Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Все в одном

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

23.06 Mб

Скачать

☆

1 / 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

~, .

1. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

1. Элементарные понятия

Опр: Высказывание A – связное повествовательное осмысленное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Высказывания должны быть связными, т.е. построенными по законам языка. Нас интересуют только значения

истинности ˆ высказывания.

Два высказывания А и В называют равносильными (А≡В) тогда и только тогда, когда

ˆ	ˆ
A = B .
Операции:
	операнды	отрицание	дизъюнкция	конъюнкция	эквиваленция	импликация
	( aˆ или	отрицание	дизъюнкция	конъюнкция	эквиваленция	импликация
	( aˆ или	ˆ	^	^	^	^
	ˆ	ˆ	a b	a b	a ~ b	a b
	ˆ	a	a b	a b	a ~ b	a b
	aˆ , b )
	0	1
	1	0
	0,0		0	0	1	1
	0,1		1	0	0	1
	1,0		1	0	0	0
	1,1		1	1	1	1
Свойства импликации и эквиваленции: 1) a ~ b b ~ a ;					2) a ~ a 1;

3)a b a b , где а-посылка, b-заключение;

4)a ~ b (a b) (b a) (a b) (a b) (a b) (a b) .

Опр: ФАВ – осмысленное выражение, полученное из элементарных высказываний, символов логических переменных, с помощью знаков логических операций и скобок, определяющих порядок действий.

Опр: Булевой формулой алгебры высказываний (далее БФАВ) называется формула алгебры высказываний (далее ФАВ), не содержащая Опр: Булева алгебра высказываний (БАВ) – некоторое множество объектов с тремя

операциями: , , , если в нем справедливы 19 соотношений:

Основные равносильности булевой алгебры высказываний (БАВ)

a a

закон _ двойн ого_ отрицан ия

a b b a

коммутативн ый _ закон

a b b a

коммутативн ый _ закон

(a b) c a (b c) a b c

ассоциативн ый _ закон

(a b) c a (b c) a b c

ассоциативн ый _ закон

a bc (a b)(a c)

дистрибутивн ый _ закон

a(b c) ab ac

дистрибутивн ый _ закон

a a a

закон _ идемпотен тн ости

a a a

закон _ идемпотен тн ости

a b a b

закон _ Де _ Морган а

a b a b

закон _ Де _ Морган а

a 1 1

закон _ н уля _ и _ един ицы

a 0 0

закон _ н уля _ и _ един ицы

a 0 a

закон _ н уля _ и _ един ицы

a 1 a

закон _ н уля _ и _ един ицы

a ab a

закон _ поглощен ия

a(a b) a

закон _ поглощен ия

a a 1

закон _ исключен н ого _ третьего

a a 0

закон _ противоречивости

Пусть F (x1

... xn ) - ФАВ.

def

Опр: Двойственной формулой называется F * (x1...

xn ) F (x1...

xn ) .

Теорема: Общий принцип двойственности:

Пусть F ( y1... ym ), f1 (x1...xn ),...,

f m (x1...xn ) - ФАВ =>

Fyi fi

(x1 ...

x n ) * F *yi f *i

(x1

...xn )

▲

Fyi fi

(x1

x n ) * F( f1 (x1

xn ),...,fm (x1 xn )) *

F( f1 (

x1...

xn ),...,fm (x1...

xn ))

F( f1 (x1...xn ),..., fm (x1...xn )) F *yi f *i (x1...xn )

Теорема: (Булев принцип двойственности):

Двойственная БФ м.б. получена заменой 0 на 1, 1 на 0, на , на с сохранением структуры формулы.

▲Параметр индукции – ранг формулы r(f) (кол-во операций в формуле).

При r=0 0,1, x

0* 0 1,1* 1 0, x* x x

При r=1 формула состоит из булевых формул f,g и операций , , . Тогда

общ.принцип

двойст ти

( f )* ( y y f ) *

( y) *y f * ( y) y f * ( f *) ,

общ.принцип

двойст ти

( f g)* ( y y

y1 f

) *

( y y

) *

( y y

)

( f ) * (g) *

2 y2 g

y1 f *

y2 g*

общ.принцип

двойст ти

( fg)* ( y y y1 f

) *

( y y

) *

( y y

)

( f ) * (g) *

1 2 y2 g

1 2

f *

y1 f *

y2 g*

Индуктивный переход: пусть формула справедлива при r n0 , покажем при r n0 1 : в любой формуле можно выделить последнюю операцию, это одна из трёх , , . А к ней применимо то же, что и в п.1 для r=1, т.е. ( f )* ( f *) , ( f g)* ( f ) * (g) *и

( fg)* ( f ) * (g) * .

