- •Рязань 2012
- •Введение
- •Глава 1. Предел функции
- •1.1. Определение предела
- •1.2. Операции над пределами
- •1.3. Замечательные пределы
- •1.4. Примеры
- •1.5. Варианты заданий
- •1.6. Контрольные вопросы Глава 2. Производная и дифференциал
- •2.1 Понятие производной
- •2.2. Геометрический и физический смысл производной
- •2.3. Таблица производных
- •2.4. Основные правила дифференцирования
- •2.5. Производные высших порядков
- •2.6. Дифференциал функции
- •2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала
- •2.8. Дифференциалы высших порядков
- •2.9. Примеры
- •2.10. Варианты заданий
- •2.11. Контрольные вопросы
- •Глава 3. Исследование функций и построение графиков
- •3.1. Промежутки монотонности и знакопостоянства
- •3.2. Экстремумы функции
- •3.3. Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба
- •3.4. Асимптоты
- •3.5.Общая схема исследования функции и построение графиков
- •3.6. Примеры
- •3.7. Варианты заданий
- •3.8. Контрольные вопросы
- •Глава 4. Функции нескольких переменных
- •4.1. Определение функции нескольких переменных
- •4.2. Частные производные
- •4.3. Полный дифференциал
- •4.5. Примеры
- •4.6. Варианты заданий
- •4.7. Контрольные вопросы Глава 5. Численное дифференцирование
- •5.1. Формулы для вычисления первой производной
- •5.2. Формулы второй производной
- •5.3. Примеры
- •5.4. Варианты заданий
- •5.5. Контрольные вопросы Глава 6 Основы интерполяции.
- •6.1. Постановка задачи
- •Интерполяционные формулы конечных разностей
- •6.3. Интерполяционные формулы центральных разностей
- •6.4. Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
- •6.5. Варианты заданий
- •6.6. Контрольные вопросы Глава 7. Неопределенный интеграл
- •7.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •7.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •7.3. Таблица простейших интегралов
- •7.4. Основные методы интегрирования
- •7.4.1. Непосредственное интегрирование
- •7.4.2. Метод подстановки (замена переменной)
- •7.4.3. Интегрирование по частям
- •7.5. Примеры
- •7.6. Варианты заданий
- •7.7. Контрольные вопросы
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •8.2. Основные методы интегрирования
- •8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •8.2.2. Метод подстановки
- •8.2.3. Интегрирование по частям
- •8.3. Примеры
- •8.4. Варианты заданий
- •8.5. Биологические, физические и медицинские приложения определенного интеграла
- •8.5.1. Примеры задач прикладного характера.
- •8.5.2. Примеры решения задач.
- •8.5.3. Варианты заданий
- •Глава 9. Численное интегрирование
- •9.1. Формула прямоугольников
- •9.2. Формула трапеций
- •9.3. Метод средних
- •9.4. Формула Симпсона
- •9.5. Примеры
- •9.6. Варианты заданий
- •9.7. Контрольные вопросы
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения
- •Основные определения
- •10.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •10.3. Однородные уравнения первого порядка
- •10.4. Линейные уравнения первого порядка
- •9.5. Примеры
- •I. Метод Лагранжа
- •II. Метод Бернулли
- •1) Метод вариации произвольной постоянной
- •2) Метод подстановки
- •10.6. Варианты заданий
- •10.7. Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
- •10.8. Варианты заданий
- •10.9. Контрольные вопросы
- •Глава 11. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •11.1. Метод Эйлера
- •10.2. Метод Рунге – Кутта
- •10.3. Примеры
- •11.4. Варианты заданий
- •11.4. Контрольные вопросы
- •Глава 12. Элементы теории вероятностей
- •12.1. Случайное событие
- •12.2. Комбинаторика
- •12.3. Вероятность случайного события
- •Закон сложения вероятностей
- •12.5. Варианты заданий
- •12.6. Условная вероятность, закон умножения вероятностей
- •12.7. Варианты заданий
- •12.8. Формулы полной вероятности и Байеса
- •12.9. Варианты заданий
- •11.10. Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
- •12.11. Варианты заданий
- •12.2. Случайные величины
- •12.2.1. Закон распределения случайной величины
- •12.2.2. Функция распределения случайных величин
- •12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •12.2.4. Плотность вероятности непрерывных случайных величин
- •12.2.5. Нормальный закон распределения
- •12.3. Варианты заданий
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований
- •13.1. Основные понятия математической статистики
- •13.1. Варианты заданий
- •13.2. Статистические оценки параметров распределения. Выборочные характеристики
- •13.2.1. Характеристики положения
