2.9. Примеры

№1. Найти производную функции .

Решение.

№2. Найти производную функции .

Решение.

№3. Точка движется по закону х(t) = t – sin t. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t=4с.

Решение.

Воспользуемся формулой (3.3.1):

V= х′(t) = (t – sin t) ′ = 1 – cos t,

V(4)=1–cos 41,6 (м/с).

Аналогично по формуле (3.3.2):

а= V′ = (1 – cos t) ′ = sin t,

а(4)=sin 4–0,76 (м/с²).

№4. Найти дифференциал функции f (x) = ln(x²+1).

Решение.

По формуле (3.8.1) получим

df = (ln (x²+1)) ′dx =

№5. Найти производную второго порядка от функции f (x) = sin² х.

Решение.

№6. Вычислить значение дифференциала функции f (x) = х³+2х, когда х изменяется от 1 до 1,1.

Решение.

Прежде находим общее выражение для дифференциала этой функции:

df = (x³+2x) ′dx = (3x²+2)dx.

Определим приращение аргумента Δx=dx = 1,1–1=0,1.

Подставляя значения dx=0,1 и x=1 в последнюю формулу, получаем искомое значение дифференциала: df=0,5.

№7. Используя понятие дифференциала, найти приближенное значение.

Решение.

Рассмотрим функцию f(x)=. Требуется вычислить значение f(1,06). Выберем х₀ = 1, Δх = 0,06 и воспользуемся формулой (3.7.2)

f(1+0,06) ≈ f (1)+f ^/(1) 0,06=.

Здесь мы воспользовались равенством

2.10. Варианты заданий

№2.1. Найти производные следующих функций:

1. у = сos³x;

2. ;

3. у=(3x+2)(x²+4x–1);

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. 

11. 

12. 

13. 

14. у =

15. у =

16. 

17. 

18. 

19. у = sin³(2x + π/6)

20. y = (3x+1)²(2x-3)⁷

21. 

22. y = cos(sin(cos(sinx)))

23. y = x³ + e^x –cos3x

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. y = x^tgx

33. y = x^cosx

34. y = x^sin2x

35. y =

№2.2. Найти производную данной функции в точке х₀:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

№2.3. Найти производные указанных порядков для следующих функций:

1. y = ln cos x, y^//=?;

2. y = 5^x, y^///=?;

3. y = sin² x, y^///=?;

4. ;

5. , у^//=?;

6. .

№2.4. Решить следующие задачи:

1. Составить уравнение касательной к гиперболе в точке с абсциссойх=–0,5.

2. Точка движется по прямой так, что ее расстояние s от начального пункта через t сек. равно. В какие моменты точка была в начальном пункте? В какие моменты ее скорость равна нулю?

3. Количество вещества, протекшее через проводник, начиная с момента времени t=0, дается формулой Q=2t²+3t+1 (кулонов). Найти силу тока в конце пятой секунды.

4. Составить уравнения касательных к линии в точках ее пересечения с осью абсцисс.

№2.5. Найдите производную указанной функции, сначала по х, считая t постоянной, а затем по t, считая х постоянной:

1. 

2. 

3. 

№2.6. Найти дифференциалы указанных порядков для следующих функций:

1. , d–?

2. , d–?

3. ln (ln x), d–?

4. sin 2x, d²–?

5. e^{cos x}, d²–?

6. e^x+x², d³–?

7. , d–?

8. e^2x, d⁽ⁿ⁾–?

№2.7. Вычислить приближенно:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ln 1,02.

2.11. Контрольные вопросы

1. Что такое приращение аргумента и приращение функции.

2. Какие значения могут они принимать?

3. Дайте определение производной функции в точке.

4. Запишите различные обозначения производной.

5. Что является биологическим смыслом производной?

6. Объясните алгебраический, физический смысл производной?

7. Объясните геометрический смысл производной.

8. Приведите примеры производной.

9. Что называется производной сложной функции?

10. Что называется производной высшего порядка?

11. Дайте понятие дифференциала функции.

12. Для всех ли функций существует дифференциал?

13. В чем состоит алгебраический смыслы дифференциала

14. В чем состоит геометрический смыслы дифференциала?

15. Докажите, что дифференциал аргумента равен его приращению.

16. Перечислите свойства дифференциала.

17. Дайте определения, в том числе в виде математического выражения, дифференциала 2-го порядка, n-го порядка.