Теорема: (Закон двойственности) f g f * g *

▲ Основано на анализе связей таблиц истинности формулы и её двойственной

def
def
формулы. Т.к. F * (x1...xn ) F (x1...xn ) , то

		x1	x2	…	xn	ˆ	ˆ
		x1	x2	…	xn	f	f *
	0		0	…	0
	0		0	…	0

	0		0	…	1

				…
	1		1	…	0

	1		1	…	1
	1		1	…	1

ˆ	^ ^
ˆ	ˆ
f g f	g f * g * f * g *

обобщ

f * g * ( f *)* (g*)* f g


Пусть {0,1}, х – высказывательная переменная.	x		x	,	if 0;
					if 1.
		x,

Ур-ие x 1, где х-неизв., -парам-р, имеет един-ое реш-ие x .

Лемма (о дизъюнктивном разложении по переменной): Пусть f (x1,..., xn ) -ФАВ, 1 i n

f (x1 ,..., xn ) xi f (x1 ,..., xi 1 ,1, xi 1 ,..., xn ) xi f (x1 ,..., xi 1 ,0, xi 1 ,..., xn )xi i f (x1 ,..., xi 1 , i , xi 1 ,..., xn )

i {0,1}

▲Разобьем множество значений всех переменных на 2 подмножества:

I – такие наборы, в которых xi=1; II – такие наборы, в которых xi=0;

I.Левая часть: f (x1 ,..., xn ) f (x1 ,..., xi 1 ,1, xi 1 ,..., xn )

Правая часть:

11 f (x ,..., x

i 1

,1, x

i 1

,..., x

) 10 f (x ,..., x

i 1

,0, x

i 1

,..., x

) f (x ,..., x

i 1

,1, x

i 1

,..., x

)

Левая = Правая.

II.Левая часть: f (x1 ,..., xn ) f (x1 ,..., xi 1 ,0, xi 1 ,..., xn )

Правая часть:

01 f (x ,..., x

i 1

,1, x

i 1

,..., x

) 00

f (x ,..., x

i 1

,0, x

i 1

,..., x

)

f (x ,..., x

i 1

,0, x

i 1

,..., x

)

Левая = Правая.

Рассмотрим произвольную ФАВ:

f (x ,...,x

)

x n

f (x ,...,x

)

n 1 f (x ,...,

n 1

)

n 1

n {0,1}

n 1 {0,1}

n 1

рекурсивно

xn 1

f (x1 ,..., n 1 , n )

f ( 1

,..., n )

...xn

n {0,1}

1 ... n {0,1}

1 {0,1}

f ( 1 ,..., n ) - это уже высказывание. Отбросим слагаемые, для которых

f (

n ) 0

1 ,...,

получим СДНФ.

Опр: СДНФ – это

f (x ,...,

)

1 ...x

при условии, что

f (x ,..., x

) 0 .

1 ... n^ {0,1}

f ( 1 ,..., n ) 1

Булев_ принцип

x1 1 ...xn n ) *

двойственности

(x1 1 ... xn n )

f (x1 ,...,xn ) ( f *)* (СДНФ( f *))* (

1... n {0,1}

... n {0,1}

f *( 1 ,..., n ) 1

( 1 ,..., n ) * 1

i i

(x1 1

... xn n )

(x1

1 ... xn n

)

1... n {0,1}

... n {0,1}

f (

,...,

)

f ( 1 ,..., n ) 0

Опр: СКНФ – это

при условии, что

f (x1 ,...,

xn ) 1

f (x1,...,xn )

& (x1

... xn n )

1... n {0,1}

f ( 1 ,..., n ) 0

Теорема: (Единственность СДНФ).

v {xi , xi } (т.е.в ЭД из каждой пары

▲ Рассмотрим уравнение f (x1 ,..., xn ) 1. Так как f (x1 ,...,xn )

x1 1 ...xn n , то

1... n

f (x1 ,...,xn ) 1

1. -

...xn

1 ... n

...xn

1 и оно равносильно уравнению

1... n

един-ое множество решений, т.е. наборов , для которых f ( 1 ,..., n ) 1.

Теорема: (Единственность СКНФ).

▲ Допустим противное:

СКНФ ( f )

двойств

(СКНФ ( f ))* СДНФ ( f )

, что

СКНФ ( f )

f * (СКНФ ( f ))* СДНФ ( f )

противоречит единственности СДНФ.

def

Пусть x1…xn – высказывательные переменные. Vn {x1 , x1 ,..., xn , xn } . Рассмотрим v из Vn.

