Все в одном

4. Машина Тьюринга

Опр: Алфавит - конечное непустое множество. Опр: Буквы – элементы алфавита.

Опр: Словом длины n над алфавитом А называется отображение U : [1..n]N A , где

U(i) – i-я буква слова.

Опр: Равенство слов – это равенство отображений.

Опр: Пусть А-алф-т и ΛÏА. Тогда АÈ{Λ} – алф-т с пустым символом.

Опр: Упорядоченной склейкой слов u и v длин n и m над А называется слово длины

Опр: Машина Тьюринга: ∞ лента, разбитая на ячейки (для записи слов в A { } ), СЗУ-устройство(счит-е запис-е устр-во), к-рое на каждом шаге работы машины умеет счит-ть содерж-ое одной ячейки и записывать вместо него букву из A { } . СЗУ

может сдвигаться на –1, 0, +1 ячейку. Работает в соответствии с программой. На такте известно, какую ячейку обозревает СЗУ, в каком состоянии находится машина. УУ обращается к соответствующей клетке Пт, а там всегда тройка (a, qi, s), и на место прочитанного знака записывается буква a, машина переходит в состояние qi и делает сдвиг s. Работа while q0.

МТ имеет 3 алфавита: внешний - A { } , сдвигов - S { 1,0, 1} и внутренний - Q {q0 ,..., qn } . q0 – заключительное состояние, q1…qn – рабочие состояния.

Опр: Программа для МТ-это отобр-ие (Пт): (( A { }) (Q \ {q0 })) ( A { }) Q S , т.е.

правило сопоставления паре (буква, состояние) тройки (буква, состояние, сдвиг).Задается с помощью таблиц (т.к. множества конечны), где строки – внешний алфавит, столбцы – рабочие состояния, в клетках заданы тройки.

Пример: машина – сумматор (в унарной сист-е счисл-я). Сложить все | на ленте в формате:

1

Очевидно, машины T и T сущ-т.

Пусть Т1 и Т2 – МТ с алф-ом A { } .

Опр: Машина – предикат Р – машина с внешнии алфавитом A {0,1}, применимая к

u A : P(u) {0,1} .

Опр: Разветвлением машин Т1 и Т2, управляемым предикатом Р называется

3

Опр: Итерация машин: пусть есть Мт Т и машина-предикат Р. Работа происходит так: применяем Т к слову пока P(u)=1. Иначе – стоп. Обозначается Т℗.

Теорема: Итерация всегда .

▲ Составим T1 ┬ p 0Е. Чтобы получить Т℗, нужно преобразовать все клетки вида

(a, q0T, s) в (a, начальное состояние разветвления, s).

4

5. Графы

Опр: Граф – тройка g(X,U,f), где X – множество вершин (непусто), U – множество дуг графа, f :U X X – отображение инцидентности(т.е. правило, к-рое каждой дуге сопост-т упорядоченную пару вершин).

Если g(X,U,f) – граф, u U и f(u)=(x,y) => x – начало дуги, y – конец дуги. Если u v, f(u)= f(v), то это параллельные дуги.

Если u v, f(u)=(x,y), f(v)=(y,x), то это противоположные дуги.

Если f(u)=(x,x), то u – петля с вершиной x.

Опр: Графы g1(X1,U1,f1) и g2(X2,U2,f2) изоморфны (g1 g2), если

Опр: Геометрический граф – граф, реализованный в геометрическим виде, у которого множество вершин есть точки пространства Rn, дуги – отрезки непрерывных кривых, заданных параметрически так, что начальное значение параметра соответствует началу дуги, конечное – концу.

(x(0),y(0)) – конец дуги.

Геометрический граф правилен, если его дуги не имеют общих точек кроме вершин графа.

Геометрическая реализация графа – изоморфный данному геометрический граф. Теорема: Любой граф имеет правильную геометрическую реализацию в R3.

▲ Приведем алгоритм построения правильной геометрической реализации в R3

словесно: фиксируем в R3 прямую l, вершине ставим в соответствие точку на l. дуге графа в правильной реализации ставим в соответствие полуплоскость, проходящую через l. Если u – не петля, т.е. f(u)=(x,y) x y , то в соответствующей полуплоскости изображаем полуокружность, имеющую диаметр отрезка [x,y]. Если v – петля в точке z, то изображаем единичную окружность, касающуюся точки z. Её обход произвольный. Так как полуплоскости не имеют общих точек кроме l, а на l

расположены только вершины, то реализация правильная.

Опр: Цепь длины n на g(X,U,f) - отображение :[1..n]N U : у дуги (i) одна вершина общая с (i 1) , а другая – с (i 1) .

Пусть есть граф g(X,U,f),x X вершина. Рассм-м множ-во

Sx= y X (x y) ( цепь_из _ x _ в _ y) .

