Все в одном

c1 c2

... cn

0

c2 2

...

cn n

'0

c1 1

.Эта система лин-х неоднор-х ур-ий для определения

...

c n 11

c

2

n 12

... c

n 1n (n 1)

0

1

n

1

1 ...

1

1

2 ...

n

( i j )

i j

c1..n

= /определитель Вандермонда/ =

0

. =>

...

... ... ...

1 i j n

n 11

n 12

... n 1n

все нах-ся однозначно.

p

q

z(t) ak e k t (bs e st d s e

st ) (5), где a,b,d – произвольные константы, была вещ-ой

k 1

s 1

ak

k

a

.

лемме e k t , e st , e st - ЛНЗ на , т.е. все коэф-ты в (*) =0. Итак, z

bs

ds bs

ds

ak

ak

, то очевидно z(t) z(t) .

2) Если

ds

bs

Теорема: все корни характеристического полинома L() простые и среди них ровно

p вещественных корней 1..р и q пар комплексно-сопряженных корней 1..q,

1..q.

p

q

p+2q=n. s= s+i s, s 0. z(t) Ak e k t [Bs cos( s t) Ds sin( s t)] (7) задаёт

k 1

s 1

2

x

2

2

x

2hx

0 , h>0, >0-частота колебаний, h-трение. Уравнение +2h+ =0 имеет

2 корня

h

h2 2 .

1,2

Если трение сильное и h> то , 1,2 отрицательны, различны

x(t) A e 1t A e 2t 0 , A . x(t) e 1t ( A

A e( 2 1 )t

) .

1

2

t

i

1

2

Если трение слабое и h< то =-h iq где q 2

h2 >0. Тогда x(t) Ce 1t

C

e 2t

R

t

x(t) e ht (Ceiqt

C

e iqt ) e ht R cos(qt ) ,где C

ei . x(t) 0

(маятник соверш-т

2

затух.колеб.).

Общее решение (1) имеет вид: z(t) z

~

~

0 (t) z (t) где z (t) - некоторое частное решение (1)

а z0(t) – общее решение (2).

Если ak общее решение (2) можно найти. Нужно найти

~

z (t) .

(n)

( )

t=0}= L( )

L ( )

p

L ( )

p2

...

L

pn

1!

2!

n!

Если корень хар-го многоч-на кратности k, то L( )=(-)kM( ), M( )≠0.

L’( )=k(-)k-1M( )+(-)kM’( ) => L’( )=0. =>

L’( )=…=L(k-1)( )=0.

Пусть f(t)=b0tr+b1tr-1+…+br-1t+br,

bi-известны;

g(t)=c0tr+c1tr-1+…+cr-1t+cr.

L ( )

L ( )

2

L(n) ( )

n

r

r-1

r

r-1

L( )

p

p

...

p

( c0t

+c1t

+…+cr-1t+cr)= b0t

+b1t

+…+br-1t+br

1!

2!

n!

t

r

L(k ) ( )

pk c0

(k r)(k r 1)...(r 1) b0

c0

k!b

0

k!

L(k ) ( )(k r)(k r 1)...(r 1)

t r 1

L(k 1) ( )

pk 1c0

(k r)(k r 1)...r

L(k ) ( )

pk c1 (k r 1)...r b1

c1 ...

(k 1)!

k!

A11c0 b0

A11

0

...

0

A21c0 A22c1

b1

.

A21

A22

...

0

Т.о.все коэф-ты однозначно определ-ся.

.......... .......... ..........

A

...

...

...

...

A

c

A

c ... A c

br

Ar1

Ar 2

...

Arr

r1

0

r 2

1

rr

r

n

n-1

~

~

~

L(p)z=F(t), L(p):=a0p +a1p

+...+an, аi , a0 0 имеет частое решение

z (t) x (t) iy(t) ,

где

~

~

вещ-ные функции

~

~

x (t) ,

y (t)

x (t) - частное решение L(p)x=Re(F(t)),

y (t) -

(1)

~

~

~

~

z (t) . Тогда реш-е исход-го вещ.ур-я

y(t) Re(z (t))or Im(z (t)).

A

1

i 1

zч i 1 e(1 i)t .

i 1

2

2

xч=Im(zч)=

et

Im(1 i)eit

et

Im(1 i)(cos t i sin(t))

1

t

(cos(t) sin(t)) . Ответ:

e

2

2

2

x(t) C

C

et

1

et (cos(t) sin(t)) .

1

2

2

t . Координатная форма

xi

n

(t)xi

fi (t) , i=1..n, (2).