Опр: ЭК(v) – это конъюнкция некоторых элементов v. Опр: ЭД(v) – это дизъюнкция некоторых элементов v. Опр: ПЭД(v) – это полная ЭД(v), т.е. когда

{xi , xi } хотя бы что-то входит).

Опр: СЭД(v) – это совершенная ЭД(v), т.е. когда | v {xi , xi } | 1(т.е.в ЭД не входит ни какая переменная вместе со своим отрицанием).

Опр: ПСЭД(v) – это полная совершенная ЭД(v), т.е. содержит представления переменной.

Т.о., СКНФ &ПСЭД;

СДНФ ПСЭК .

Опр: ДНФ – формула, имеющая вид дизъюнкции элементарных конъюнкций (ЭК). Опр: КНФ – формула, имеющая вид конъюнкции элементарных дизъюнкций (ЭД).

Теорема: ФАВ эквивалентная (равносильная) ей ДНФ.

▲Приведем алгоритм:

1)Является ли формула константой?

0 xi xi Да: её ДНФ= 1 xi xi

xi xi

Нет: goto 2)

2)Перейти к булевой форме записи (убрать все ~, ).

3)По формулам Де Моргана опускать все отрицания, пока возможно.

4)По дистрибутивным законам сделать дизъюнкцию внешней операцией.

Теорема: ФАВ равносильная ей КНФ и СДНФ.

Критерий.

ЭК≡0  ЭК – несовершенна (т.е. в ней присутствует хоть одна пара (перем, перем) ). ▲ Если ЭК – несовершенна, то есть {xi , xi } v ЭК(v) x1...xi xi ...xn 0

ЭК≡0. Допустим, что она явл. СЭК(=0)=>в ней нет ни одной пары (перем, перем) .

1)элементы , их отриц-й нет

2)элементы , но нет самого эл-та

3)остальные (т.е. нет ничего)

Образуем набор знач-й переем-х ( 1… n), i=1 до n, по правилу:

перем _ или3

1, если x

1 0

0 ... 1-противоречие.

Т.е.

Подставляем в ЭК: 1

0,если

xi перем

Критерий:

ЭД≡1  ЭД – несовершенна (т.е. в ней присутствует хоть одна пара (перем, перем) ).

Критерий(тожд-й ложности): ФАВ≡0  ДНФ(ФАВ)≡0  ЭК≡0

Критерий: ФАВ≡1  КНФ(ФАВ)≡1  ЭД≡1

2. Релейно-контактные схемы

{Наличие тока – 1, Отсутствие тока – 0} – управляющие сигналы.

Нормально-разомкнутое реле (ННР)

Нормально-замкнутое реле (НЗР)

Управ-й сигнал	Ф-я.провод-ти НРР	Ф-я.провод-ти НЗР
0	0	1
1	1	0

Задачи теории РКС:

1)задача анализа схемы (нахождение функции проводимости по схеме)

2)задача синтеза (построить схему проводимости для 01-функции)

3)задача упрощения схемы

Анализ не всегда удается.

Опр: РКС – устройство, представляющее собой электрическую схему с элементами – реле, входами – управляющими обмотками и выходами – свободными выводами РКгрупп реле.

схема

функция

проводимости

f pr x y

Теорема:

Задача синтеза всегда разрешима.

▲ f(01)-функция может быть представлена в виде ФАВ. ФАВ м.б. преобразована к

булевой ФАВ с «тесными» отрицаниями, а по такой ФАВ можно строить схему. Задача упрощения: по РКС записывается fпр, её преобразуем к СДНФ или СКНФ.

Машина голосования: Комитет из 3 человек голосует. Выигрывает большинство голосов. Построить устройство, автоматизирующее процесс.

Решение:

x	y	z	ˆ
x	y	z	f pr
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1

1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

-таблица зависимости решения

от голосов x,y,z. Строим СДНФ:

f pr

идемпотентность

СДНФ xyz x yz xy z xyz

xyz xyz x yz xyz xy z

xyz

исключенное 3

yz(x x) xz( y y) xy(z z)

yz xz xy yz x(z y)

Решение:

или

Одноразрядный двоичный сумматор:

xi, yi – значение слагаемых в i-м разряде, pi – перенос в i-й разряд, zi – результат суммирования в i-м разряде.

xi	yi	pi	zi	pi+1
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

pi 1 xi yi pi zi xi yi pi zi xi yi pi zi xi yi pi zi xi yi yi pi xi pi zi pi 1 (xi yi pi ) xi yi pi

Λ	Ø
zi	pi+

Если обозначить этот блок через

xi yi pi

∑i

pi+1

, то можно организовать n-разрядный 01 сумматор:

X + Y

земля

		…
z	z		z
		…
∑n	∑n-1	∑2	∑1

На УУ компа

X+Y

, где z – элемент задержки (синхронизатор).

x, x X . Обозначим через [x] - класс

3. Отношения.