Опр: Компонентой связности вершины x называется подграф, порожденный множеством Sx.

Опр: Число связности графа g - характеристика c(g) = количеству различных компонент связности графа.

1

▲ Т.к. при удалении моста «разваливается» компонента связности, которой мост принадлежит, и остальные компоненты связности остаются без изменений, то нам

принадлежат одной компоненте связности (т.к. g связен) => цепь x y на g и цепь

x z на g. По лемме о простых цепей эти цепи м. считать простыми. Обозн: ηxy – простая цепь, соединяющая x и y и ηxz – простая цепь, соединяющая x и z.

Так как после удаления дуги u x, y, z оказались в разных компонентах связности => ηxy и ηxz разорвались => они обе содержали u. Так как обе цепи – простые => проходили через u по 1 разу. Возможен один из четырех случаев:

приходящих/уходящищ из нее дуг.

2

1. Уравнения в дифференциалах (УВД)

Они имеют вид P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, P и Q – определены и непрер-ны в некоторой обл. WÎR2. Область задания дифура – там, где P и Q определены и непрерывны. Решение УВД – параметризованный образ гладкой кривой Г: x=x(t), y=y(t), t0<t<t1 (x,y непрер-но диф-мы на [t0,t1]), подстановка которых в уравнение обращает его в верное

Пример: xdx+ydy=0. Решение – единичная окружность. Параметризуем её: x(t):=sin(t),

* *

y(t):=cos(t), t [0,2π]. Проверка: sin t (sint) cost (cost) sin t cost cost sin t 0

Уравнение в полных дифференциалах

(1) M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 – ур-ие в полн. диф-х, DÎR2, если такая непрер-но диф-мая функция F(x,y), что левая часть уравнения является её дифференциалом, т.е.

M(x,y)dx+N(x,y)dy=dF(x,y) или M (x, y) dFdx (x, y) N (x, y) dFdy (x, y) .

Опр: Задачей Коши дифференциального уравнения в полных дифференциалах называется задача нахождения его решения, проходящего через начальную точку

(x0,y0).

Теорема: (о ! решения ЗК в ПД)

Пусть в некоторой области D уравнение (1) является уравнением в полных

дифференциалах. Функции M, N определены и непрерывны в области D, (x0,y0) D – не является особой (т.е. M (x0 , y0 ) N (x0 , y0 ) 0 ) и выполнено условие:

(2) M 2 (x, y)dx N 2 (x, y)dy 0

в некоторой окрестности точки (x0,y0) ! решение (1), проходящее через (x0,y0).

С учётом (4) C=F(x0,y0), а из (6) Ф(х,у(х))=F(x,y)-F(x0,y0), Ф(х,у(х))=0 (7). Применим теорему о неявной функции:

Ф(х,у) определена и непрерывна в некоторой окр-ти (x0,y0)

Ф(x0,y0) =F(x0,y0)-F(x0,y0)=0

1

окрестность х0, на которой определена функция у=у(х) такая, что Ф(х,у(х))=0х интервалу, у(х0)=у0, эта функция !, непрерывно дифференцируема.

Условия теоремы выполнены, значит теорема справедлива: интервал, содержащий (x0,y0), на котором определено решение (7) решение УвПД.

Признаки уравнений в полных дифференциалах

Опр: Область D на плоскости называется односвязной если замкнутая, без самопересечений кривая D ограничивает область, целиком лежащую в D.

Теорема: (признак уравнения в полных дифференциалах).

Чтобы уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1) было уравнением в полных дифференциалах в области D необходимо (а в случае односвязности области D и

достаточно), чтобы M N . Предполагается,чтоM, N(они

y x

определена с точностью до произвольной const.

2

Замечание

Теорема доказана для прямоугольной области D. Любую область можно приблизить прямоугольниками.

Если D – неодносвязна, то, поочередно рассматривая её односвязные подобласти, получим УвПД.

Интегрирующий множитель

Рассмотрим M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1) – уравнение в дифференциалах. Пусть M N .

y x

Будем искать непрер.диф-ю функцию =(х,у) такую, что умножение на неё даст УвПД. То есть (х,у)M(x,y)dx+(х,у)N(x,y)dy=0 (2) – УвПД.

Опр: Интегрирующий множитель – это такая (х,у).

Ур-ие (3) – диф.ур. в частных произв-х. Оно линейно.

Уравнение имеет решений. Если (x,у)-инт-ий множ-ль и с=const, то c (x,у) -инт-ий

множ-ль; если 1(x,у), 2(x,у)-инт-ие множ-ли и с1,с2=const, то c1 1(x,у)+ c2 2(x,у) -инт- ий множ-ль.

Некоторые частные случаи:

3

2. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Случай простых корней.

a0z(n)+a1z(n-1)+...+an-1z’+anz=0 (1). z(t): --> , ai , a00. Это однородное уравнение.