Свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

2. 

3. Определенный интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x), заданных на отрезке [a; b], равен сумме определенных интегралов от этих функций:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

5. 

6. , где a < c < b.

7. Если f(x)0 на отрезке [a; b], то ; если f(x)0 на отрезке [a; b], то .

8. Если m, M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a; b]: mf(x)M, то .

9. Если f(x)  g(x) на отрезке [a; b], то .

10. Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения этой функции в некоторой промежуточной точке х=с отрезка интегрирования [a; b] на длину этого отрезка (теорема о среднем):

или .

11. .

12. .

8.2. Основные методы интегрирования

8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница

Для вычисления определенного интеграла от непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x) в том случае, когда может быть найдена ее первообразная F(x) служит формула Ньютона-Лейбница:

,

т.е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

При интегрировании четных и нечетных функций в симметричных пределах интегрирования используют формулу

Пример. Вычислить определенные интегралы.

1).

2)

8.2.2. Метод подстановки

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (метод подстановки) данный интеграл преобразуется с помощью подстановки t=(x) или x=(t) в определенный интеграл относительно новой переменной интегрирования t. При этом старые пределы интегрирования a, b заменяются новыми переделами интегрирования  и  соответственно, которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: =(a), =(b). Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений ()=a, ()=b относительно  и .

Таким образом, имеем

Здесь предполагается, что функции (t) и ΄(t) непрерывны на отрезке [; ], а функция f((t)) определена и непрерывна на отрезке  t  .

Пример. Вычислим методом подстановки интеграл .

Решение. Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки t=2x–1. Дифференцируя, получим dt=2dx, откуда dx=dt/2. Находим новые пределы интегрирования: подставляем в соотношение t=2x–1 значения x=2, х=3. Тогда получим α=3, β=5. Следовательно,

.

В дальнейшем при решении методом подстановки будем использовать форму записи как в неопределенном интеграле, используя вертикальные скобки.

8.2.3. Интегрирование по частям

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b], то для вычисления определенного интеграла используют формулу , которая называетсяформулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Положим ТогдаПо формуле интегрирования по частям имеем

.