- •13.2.2. Характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего
- •13.3. Варианты заданий
- •13.4. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •13.4.1. Точечная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.5. Варианты заданий
- •13.6. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.7. Варианты заданий
- •1.8. Контрольные вопросы
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ
- •14.1. Функциональная и корреляционная зависимости
- •14.2. Коэффициент линейной корреляции и его свойства
- •14.3. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента линейной корреляции
- •14.4. Выборочное уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов
- •14.5. Нелинейная регрессия
- •14.6. Варианты заданий
- •Приложение
- •Критические значения выборочного коэффициента корреляции
- •Критерий Колмогорова – Смирнова Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функции распределения
- •Распределение Пирсона (х2 – распределение)
- •Распределение Фишера – Снедекора (f-распределение)
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований 150
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ 168
13.5. Варианты заданий
№ 13.1. При исследовании клинической оценки тяжести серповидноклеточной анемии была получена выборка объема 33.
0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 5;
5;5;5;6;7;9;10;11.
Найдите среднюю, среднее квадртическое отклонение и
медиану. Можно ли считать, что выборка извлечена из
совокупности с нормальным распределением?
№ 13.2. Исследуя продолжительность (в секундах) физической нагрузки до развития приступа стенокардии у 12 человек с ишемической болезнью сердца, получили следующие данные:
289;203; 359; 243; 232; 210; 215; 246; 224; 239; 220; 211. Найдите среднюю, среднее квадратическое отклонение, медиану. Можно ли считать, что данная выборка извлечена из совокупности с нормальным распределением?
№ 13.3. Найдите среднее число очков, выпадающих при бросании игральной кости. Опишите это распределение. Может ли оно быть нормальным?
13.6. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
Точечные оценки параметров распределения не дают информации о степени близости к соответствующему теоретическому параметру. Поэтому построение интервала, в котором с заданной степенью достоверности будет находиться оцениваемый параметр, является более информативным способом оценивания неизвестных параметров.
Интервальная оценка – это числовой интервал, который определяется двумя числами-границами интервала, содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительный интервал – это интервал, в котором с той или иной заранее заданной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительная вероятность р - это такая вероятность, что событие вероятности (1 - р) можно считать невозможным. - это уровень значимости. (Обозначения могут быть любыми, часто обозначают наоборот). Обычно в качестве доверительных вероятностей используют вероятности, близкие к 1. Тогда событие, что интервал накроет характеристику, будет практически достоверным. Это
Эти вероятности признаны достаточными для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании известных выборочных показателей. Обычно указывают 95% доверительный интервал.
Для выборки малого объема (n< 30) нормально распределенного количественного признака х доверительный интервал может иметь вид:
где |- генеральное среднее;- выборочное среднее; t - нормированный показатель распределения Стъюдента с (n - 1) степенями свободы, который определяется вероятностью попадания генерального параметра в данный интервал. Термин «степени свободы» означает, что их можно вычислить как объем выборки минус число ограничивающих условий; — ошибка выборочной средней.
Для интерпретации доверительного интервала в клинических работах следует помнить, что ширина доверительного интервала зависит от ошибки выборочной средней, которая в свою очередь зависит от объема выборки (n) и от изменчивости данных (S). Если выборка небольшая, то доверительный интервал более широкий, чем в случае выборки большого объема. Широкий доверительный интервал указывает на неточную оценку, а узкий – на точную оценку.
Верхний и нижние пределы доверительного интервала показывают, будут ли результаты клинически значимы.
Количественный признак х генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 16 найдены выборочная средняя = 20,2 и среднее квадратическое отклонение S = 0,8. Определить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала при .
