Глава 1. Предел функции

1.1. Определение предела

Рис. 1.1

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что 0 < x – a <  верно неравенство f(x) – A<  (рис. 1.1).

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а –  < x < a + , x  a, то верно неравенство А –  < f(x) < A + .

Запись предела функции в точке: .

Если f(x)  A₁ при х  а только при x < a, то называетсяпределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x)  A₂ при х  а только при x > a, то называетсяпределом функции f(x) в точке х = а справа (рис. 1.2).

П

Рис. 1.2

риведенное выше определение относится к случаю, когда функцияf(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А₁ и А₂ называются также односторонними

пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

1.2. Операции над пределами

1. Предел постоянной есть сама постоянная: , гдеС = const.

Следующие свойства справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха;

2. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов:

;

3. Предел произведения равен произведению пределов:

;

4. Постоянную можно выносить за знак предела:

;

5. Предел отношения равен отношению пределов:

, при ;

6. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , тоА>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x)  0, f(x)  0;

7. Если g(x)  f(x)  u(x) вблизи точки х = а и , то и;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. Неопределенность вида можно раскрыть, если числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной;

13. Неопределенность вида можно раскрыть, если числитель и знаменатель дроби разложить на множители и сократить.

1.3. Замечательные пределы

Найдем предел отношения двух многочленов, т.е. , где

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n–1 +…+a_n, Q(x) = b₀x^m + b₁x_m–1 +…+b_m. Преобразуем данную дробь следующим образом

Таким образом,

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:, гдее постоянная, которая приблизительно равна 2,718281828…

Часто если непосредственное нахождение предела какой-либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при х0:

1. ~ х;

2. 1–cos x ~ ;

3. tg x ~ x;

4. arcsin x ~ x;

5. arctg x ~ x;

6. ln (1+x) ~ x;

7. a^x–1 ~ xln a;

8. ~ .

1.4. Примеры

№1. Используя свойства пределов функций, найти следующие пределы:

1. 

2. 

3. 

4. 

Решение.

1. Применяя теорему о действиях над пределами функций, получим:

2. Так как пределы числителя и знаменателя при х2 равны нулю, то мы имеем неопределенность вида . «Раскроем» эту неопределенность (т.е. избавимся от нее), разложив числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множительх – 2:

.

3. Здесь мы также имеем неопределенность вида . Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю (избавимся от иррациональности в числителе):

4. Числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, поэтому здесь имеет место неопределенность вида . Раскроем эту неопределенность. Поделим числитель и знаменатель дроби на высшую степеньх, т.е. на х²:

Таким образом,

№2. Найти пределы:

1. 

2. 

3. 

4. 

Решение.

1. Сделаем замену у=αх; тогда у0 при х0 и . В последнем равенстве мы воспользовались первым замечательным пределом. Таким образом,

2. Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х, после чего воспользуемся предыдущим пунктом:

3. Сводя предел к первому замечательному пределу, сделаем замену у=х–. Тогдау0 при х, ах=у+, откуда:

Во втором равенстве в этой цепочке мы использовали формулу приведения, а в последнем – первый замечательный предел.

4. Так как х0, то воспользуемся эквивалентностью №4:

.