Все в одном

1. Теорема Карлина

fi:X R, где X Rn, i=1..m, т.е. есть n-мерная вектор-функция f(x)=(f1(x)..fm(x)). Поставим задачу f(x)= (f1(x)..fm(x)) maxx X (1)

Опр: доп. решение (1) наз. альтернативой. X - множество всех альтернатив.

Rn – пространство альтернатив. f(x) Rm – критериальное пространство (множество образов множества альтернатив).

На X вв. отношение доминирования x1 x2 f(x1) f(x2)

Опр: x X называется эффективной точкой Парето, если не x X: x x .

Множество всех точек Парето обозначим П.

F= {f(x)} Rm f(П) F (f(П) – образ множества Парето)

Свертывание критериев

Сформулируем задачу (x) maxx X (3) – задача с 1 критерием.

Опр: (x) – линейная свертка

После введения (x) отношение выглядит: x1 x2 (x) (x) (4)

Теорема: (Карлина) 1) X – выпукл. мн-во, все fi(X) – вогн., x0 П задачи (1) вектор 0: x0 – оптимальное решение задачи (3);

2) 0 – фикс. вектор, x0 –решение задачи (3) при этом x0 П задачи (1)

▲ x0 П. Построим H={y Rm|y=f(x)-f(x0),x X}. Обозначим Em Rm – неотрицательный октант критериального пространства. Em ={y|y 0} – с вершиной в начале координат. Докажем, что H Em может содержать только

0 . это не так, y 0, y H x:f(x) f(x0) – это противоречие x0 П H Em ={ 0 }. Обозначим K – L(H) (лин-ая

берем произвольную y K y= y1+(1- )y2 (для простоты). y1,y2 H x1,x2 X 0 y= (f(x1) -f(x0))+(1- )(f(x2)-f(x0)) = f(x1)+(1- )f(x2)-f(x0) т.к. вогн f( x1+(1- )x2) -f(x0) (*), ( x1+(1- )x2 X, т.к. X – выпукл.) Предп., что в K есть 0 и 0

из (*) получаем противоречие x0 – эфф.

Есть множества K – выпук. и замкн. мн-во, Em -выпук., внутр. точки их не перес. K Em содержит лишь гран.

точки можно отделить, т.е. c Rm( 0) и -скаляр, определяющий гиперплоскость (c,x)= : (c,y) (c,y1)

y Rm,y1 Em (5), т.к. 0 H K, 0 Em из (5) =0 0 (c,y1) c 0

m

Строим : ci 0 i=ci/ 0, i=1 по первому неравенству из (5) (c,y) 0 y K, но K H (c,y) 0

i 1

y H (c,f(x)-f(x0)) 0. Делим на (x) (x0) x X x0 – опт (3). Доп., что x0 – опт. для (3) (x) (x0)

x X. Доп., что x0 П x : x x0

f (x ) f (x0 ) (x ) (x0 ) , а это противоречит x0 – опт. для (3).

2. Теорема Форда-Фолкерсона о величине max потока и min пропускной способности разреза.

Опр: дан ориентированный граф G, на дугах которого веса. Этот граф называется сетью, а веса – пропускной способностью дуги (i,j). G=(X,U),(i,j) U, cij 0.

Опр: Стац. потоком сети G из источника s в сток t наз. n-мер-я ф-я f:U R+ , уд. след. усл.:

Смысл неравенства: на дуге значение fij не может превосходить пропускной способности дуги. fij – поток по дуге.

f(i,X)=f(i, +i) –общий поток из i, f(i,X)-f(X,i) – чистый поток через i.

Опр: Стац. потоком (2-е опр) называется такая потоковая функция, которая удовлетворяет условию сохранения потока во всех промежуточных вершинах и на дуге ее значение не превосходит пропуск способности дуги. {f(i,X)-f(X,i)=0, i s,t; 0 f c}

Опр: Величина потока: f: U R+-ст поток, через v=f(s,X)-f(X,s) (где v – чистый поток из источника s) будем обозначать величину стац. потока.

Таким образом, задача о нахождении max величины потока сводится к

v max, f (s, X ) f ( X , s) v; f (i, X ) f ( X ,i) 0,i 1..t 1f (t, X ) f ( X ,t) v,0 f c

Опр: Поток – max, если он имеет наибольшую величину из всех возможных.

G – сеть, s,t – источник и сток. Разобьем X на 2 подмножества X Y Y ,Y X ,Y X \ Y . s Y,t Y множество дуг <Y, Y > , направленных из Y в Y .

Опр: <Y,Y >={(i,j) U|i Y&j Y } называется разрезом, отделяющим источник s от стока t. Одновременно с <Y,Y > может <Y ,Y>. Если удалить все дуги разреза, то не будет дуг, соед. s и t. Пропуск. cпос-ть разреза –

Лемма: G-сеть, f – стационарный поток величины v разреза, отделяющий источник от стока, выполняется следующее соотношение: v f ( Y ,Y ) f ( Y ,Y ) C( Y ,Y )

Теорема: (Форда-Фолкерсона)

В сети величина max потока = (*) пропускной способности min разреза (т.е. min пропускной способности)

▲f,v – max поток и его величина. Рассм. процедуру, строящую мн-во вершин Y X:

1.s Y (включаем s в Y);

2.i Y, j Y: (i,j) U&fij cij j включаем в Y;

3. i Y, j Y: (j,i) U&fji 0 j включаем в Y.

Покажем, что t Y. это не так на 2 или 3 шаге t включаем в Y

Опр: Цепь наз увеличивающей, если на прямых дугах f c, а на обратных f 0.

