Schisla_3

12

означает высокие требования к гладкости решения, кроме того, затруднительно в практических задачах использовать разложение с большим числом слагаемых), а шаг h очень малым (так получается, если нет сходимости, то есть предположение о порядке гладкости решения было неверным). Использовать этот метод для расчета решения задачи Коши разумно тогда, когда имеется доступ к какому либо пакету, выполняющему аналитические выкладки (например, если доступен пакет Maple).

Численные методы

2.4Метод Эйлера

Пусть требуется найти значения решения задачи Коши (2.1)

u(a) = u0

в точках xi 2 [a; b], i = 0; 1; : : : ; n (xi = xi¡1 + hi, x0 = a, xn = b). На плоскости (x; u) точки (xi; u(xi)) находятся на интегральной кривой. Из постановки задачи известны лишь одна точка (x0; u0) этой кривой и угол наклона ® касательной в этой точке к оси абсцисс (tg ® = f(x0; u0)). Уравнение касательной к интегральной кривой в точке (x0; u0) имеет вид

y(x) = y0 + (x ¡ x0)f(x0; y0); y0 = u0:

13

При достаточно малом шаге h1 можно считать

u(x1) ¼ y(x1) = y0 + (x1 ¡ x0)f(x0; y0) = y1:

Для расчета y(x2) ¼ u(x2) строится касательная к интегральной кривой, проходящая через точку (x1; y1),

y(x) = y1 + (x ¡ x1)f(x1; y1);

и вычисляется y(x2) = y1 + (x2 ¡ x1)f(x1; y1). Продолжая этот процесс, получим приближение интегральной кривой u = u(x) ломанной. Приближенные значения решения вычисляются по формуле

u(xi) ¼ y(xi) = yi¡1 + hi¡1f(xi¡1; yi¡1):

Если hi = h = const:, т.е. сетка равномерная, то

u(xi) ¼ y(xi) = yi¡1 + hfi¡1; fi¡1 = f(xi¡1; yi¡1):

Основной недостаток метода Эйлера - быстрое накопление ошибки, т.е. требуется очень мелкий шаг, чтобы получить удовлетворительную точность. В методе Эйлера используется направление касательной в одной точке, расположенной вблизи интегральной кривой. Если направление сдвига вдоль интегральной кривой от точки x выбирать, используя направления касательных в ближайших к ней точках, то можно построить методы Рунге - Кутты.

2.5Методы Рунге - Кутты

Вначале 20 века Рунге, а затем Хойн и Кутта предложили строить формулы для численного расчета решения задачи Коши (2.1), не содержащие производных от функции f(x; u).

Пусть в некоторой точке x известно точное решение u(x) задачи (2.1).

Приближенное решение в точке x + h разыскивается в виде

14

где y(x) = u(x),

k1 = h f(x; y(x))

k2 = h f(x + ®2h; y(x) + ¯21k1(h))

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

kq = h f(x + ®qh; y(x) + ¯q1k1(h) + ¢ ¢ ¢ + ¯q;q¡1kq¡1(h))

Значения констант pi (i = 1; 2; : : : ; q), ®i (i = 2; 3; : : : ; q) и ¯ij (1 6 j < i 6 q) выбираются так, чтобы погрешность приближенного решения

'(h) = u(x + h) ¡ y(x + h)

стремилась к нулю при h ! 0. Если выбранным константам соответствует невязка порядка '(h) = O(hs+1), то построенный метод называется явным q–стадийным методом Рунге - Кутты s – порядка.

Если функции u(x) и f(x; u(x)) непрерывны и имеют нужное число непрерывных производных, то невязка '(h) также имеет нужную глад-

Это разложение позволяет построить алгоритм для вычисления коэффициентов расчетной формулы метода Рунге-Кутты. Действительно, если pi; ®i и ¯ij выбраны так, что '(0) = '0(0) = ¢ ¢ ¢ = '(s)(0) = 0, то '(h) = O(hs+1).

2.5.1Вывод расчетных формул метода Рунге-Кутты

Как правило, наибольшее число операций (наибольшее время) при реализации метода Рунге - Кутты тратится на вычисление правых частей f(x; u(x)) , поэтому желательно построить расчетные формулы (2.6) с больш´им значением s и как можно м´еньшим q. Выясним основные свойства формул Рунге - Кутты, построив их для q = 1 и q = 2.

