Schisla_3

61

Если оператор A самосопряжен и положительно определен, то в качестве функционала можно взять I(u) = (Au; u)H ¡ 2(u; f)H , тогда аналогичный процесс Ритца приводит к методу Ритца.

3.3.2Метод моментов

Пусть H - гильбертово пространство. Выберем в H систему линейно независимых функций f'kg1k=1 таких, что 'k 2 D(A), будем называть эту систему координатной. Обозначим через Hn линейную оболочку, натяну-

тую на f'kgni=k.

Выберем в H также ещё одну систему линейно независимых функций fvkg1k=1, причем vk необязательно принадлежит D(A), будем называть эту систему проекционной. Пусть Gn линейная оболочка, натянутая на

fvkgnk=1.

Решение u может не принадлежать Gn ни при каком n, то-есть в Gn может не существовать элемент, который сделал бы равными Au и f. Будем разыскивать u 2 Hn, такое, чтобы были равны проекции Au и f на Gn.

Пусть Pn = PGn оператор ортогонального проектирования на Gn, заметим, что этот оператор самосопряжен. Будем разыскивать u в виде

u ¼ yn = Pn ak'k так, чтобы PnAyn = Pnf, используя следующую лемму.

k=1

Лемма. Для любого z 2 H равенство Pnz = 0 и система равенств (z; vk)H = 0, k = 1; 2; : : : ; n имеют место лишь одновременно.

Доказательство. 1. Пусть Pnz = 0. Заметим, что Pnvk = vk, так как vk 2 Gn. Тогда

(z; vk) = (z; Pnvk) = (Pnz; vk) = 0; k = 1; 2; : : : ; n:

62

Эта лемма дает способ построения приближенного решения. Согласно

доказанной лемме должны выполняться равенства

à ÃXn ! !

A aj'j ¡ f; vk = 0 (3.28)

тогда Pn(Ayn ¡ f) = 0, или PnAyn = Pnf. Решения системы трансцендентных алгебраических уравнений (3.28), являются искомыми коэффициентами anj , j = 1; : : : ; n.

Если A линейный оператор, то система уравнений (3.28) линейная, она имеет вид

Xn

aj(A'j; vk)H = (f; vk)H ; k = 1; : : : ; n:

j=1

Замечание. Если vk = 'k, то метод моментов называют методом Бубнова - Галеркина. Метод Бубнова - Галеркина можно пояснить ещё и так: если система функций f'kg1k=1 полна в H, то невязка Au ¡ f ортогональная каждой функции 'k из этой полной системы ( (Au ¡ f; 'k)H = 0, 1 6 k < 1) равна нулю. Поиск приближенного решения состоит в построении минимизирующей последовательности таких yn, что (Au ¡ f; 'k)H = 0,

1 6 k < n.

Замечание. Поиск не зависит от базисов выбранных в Hn и Gn. То есть преобразование координатных и проекционных систем не меняют решения yn. В вычислительном смысле это важное замечание, так как от этого может зависеть обусловленность системы (3.28) и простота алгоритма расчета.

Если H- гильбертово пространство, оператор A симметричен и положительно определен, то в качестве функционала можно взять I(u) ´ F (u) = (Au; u) ¡ 2(f; u). Если положить vk = 'k, то получится метод Ритца, сходимость которого доказана при определенных условиях гладкости.

63

Метод моментов обобщается на случай, когда H и H1 линейные нормированные пространства необязательно унитарны (т.е. в них не существует скалярное произведение). Тогда в качестве проекционной системы выбираются элементы сопряженного к H пространства, иначе говоря vk линейные функционалы, определенные в H. Приближенное решение по-

прежнему разыскивается в виде u ¼ yn = Pn aj'j, а для определения

j=1

коэффициентов система уравнений

à ÃXn !!

Если A линейный оператор, то получается СЛАУ

Xn

ajvk(A'j) = vk(f); k = 1; : : : ; n:

j=1

Проиллюстрируем этот прием на примере метода совпадений (метода коллокаций, интерполяционного метода)

3.3.3Метод коллокации

Рассмотрим пространство H = C[a; b] непрерывных на [a; b] функций. Выберем на [a; b] систему точек tk и определим функционал vk для f 2 C[a; b] следующим образом

vk(f) = f(tk):

Далее для так определенного функционала решается система уравнений (3.29)

Пример. Рассмотрим задачу Au = f, которая имеет вид

p(x)u00 ¡ q(x)u0 + r(x)u = f(x); x 2 [0; ¼];

u(0) = u(¼) = 0;

Функции p(x), q(x), r(x), f(x) - заданы и непрерывны на [0; ¼], и существует непрерывное решение этой задачи.

64

Положим H = H1 = C[0; ¼] и выберем систему координатных функций. Желательно, чтобы эта система функций была полна в H. В качестве координатных функций надо выбрать линейно независимые непрерывные функции, удовлетворяющие краевым условиям. В нашем примере координатные функции должны исчезать при x = 0 и x = ¼.

Такие координатные функции можно выбрать так: сначала построить функцию знакопостоянную достаточно гладкую функцию w(x), удовлетворяющую краевым условиям, а затем положить 'j = w(x)xj¡1. В нашем примере удобно выбрать 'j = sin jx.

Выберем n различных точек tk 2 [0; ¼], k = 1; : : : ; n (узлов) и пусть

P

P aj(¡j2p(tk) sin jtk + j q(tk) cos jtk + r(tk) sin jtk) = f(tk);

j=1

3.4Вопросы и упражнения для самопроверки

1.Для краевой задачи

u00 = eu

u(0) = u(1) = 0

выпишите явно систему нелинейных уравнений, которая получается в методе Галеркина при n = 2. Координатные функции 'k = sin ¼kx; k = 1; 2

2. Для краевой задачи из пункта 1 выпишите явно систему нелинейных уравнений, которая получается в методе коллокации при n = 2. Координатные функции 'k = (x = 1)xk; k = 1; 2

65

3. Составить алгоритм метода стрельбы для решения краевой задачи

u00 + 2xu0 ¡ u = ¡x u(0) ¡ u0(0) = 1 u(1) = ¡1

4. Составить алгоритм вычисления функционала R1(u+xu00)dx , где u(x)

0

решение краевой задачи из задания 3.

5. Составить алгоритм метода правой (или левой) прогонки для вычисления решения un, 1 6 n 6 N разностного равнения

anun¡1 + bnun + cn+1 = fn;

удовлетворяющего краевым условиям

u0 ¡ ®u1 = '; uN ¡ ®uN¡1 = Ã:

66

Список литературы

[1]Бахвалов H.С. Численные методы.М.:Hаука,1973.

[2]Бахвалов H.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.:Hаука,1989г.

[3]Калиткин H.H. Численные методы.М.:Hаука,1978

[4]Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.:Hаука,1989.

[5]Вержбицкий В.М. Основы численных методов.- М.:Высш.шк.,2002.

[6]Бахвалов H.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. М., "Высшая школа ", 2000.

[7]Дж. Холл, Дж.Уатт Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир,1979

[8]Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М.: Hаука, 1971. 247 с.

[9]Крылов В.И., Бобков В.В. Вычислительные методы. Т.II, М.: Hаука, 1977

[10]Дж. Ортега, У. Пул Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений.

[11]Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.Нежесткие задачи. М.: Мир,1990