F (t) 0

aij

j 1

Свойства однородной системы

(3)

x

A(t)x

1)

(t) - некоторое решение (3), определенное на t (r1,r2). Если такая точка

0

t0 (r1,r2), что (t0 )

(t) 0 .

▲ От противного: условия выполнены, но (t) 0 . Но оно – удовл-т З.К.:

x A(t)x

имеет решение x(t)=0, а в силу ед-ти з.к. др. реш-й нет.

x(t0 )

0

2)

k

1..k (t) - набор из k решений (3) при Ci (t)

Ck k (t) - решение (3).

i 1

(t) - некоторое решение

▲ (=>из св-в лин-ти системы). По предположению теоремы i

(3)=> i (t) A(t) i . Умножим обе части на ci и просуммируем:

k

k

k

- решение.

(t) Ci i

Ci A(t) i A(t) Ci i A (t)

(t)

i 1

i 1

i 1

3)

1..k (t) - набор из k решений (3), определенный на (r1,r2) и такая точка t0 (r1,r2),

(t0 ) - линейно зависимый набор

что 1..k

1..k

(t)

линейно зависимый набор,

определенный на (r1,r2).

k

k

▲ ненулевой набор С1..k такой, что Ci i (t0 ) 0 ,

причем C 2 i 0 . Т.к. 1..k (t) -реш-

i 1

i 1

k

k

0 t (r1,r2),

я (3), то (t) Ci i (t) тоже реш-е.

Но (t0 )

Ci i (t0 )

0 (t)

i 1

i 1

что и означает ЛЗ.

Опр: Фундаментальной системой решений x

A(t)x (3) называется набор

{ 1 (t),...,

n (t)} решений системы (3) ЛНЗ на (r1,r2). Число решений в наборе =

размерность пространства.

Теорема: (об общем решении).

(t)} - ФСР (3)

общее решение (3)

n

{ 1

(t),..., n

записывается в виде x(t) Ci i

(t) (4)

i 1

т.е.

1) фиксированного набора {C

}n

x(t) – решение системы.

i

i 1

n

Рассм-м (4). В кач-ве const возьмем {Ci }in 1

из (*).

(t) Ci i

(t) -реш-е (3).

i 1

n

Рассмотрим это реш-е в тчк t0: (t0 ) Ci i (t0 ) .

i 1

Рассмотрим набор векторов

n

{ 1

(t0 ),..., n (t0 )} - ЛНЗ в . Если в кач-ве этого набора

взять {a1

,..., an } , то получим, что реш-е (t) и x(t)

удовл-т одним и тем же нач.усл-ям

x

A(t)x

x(t0 ) x0

(t0 ) . (т.е. З.К.

)

x(t0 ) x0

В силу ! З.К. они совп-т.

Теорема: (Критерий фундаментальности набора решений)

Набор решений (3) { 1 (t),..., n (t)} является ФСР вронскиан

11 (t)

...

n1 (t)

отличен от нуля хотя бы в 1 точке t0 (r1,r2).

W (t) W ( 1

(t),..., n (t))

...

...

...

1n (t)

...

nn (t)

(t

(t

)}n

-ЛН => (по 3му св-ву реш-ий

▲ W ( (t

),...,

n

)) 0 => система вект-в {

1 0

0

i

0

i 1

лин.систем) { i (t)}in 1 t (r1,r2)

(t)}n

)}n

-ЛН

(t)) 0

t0 (r1,r2).

{

i

- ФСР t (r1,r2). {

(t

W(t0) W (

(t),...,

i 1

i

0

i 1

1

n

u(t)

u11 (t)

... u1n (t)

ф-я u(t) диф-ма: u(t) u1 (t) ... un (t) , где ui(t) – определитель,

...

... ...

un1 (t) ... unn (t)

полученный из u(t) дифференцированием i-й строки.

▲ u(t) sgn u1 (1)

u1 (1) (π-перестановка, sgn π-четность перестановки).

Sn

1,

нечетная;

Sn – группа всех перестановок. sgn

четная.

1,

u1 (t) ... un (t)

u(t) sgn u1 (1) u1 (1) ... sgn u1 (1)

u1 (1)

Sn

Sn

t

ФСР (1) W ( (t),...,

sp A( )d

Теорема: набор функций {

i

(t)}n

-

n

(t)) W (t

0

)et0

(2)

i 1

1

t

sp A( )d

, где С - , в частности и С=W(t0).

переменными. W (t) Cet0