Продолжая эти рассуждения относительно i, мы построим цепь из s в t, на прямых дугах которой f c , на обратных f 0 эта цепь – увел-ая (но по Л: чтобы f-поток имел max величину в G не увеличивающих цепей из s в t) противоречие с f - max

t Y Y 0 Y ,Y образуют разрез, отделяющий s от t.

По 2) на дугах этого разреза f=c (если нет Y мы можем расширить).

Y ,Y : потоковая функция=0, иначе мы можем расширить по Л:

vf (Y ,Y ) f (Y ,Y ) c(Y ,Y ) построили разрез – min.

0

Для всех ост разрезов v c(Y ,Y )

Алгоритм (Форда-Фолкерсона): Вход – сеть G=(X,U), функция пропускной способности c; s, t.

1)s : , zs - не определено, s- помечена, но не просмотрена, f 0

2)Выбираем i: помечена, но не просмотрена, если выбор - невозможен goto 7

3) j i : fij cij , j непомечена j : min{ i ,cij fij }; zi : i

4) j i : f ji 0, j непомечена j : min{ i , c f ij }; zi : i

5)Если t-помечена найдена увеличивающая цепь goto 6, else i-просмотрена, goto 2

6)Изменить поток f, используя найденную увеличивающую цепь и t .

Новый поток: v=v+ , снять все пометки, s : , goto 2

7) end.

4. Теорема о разрешимости матричных игр в смешанных стратегиях.

Опр: Игра – формализованная модель, описывающая конфликтную ситуацию.

Игра с нулевой суммой – участвуют 2 игрока с противоположными интересами.

] из игроков владеет набором стратегий (набор правил, опред. действия игрока).

I1 : {s1 ,..., sn1 } 1 , I 2 : {Q1 ,..., Qn21 } 2

Опр: Розыгрыш в этой игре - из игроков независимо выбирает стратегию (не имея информации о противнике). <i,j> - розыгрыш. Выигрыш 1-го= aij . Выигрыш 2-го= - aij .

Возникает платежная матрица n1 xn2 , A (aij ) .

Опр: 1 , 2 , A - матричная игра 2х лиц с нулевой суммой. ] 1 {1,.., n1}, 2 {1,.., n2 }

Опр: Гарантированный выигрыш 1-го – выигрыш независимо от стратегии 2-го ( i это min aij ). Чистая

1 j n2

стратегия – игрок, выбрав ее, не меняет при любом розыгрыше.

Опр: Тройка p0 , q0 , v называется opt реш. матр. игры в чистых стратегиях, если aij0 ai0 j0 v ai0 j ij . opt решение i0 , j0 - седловая точка платежной матрицы А.

Опр: i* - максиминная стратегия 1-го, если гарантир. выигрыш –max.

Опр: j * - минимаксная стратегия 2-го, если проигрыш – min.

Опр: p* - максиминная стратегия 1-го, если гарант. средний выигрыш min M ( p, q) максимален.

q Q

Опр: Тройка p0 , q0 , v называется opt реш. матр. игры в смеш. стратегиях, если

M ( p, q0 ) M ( p0 , q0 ) v M ( p0 , q) p P, q Q .

Теорема: матричная игра 2х лиц с нулевой разрешима в смешанных стратегиях, при этом p* , q* , v ,

где v M ( p* , q* ) явл. opt решением и max min M ( p, q) min max M ( p, q)

P Q Q P

▲] i, j aij 0 . Если это не так, прибавим к aij одно и тоже число 0 . Седловая точка А не изм., а изм.

лишь знач-е выигрыша ( на то же самое число). Рассм. 2 з-чи ЛП:

1. Симплекс-метод.

Решает задачи ЛП (оптимизации лин. функции в области, задаваемой линейными ограничениями), запис. в канонической форме. НР1 –если ограничения противоречат.

Опр: Реш. СЛУ Ax=b наз. базисным, если ненулевым координатам этого решения соответствуют линейно независимые (ЛНЗ) столбцы матрицы A.

Опр: Базисное решение СЛУ Ax=b называется опорным, если все его координаты 0.

Для базисного решения k m=rang(A).

Опр: Базисное решение вырожденное k m. Невырожденное k=m.

Опр: Выпук. комбинацией 2х точек x1 , x 2 X наз-ся точка x( ) x1 (1 )x 2 , где [0,1] .

Опр: Множество X – выпуклое, если x1 , x 2 X x( ) x1 (1 )x2 X , [0,1]

Опр: X – выпук. x X - крайняя точка (вершина), если она не представима в виде выпук. комбинации двух других точек этого мн-ва.

Схема: сиплекс-метода. ] есть задача II. Считаем, что Amxn, r(A)=m,m n.

j m 1

Теорема: Все j , j 1..n , отвечающие некоторому опорному решению, 0 данное опорное решение явл. opt решением задачи максимизации.

Теорема: В симплекс-таблице столбец с оценкой 0 , в котором нет элементов 0 целевая функция неограниченна сверху в ОДР (это воспринимается как неразрешимость – НР2).

Теорема: В С-Т столбец с оценкой 0 , содер. элементы 0 можно перейти к др. опор. реш., доставляющему целевой ф-ии значение, не , а при невырожденности реш обязательно .

Теорема: Невырожденное опорное решение доставляет max целевой функции все оценки 0 .

При жордановых преобразованиях С-Т с ведущим элементом zlr переменная xl выводится из базиса, на ее место приходит переменная xr, т.е. xr xl .

Для новой С-Т надо выразить из l-того уравнения xr через остальные переменные, а в других уравнениях исключить.

Правила преобразования С-Т:

Правило выбора главного столбца: с наибольшей по модулю оценкой 0 .

Правило выбора главной строки: составляем отношение правых частей ограничений к элементам0 главного столбца. Выбираем ту строку, где отношение min.

Построение начальной С-Т: