Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Все в одном

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

23.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Следующие 2 задачи ЛП называются парой симметричных двойственных задач:

f (x) (c, x) max

Ax b

(I)

x 0

g( y) (b, y) min
	T	y c	(II)
A		y c	(II)
y 0

У (I) n переменных и m ограничений у (II) m переменных и n ограничений.

Компоненты целевой функции одной з-чи являются правыми ограничениями другой з-чи.

		f (x) (c, x) max	g( y) (b, y) min
			g( y) (b, y) min
Теорема: Двойственная з-ча к з-че Ax b			(III) имеет вид:	(IV)
			AT y c
		x 0
▲ограничивающие равенства заменим неравенствами:
Ax b	\| y 0
Ax b \| y 0		для g( y , y ) (b, y ) (b, y ) min
x 0	\| y A y A c

Введем y y y g( y) (b, y) min; yA AT y c

Общая форма определения двойственной задачи:

	n	m
f (x) c j x j max		g( y) bi yi min
	j 1	i 1
n
aij x j	bi , i 1..m1	yi 0, i 1..m1
j 1
n
aij x j	bi , i m1 1..m	yi , i m1 1..m
j 1
		m
x j 0, j 1..n1 ,		aij yi c j , j 1..n1
		i 1
		m
xi , i n1 1..n		aij yi c j , j n1 1..n

i 1

Свойства двойственных задач:

1)Преобразование двойственности рефлексивно.

2)Значение целевой функции I при допустимом решении не больше значения целевой функции II при

ее допустимом решении.

3)У двойственных задач есть доп. решения, в которых значения целевых функций совпадают эти доп. решения являются opt решениями этих задач.

4)У пары двойственных задач есть доп. решения у них есть opt решения.

Теорема: (1я теорема) Двойственные задачи одновременно разрешимы или неразрешимы. Разрешимы

opt значения целевой функции этих задач совпадают.

▲] I – разрешима она может быть разрешима симплекс-методом, в результате чего получим opt С-Т и соответствующее opt опорное решение. Перед применением С-М приведем I к канон. виду:

Ax+Eu=b, x 0,u 0

(x,u)

, A

( A, E),c

(c, 0,...,0), x

Opt С-Т для I:

~ 0

X N

Δ≥0, т.к. С-Т opt. f

(c , Z

)

таблице отвечает матрица B, состоящая из столбцов А по базисным переменным.

~ B

Z j B 1 A j , Z

0 B 1b

~ B

, Z )

~ B

Покажем, что у II есть opt решение y

: y

Докажем

- доп. решение II и рассмотрим ( y

~ j

~ B

~ j

~ B

, Z

)

~ j

, A

) (c

~ j

( y

~ j

)

~ j

, т.к. j 0, j 1..n m ( y

~ j

)

~ j

(3)

, A

j c

A j

j=1..n

A j

( y* , A j ) c j , j 1..n, т.е. y* A c

~ j

e j n

(0,..., 1 ,...,0)

j=n+1..n+m

A j

0 (по (3)),т.е. y

j n

- дополнительное.

~ j

y j

Докажем, что g(y) при y y* совпадает с opt значением f.

(4) g( y

)

, f

~ B

, Z

) на основании (4) по свойству 3) y

opt g( y

)

~ B

, B

~ B

, Z

)

(4) выполняется.

, b) (c

Аналогично из разрешимости II разрешимость I они одновременно разрешимы.

] I – неразрешима, II – разрешима I – разрешима – противоречие.

Условия дополняющей нежесткости

f (c, x) max	Ax u b	g( y)

Ax b	~ x 0	(I) Ay
x 0	u 0	y 0

Опр: Говорят, что точки (x0 , u 0 ) è ( y 0 , v0 )

(b, y) min	yA v c
c		(II)
c	~ y 0	(II)
	v 0

удовлетворяют условиям дополняющей нежесткости, если

(x0 , v0 ) ( y 0 , u 0 ) 0.

x0 , v0 E n ; y 0 ,u 0 E m . Ò.ê. x0 , v0 , y 0 , u 0 0 (x0 , v0 )

				x0
0	0	0	0		j
Покоординатно: x j	v j	0, j 1..n; yi	ui	0,i 1..m
				v0j

0, ( y 0 , u 0 ) 0

0 v0	0,		0
j		yi
0 x0	0	è
0 x0	0	u 0
j			i

0 ui0 0,

0 yi0 0

Теорема: (2я теорема) Допустимые решения пары двойственных задач будут opt решениями своих задач они удовлетворяют условиям дополняющей нежесткости.

▲

x0 , y 0 - доп. решения 1, 2 соответственно u 0 , v0 :

(*)

(**). (*) скалярно умножим на y 0 , а (**) на x0

, u

, v

( y 0 , Ax 0 ) ( y 0 , u 0 ) (b, y 0 )

( y 0 A, x0 ) (v0 , x0 ) (c, x0 ) (u 0 , y 0 ) (v0 , x0 ) 0 ~ ~ (b, y 0 ) (c, x0 ) (**

Пусть x0 , y 0 - opt решение пары двойственных задач по 1 теорем двойственности (b, y 0 ) (c, x0 ) из

(***) условие дополняющей нежесткости.

д:

выполняются условия дополняющей нежесткости из (***) в x0 , y 0 значения целевых функций =

по 3-му свойству x0 , y 0 - opt решение задач.

3. Седловая точка функции Лагранжа.

Рассм. задачу оптимизации I с ограничениями-равенствами.


f (x) extr
gi	(x) 0, i 1..m (I)
		n
x E

f (x)

g(x)

x 0

min

0 (II) g(x) (g1 (x),..., gm (x))

Функция Лагранжа: L(x,y)=f(x)+(y,g(x)), если функции дважды непрерывны.

Теорема: (необх. усл. extr) x*- точка loc условного extr y*- вектор множителей Лагранжа, что (x*,y*) –

стационарная точка ф-ии Лагранжа, т.е.	x	L(x* , y* )		y	L(x* , y* ) 0
	x			y
Теорема: (дост. усл. extr) (x,y) – стационарная точка ф-ии Лагранжа, ( , H x (x* , y* ) ) 0 ( 0)						для всех ,
удов. усл. ( gi (x* ), ) 0, i 1..m, x*- точка loc min (loc max).
Здесь -вектор, E n - определяет приращение в точке x*, т.е. - малая величина.
Hx – матрица Гессе ф-ии Лагранжа, т.е. Hx=(hij), hij			2 L
Hx – матрица Гессе ф-ии Лагранжа, т.е. Hx=(hij), hij			xi x j
			xi x j

Опр: Точка (x* , y* ) - седловая точка функции L(x,y), если x* 0, y* 0 и

L(x* , y) L(x* , y* ) L(x, y* ) x, y 0 .

Т.е. в (x* , y* ) функция Лагранжа достигает min по x и max по y в области x 0, y 0

Теорема: (о седловой точке) (x* , y* ) - седловая точка функции Лагранжа ( y* , g(x* )) 0 è

x* X , X {x | x E n , gi (x) 0, i 1..n, x 0} . X – множество доп-х решений задачи II.

▲] (x* , y* ) - седловая точка L(x,y), т.е. L(x* , y) L(x* , y* ) x, y 0

f (x* ) ( y, g(x* )) f (x* ) ( y* , g(x* )) ( y y* , g(x* )) 0 (*) .

