9.5. Примеры

№1. Найти приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона и формулы трапеций, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

Решение.

Так как п=2т, то в нашем примере т=5. По формуле Симпсона получим:

Все дальнейшие расчеты приведены в таблице:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	–2	–1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
y(xi)	2,83	3,87	4	4,12	4,9	6,56	8,94	11,87	15,23	18,95	22,98

Окончательно получим,

Точное значение этого интеграла – 91.173.

Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

Абсолютная погрешность равна .

Относительная погрешность

Для сравнения применим к этому же интегралу формулу трапеций.

Абсолютная погрешность равна .

Относительная погрешность

Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.

№2. Вычислить определенный интеграл с помощью формулы прямоугольников, еслип=10.

Решение.

По формуле прямоугольников получим: .

Резльтаты вычислений поместим в таблицу:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
ti	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
y(ti)	1	0,99	0,96	0,92	0,86	0,80	0,74	0,67	0,61	0,55

Таким образом,

.Точное значение этого интеграла – 0,79.

Найдем точное значение интеграла

Абсолютная погрешность равна .

Относительная погрешность

Вывод: формула прямоугольников для данного числа разбиений дала достаточно точный результат (погрешность меньше 1%).

№3. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = и прямыми:y = 0, x = a = 1, x = b =11 методами:

а) прямоугольников;

б) трапеций;

в) Симпсона;

г) аналитическим с использованием формулы Ньютона-Лейбница.

Построить график заданной функции с разбиением отрезка наn = 10 подынтервалов и график функции на отрезкеx.

Решение. Составим таблицу разбиения отрезка интегрирования на n = 10 равных участков с длинами интервалов x =(табл. 11.1). Во второй строке таблицы представлены увеличенные в 10 раз значения(k = ).

Таблица 9.1 Данные для численных методов

	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
	10 7,07 5,77 5,00 4,47 4,08 3,78 3,54 3,33 3,16 3,02

а) Используя формулу прямоугольников с высотами, представляющими собой левые значения функции на концах подынтервалов, найдем приближенное значение площади криволинейной трапеции в виде суммы площадей прямоугольников, очерченных на рис. 11.6 сплошными линиями:

Та же формула прямоугольников, но с подстановкой в нее высот, равных правым значениям функции на концах подынтервалов, дает значение интеграла, равного площади ограниченных пунктиром прямоугольников:

б) По формуле трапеции получим

Следует обратить внимание на очевидное равенство

в) По формуле Симпсона (n=5–количество спаренных подынтервалов)

г) Определим точное значение интеграла, являющегося табличным:

Найдем относительные ошибки определения площадей различными использованными методами численного интегрирования, сравнивая их с точным значением площади, полученным по формулам Ньютона-Лейбница:

Аналогично:

;