Пусть x1…xn – непустые множества.

Опр: N-местным отношением, заданным на декартовом произведении x1 ... xn называется S x1 ... xn .

Опр: Точка (x1…xn) связана отношением S, если (x1 ,..., xn ) S .

Пусть n=2.

Опр: Двуместное отношение - это (x1 , x2 ) S x1 s x2 .

Опр: Бинарное отношение на Х – это двуместное отношение на X X .

композиции 2х отношений.

Пусть бин-е отн-е определено на декартовом кв-те Х×Х.

Свойства бинарных отношений

1.Рефлексивно, если xÎХ (x x)≡1

2.Симметрично, если xÎХ yÎХ ((x y)~(y x))≡1

3.Транзитивно, если xÎХ yÎХ zÎХ ((x y)&(y z)(x z))≡1

4.Антисимметрично, если xÎХ yÎХ ((x y)&(y x)(x=y))≡1

Опр: Бинарное отношение – отношение порядка, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Пример: «<» Опр: Бинарное отношение на множ-ве Х – отношение эквивалентности, если оно

рефлексивно, транзитивно и симметрично. Пример: «=» Опр: Пусть - отношение эквивалентности на

эквивалентности эл-та х - множество такое, что y X		x y .
эквивалентности эл-та х - множество такое, что y X		x y .

Примеры:

1)X , " ", x X [x] x

2)X C, равенство _ модулей _ компл _ чисел,[i] {z C,| z | 1}

3)X C, равенство_ аргументов_ компл_ чисел,[i] {z C, arg(z) 2}

4)X C, компл _ аргумент,[i] {z C, Re( z) 0}

		1	0
5) X M	2 2 (R), след,			{матрицы_ у _ которых_ trace 2}

		0	1
Теорема: (Свойства классов эквивалентности)
- отношение эквивалентности на Х =>
1)	[x] x X
2)	x y	([ x] [ y]		[x]	[ y] )

3) [x] X

x X

▲1) Очевидно, т.к. - отношение эквивалентности => - рефлексивно =>

x X (x x) 1 x [x]

2)Пусть [x] [ y] . Зафиксируем элемент z [x] [ y] . Рассмотрим t [ y] .

Ясно, что z [x] [ y]

z [x] z [ y] . Тогда выполнены:

x z, т.к. z [x]

y z, т.к. z [ y]	симметричн	z y
y z, т.к. z [ y]		z y
y t, т.к. t [ y]

Из a. и b. =>

Из b. и c. =>

транз

(x y) & (z y) x y

транз

(x y) & ( y t) x t

Таким образом, t [x] [ y]

3)X {x} [x] X ,

x X x X

[x]	и	[x]
		[ y]

X X

x X

[ y] [ y] [x]		[x] [ y]

[x] [x] [ y]

[x] X

Опр: Фактор-множество множества Х по отношению эквивалентности называется множество Х/ , элементами которого являются классы эквивалентности.

Примеры:

1)Х, “=”, => Х/= - множество всех одноэлементных подмножеств множества Х

2)С, , z1z2 <=> |z1|=|z2| => C/ - множество всех концентрических окружностей с центром в (0,0)

3)С, β, z1βz2 <=> arg(z1)=arg(z2) => C/β – множество лучей из начала координат.

4)С, γ, z1γz2 <=> Re(z1)=Re(z2) => C/γ – множество линий, параллельных оси i.

1 / 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.08.2019330.24 Кб5ВОПРОСЫ Экономика.doc
#
27.11.201968.58 Кб6Вопросы3.docx
#
21.08.201992.16 Кб3Вопросы_11_12_ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ.doc
#
11.11.2019184.32 Кб5Вронский Овсепян Землеведение_методичка.практ.doc
#
18.04.2019828.42 Кб11все АХД.doc
#
13.02.201523.06 Mб39Все в одном.pdf
#
09.12.20183.01 Mб61все лекции 11 фин.doc
#
13.02.2015430.08 Кб176Все ответы.doc
#
13.02.2015369.85 Кб37все свиридов.docx
#
03.05.2015897.86 Кб40Все_программа_Неделя науки_2015.pdf
#
13.02.201523.86 Кб57Вступление.docx