Решение:
Найдем t из таблицы распределения Стъюдента при уровне значимости и числе степеней свободыf=n-1; f=16-1=15.
Запишем:
Имеется выборка объёма n=11 - это значения систолического давления у мужчин в начальной стадии шока,
х: 127,124,155,129,77,147,65,109,145,141.
С помощью пакета прикладных программ на ЭВМ провести статистическую обработку данных выборки и определить доверительный интервал для генеральной средней при
Решение:
Пусть расчет на ЭВМ дал: выборочное среднее
По таблице распределения Стьюдента найдем:
Из обследованных 430 случайно выбранных колосьев пшеницы 37 оказались пораженными головней. Каковы 95%-ные доверительные границы процента пораженности для данного поля?
Решение:
Выборочный средний процент пораженности составляет:
Теперь по формуле находим:
.
Тогда для 95%-ного доверительного уровня имеем доверительные границы:
,
т. е . 95%-ный доверительный интервал есть (6,0 2)%.
При рентгеновском облучении 10 мышей дозой в 550 Р погибло 5 мышей. Каковы 99%-ные доверительные границы для доли мышей, погибающих пол действием данной дозы облучения?
Решение:
Имеем:
.
поэтому при Р=99% (и ) доверительные границы будут:
0,5-2,58*=0,5-0,408=0,092=9,2%,
0,5+2,58*0,158=0,5+0,408=0,908=90,8% .
Так как найденный доверительный интервал перекрывает почти весь возможный диапазон расположения истинной доли погибающих мышей (от 0 до 100%), то следует заключить, что опыт вообще не дал почти никакого результата (кроме указания, что при данной дозе облучения выборка из 10 мышей недостаточно велика для нахождения ответа на поставленный вопрос).
При изучении в 10 опытах образования у собаки условного рефлекса под действием ранее индифферентного раздражителя были получены результаты (время между моментом включения условного раздражителя и моментом начала слюноотделения): с,с. Надо найти 95% -ный доверительный интервал для µ , характеризующий данное животное.
Решение:
Для Р=95% и f=n-1=9(число степеней свободы дисперсии) находим в приложении значение t=2,26. Поэтому границы доверительного интервала будут:
Результаты обычно записываются в одной из следующих двух форм:
или
Из табл. приложений видно, что значения зависят особенно резко от f при малых f. Поэтому увеличение малых n приводит к сужению доверительного интервала определяемого величинойне только за счет уменьшения множителя, но в еще большей степени за счет уменьшения. Так, приизменении n с двух опытов до трех уменьшает множительсдо, т.е. доверительный интервал сужается в 9,0 : 2,5 = 3,6 раза; при Р=99% ширина доверительного интервала уменьшается даже примерно в 8 раз (;). При больших значениях n увеличение n на одну единицу сказывается на ширине доверительного интервала гораздо меньше.
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10:
вариант xi -2 1 2 3 4 5
частота ni 2 1 2 2 2 1
Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интеграла.
Решение:
Выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение найдем соответственно по формулам:
Подставим в эти формулы данные задачи, получим
Найдем . Пользуясь таблицей, по=0,95 и n=10 находим =2,26.
Найдем искомый доверительный интервал
.
Подставляя получим искомый доверительный интервал 0,3<<3,7, покрывающий неизвестное математическое ожидание с надежностью 0,95.
По данным 9 независимых равноточных измерений некоторые физические величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и исправленное квадратическое отклонение S=6. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью=0,99.
Решение:
Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию . Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном ) при помощи доверительного интервала
Здесь все величины, кроме t, известны. Найдем t. По таблице =0,95 и n=9 находим t=3,36.
Подставим =30,1, t=3,36, S=6, n=9, получим искомый интервал
23,38<<36,82
По данным выборки объема n=16 из генеральной совокупности найдено исправленное среднее квадратическое отклонение s=1 нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95.
Решение:
Задача сводится к отысканию доверительного интервала
S(1-q)<<s(1+q), (если q<1) (*)
или 0<<s(1+q) (если q>1).
По данным =0,95 и n=16 найдем q=0,44. Так как q<1, то, подставив s=1, q=0,44 в соотношение (*), получим искомый доверительный интервал 0,56<<1,44.