		*	, i k
Док-м x* X : (*) верно y 0 выб. yi	y		, i k	, i 1..m gk
Док-м x* X : (*) верно y 0 выб. yi		i		, i 1..m gk	(x* ) 0	k x X
		*	1, i k
	yi		1, i k

		*	,i k		yk* gk (x* ) 0
Рассмотрим ( y* , g(x* )) 0	yi	yi	,i k	,i 1..m (*) :	yk* gk (x* ) 0
		0,i k

С другой стороны yk* 0, x* X g k (x* ) 0 yk g k (x* ) 0 yk* g k (x* ) 0 k

( y* , g(x* )) 0

Эквивалентные преобразования задач:

Опр: Две задачи эквивалентны, если по opt решению одной можно найти opt реш. другой.

	g		(x) 0		g	(x) u		0	gi (x) 0 gi (x) 0
1) gi	(x) 0	i		2) gi	(x) 0 i	0	i	3)	gi (x) 0 gi (x) 0
	gi (x) 0				ui	0

4)	f (x) max (x) f (x) min
	x X	x X
5) xj - свободна ее можно заменить x j		x j x j , x j	0, x j 0

Теорема: (1 теорема К-Т): (x* , y* ) - седловая точка L(x,y) x* - opt решение II

▲ (x* , y* ) - седловая точка L(x* , y* ) L(x, y* ) .

f (x* ) ( y* , g(x* )) f (x) ( y* , g(x)) x 0 è äëÿ x X по теореме о седловой точке

( y* , g(x* )) 0 è x* X f (x* ) f (x) ( y* , g(x)) f (x) x X x* - opt II

0 0

задачи, имеющие opt решения, но не имеющие седловых точек.

f (x) x min . x 2 0, x 0, x E1 , x* 0

5. Теорема об одноэкстремальности.

Задачей выпуклого программирования наз. задача минимизации выпуклой ф-ии на выпуклом мн-ве, а также любая др. задача, сводимая к такой эквив. преобразованиями.

Опр: Выпук. комбинацией 2х точек x1 , x 2 X наз-ся точка	x() x1 (1 )x 2 , где [0,1] .
k	k
Опр: Выпук. комбинацией к точек x(1 ,..., k ) i xi , i	0, i	1
i 1	i 1

Опр: Множество X – выпуклое, если x1 , x 2 X		x( ) x1 (1 )x2 X , [0,1]
	k	k
x1 ,..., x k X	x(1 ,..., k ) i xi X , i 0,	i 1
	i 1	i 1

Функция f(x), определенная на выпуклом X, - выпуклая, если

x1 , x 2 X f (x1 (1 )x 2 ) f (x1 ) (1 ) f (x 2 ) [0,1]

Опр: (об одноэкстремальности) loc min выпуклой ф-ии на выпук. мн-ве явл. глобальным.

▲] f – выпуклая, x

- loc min f на X – выпуклом по определению 0 -окр-ть

f (x) x

S (x )

{x | x X ,|| x x || } f (x )

(x ) . Предп., что это не так

X : f (x

и x

) f (x ) . Построим вып. комб. x

: x( ) (1 )x x

и для нашего .

при

0 .

Рассм.

f (x( )) .

силу

выпуклости

: x( ) S (x )

f (x( ))

выбрать

f (x )

(1 ) f (x ) f (x

) (1 ) f (x ) f (x )

f (x ), [0,1] если

: 0 x( ) S (x ) è

f (x( )) f (x ) - противоречие x – loc min

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.08.2019330.24 Кб5ВОПРОСЫ Экономика.doc
#
27.11.201968.58 Кб6Вопросы3.docx
#
21.08.201992.16 Кб3Вопросы_11_12_ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ.doc
#
11.11.2019184.32 Кб5Вронский Овсепян Землеведение_методичка.практ.doc
#
18.04.2019828.42 Кб11все АХД.doc
#
13.02.201523.06 Mб39Все в одном.pdf
#
09.12.20183.01 Mб62все лекции 11 фин.doc
#
13.02.2015430.08 Кб176Все ответы.doc
#
13.02.2015369.85 Кб39все свиридов.docx
#
03.05.2015897.86 Кб40Все_программа_Неделя науки_2015.pdf
#
13.02.201523.86 Кб57Вступление.docx