Случай q = 1

15

Расчетная формула в этом случае зависит лишь от одного параметра и имеет вид

u(x + h) ¼ y(x + h) = u(x) + p1k1

k1(h) = hf(x; u(x));

Построим выражение для невязки и вычислим две ее производные

'(h) = u(x + h) ¡ y(x + h) = u(x + h) ¡ u(x) ¡ p1hf(x; u(x))

'0(h) = u0(x + h) ¡ p1f(x; u(x)) = f(x + h; u(x + h)) ¡ p1f(x; u(x))

'00(h) = u00(x + h) = (fx + fu f)(x + h; u(x + h))

Отсюда следует, что если p1 = 1, то '(0) = 0 и '0(0) = 0 для любой функции f(x; u). Вторая же производная '00(0) =6 0 для произвольной f(x; u), например, для f(x; u) = u. Таким образом, при q=1 существует только один метод первого порядка– метод Эйлера

u(x + h) ¼ y(x + h) = u(x) + h f(x; u(x));

оценка погрешности которого

значений правой части f(x; u) и ее первых производных в точке x. Если

2

Случай q = 2

Расчетная формула в этом случае имеет вид

u(x + h) ¼ y(x + h) = u(x) + p1k1 + p2k2;

k1(h) = hf(x; u(x));

k2(h) = hf(x + ®2h; u(x) + ¯21k1(h)):

Для невязки получается выражение

'(h) = u(x + h) ¡ y(x + h) = u(x + h) ¡ u(x) ¡ p1hf(x; u(x)) ¡ p2hf(x;e ye);

'(0) = 0;

'0(0) = (1 ¡ p1 ¡ p2)f(x; u(x)) = 0

'00(0) = (1 ¡ 2p2®2)fx(x; u(x)) + (1 ¡ 2p2¯21)fu(x; u(x))f(x; u(x)) = 0

выполняются для произвольной функции f(x; u), если

Третья же производная

'000(0) = (1 ¡ 3p2®22)fxx(x; u(x)) + 2(1 ¡ 3p2®2¯21)fxu(x; u(x))f(x; u(x))+ +(1 ¡ 3p2¯212 )fuu(x; u(x))f2(x; u(x)) + (fufx + fu2f)(x; u(x))

не обращается в нуль для любой f(x; u), например, для f(x; u) = u. Итак, при q = 2 можно построить метод порядка s = 2, если вычислить

коэффициенты p1, p2, ®2 и ¯21, удовлетворяющие системе уравнений (2.7). Эта система трех уравнений имеет четыре неизвестных, т.е. существует однопараметрическое семейство методов Рунге - Кутты второго порядка,

17

построенных для q = 2. Например, положив p2 = 1=2, получим , p1 = 1=2, ®2 = 1 и ¯21 = 1 . При таком выборе коэффициентов расчетная формула u(x + h) ¼ y(x + h) = y(x) + h2(f(x; y(x)) + f(x + h; y(x) + hf(x; y(x)))

называются методом Хойна (Хъюна).

Методы для q = 1; 2; 3; 4 имеют максимальный порядок s = q, если же q = 5; 6, то соответственно s=4; 5.

Если многократно ведется расчет задач, имеющих одинаковую гладкость, то можно, используя произвол при построении метода Рунге - Кутты, обратить в нуль быстро растущие слагаемые в главном члене погрешности. Заметим, что знак шага h может быть любым, т.е. решать задачу Коши можно как, начиная с точки a, с положительным шагом, так и, начиная с точки b, с отрицательным. При реализации на ЭВМ метода Рунге - Кутты для выбора величины шага и контроля погрешности приближенного решения используется правило Рунге.

2.5.2Правило Рунге для практической оценки локальной погрешности

Если известно точное решения u(x), то оценка локальной погрешности приближенного решения y(x + h), рассчитанного методом Рунге - Кутта s ¡ 1 – ого порядка, имеет вид

где '(s)(0) зависит от правой части f(x; u(x)) дифференциального уравнения (2.1) и её производных порядка не выше s ¡ 1. Если шаг h мал, то на отрезке [x; x + h] функция f(x; u(x)) и её производные могут так медленно меняться, что можно считать

'(h) = Chs + O(hs+1);

где C = const на этом отрезке. При таком предположении формула для практической оценки погрешности получается следующим образом. Сна-

18

чала вычисляется с шагом h приближенное решение

Xs

y1(x + h) = u(x) + piki(h);

i=1

и точное решение в точке x + h записывается в виде

Затем вычисляется приближенное решение в точке x + h=2

u(x + h=2) = y2(x + h=2) + C(h=2)s + O(hs+1):

Теперь используется u(x + h=2) и выполняется еще один шаг h=2, т.е. вычисляется

Из сравнения выражений (2.8) и (2.9) для точного решения в точке x + h

тать, что приближенное решение y3(x + h) вычислено с точностью ", если

Такая практическая оценка погрешности называется правилом Рунге.