x) в этой точке:

dⁿy=d(d^n–1y), где dⁿy=f⁽ⁿ⁾dxⁿ.

Отсюда следует, что .

Заметим, что для дифференциалов высших порядков свойство инвариантности не имеет места.