Schisla_3

21

2.5.4Оценка глобальной погрешности метода Рунге-Кутты

Если известно точное решение u(x) в некоторой точке x 2 [a; b], то локальная ошибка приближенного решения y(x + h) = u(x + h) + '(h), полученного методом Рунге-Кутты s- ого порядка, имеет порядок '(h) =

O(hs+1).

Пусть требуется вычислить значения решения задачи

Для оценки погрешности приближенного решения в некоторой точке xn 2 [a:b] используется лемма.

Лемма. Пусть u1(x) и u2(x) различные решения дифференциального уравнения

u0 = f(x; u);

тогда

R¯ @f (x;ue(x))dx

u1(¯) ¡ u2(¯) = (u1(®) ¡ u2(®)) e® @u ;

где ® 2 [a; b] и ¯ 2 [a; b], значение ue(x) для любого x 2 [a; b] заключено между u1(x) и u2(x).

Доказательство. Из формулы Лагранжа о конечных приращениях и ра-

венств

u01 = f(x; u1);

u02 = f(x; u2);

следует

u01 ¡ u02 = f(x; u1) ¡ f(x; u2) = fu(x; ue(x))(u1 ¡ u2);

где ue(x) для любого x 2 [a; b] заключено между u1(x) и u2(x). Доказательство леммы получается после интегрирования этого выражения.

Решение такой задачи uj(x) удовлетворяет начальному условию uj(xj) = yj = uj¡1(xj), где uj¡1(x) решение задачи, вычисленное на отрезке [xj¡1; b].

Пусть решение задачи u0(x) = u(x) + ±0(x)

u0 = f(x; u); x 2 [x0; b] u(x0) = u0;

отличается от точного решения u(x) на величину погрешности j±0(x)j 6 ±, обусловленной лишь ошибками округления. Приближенное решение этой задачи, рассчитанное методом Рунге-Кутты s– ого порядка, в точке x1 = x0 + h принимает значение u0(x1) = u(x1) + '0(h) + ±0, здесь '0(h) = C0hs+1 + O(hs+2) – локальная погрешность метода Рунге-Кутты, j±0j 6 ± – погрешность связанная с ошибками округления.

Аналогично для решения u1(x) задачи Коши

получается u1(x2) = u0(x2) + '1(h) + ±1, где '1(h) = C1hs+1 + O(hs+2), j±1j 6 ±. Таким образом решение uj(x) задач (2.12) в точках xj j = 1; 2; : : :

uj(xj) = uj¡1(xj) + 'j(h) + ±j;

23

где 'j(h) = Cjhs+1 + O(hs+2), j±jj 6 ±. Из этого выражения следует, что uj(xj) ¡ uj¡1(xj) = 'j¡1(h) + ±j.

Точность приближенного решения un(xn) в некоторой точке xn 2 [a:b] можно записать в виде

Rn = u(xn) ¡ un(xn) = un(xn) ¡ un¡1(xn) + un¡1(xn) ¡ un¡2(xn) + : : : +

+u1(xn) ¡ u0(xn) + u0(xn) ¡ u(xn) = Pn (uj(xn) ¡ uj¡1(xn)) + ±0:

j=1

Из доказанной выше леммы получается оценка

n Rb L dx

6 P(Chs+1 + O(hs+2) + ±)ea + ±

j=1

Отсюда с точностью до O(hs+2) следует

jRnj 6 neL(b¡a)(Chs+1 + ±) + ± = xn ¡ aeL(b¡a)(Chs+1 + ±) + ± h

то есть, если задача достаточно гладкая и точность ЭВМ позволяет, то найдется шаг h, обеспечивающийся заданную точность.

Полученная глобальная оценка погрешности метода Рунге-Кутты объясняет, почему при больших значениях L с увеличением n растет погрешность метода Рунге - Кутта, несмотря на автоматический выбор шага. Обычно свойства устойчивости или неустойчивости решаемой дифференциальной системы неизвестны, поэтому локальные погрешности обычно имеют мало общего с глобальными погрешностями [11].

24

2.6Многошаговые методы

Пусть в точках xj = a + jh, j = 0; 1; : : : ; k ¡ 1 на отрезке [a, b] известны значения точного uj решения задачи Коши

(2.13)

u(a) = u0;

или можно считать uj ¼ yj, где yj – приближенное решение (2.13), рассчитанное заданной точностью ".

Методы вычисления приближенного решения ym задачи (2.13) в точках xm 2 [a; b], m = k; k + 1; : : : ; n (xn = b), использующие k известных значениий yj, j = m ¡ 1; m ¡ 2; : : : ; m ¡ k называются явными k- шаговыми методами. Если используются k значениий yj, j = m; m ¡ 1; : : : ; m ¡ k ¡ 1, то получается неявный k- шаговый метод.

2.6.1Построение k- шаговых методов с помощью численного интегрирования

Для точного решения задачи (2.13) справедливо тождество

j = 0; 1; : : : ; k ¡ 1, то в этих точках известны и значения правой части fj = f(xj; uj). Это означает, что для функции f(x; u(x)) можно построить интерполяционный многочлен Lk(x).

где pj(x) – известные полиномы степени не более k ¡ 1,

r(x) 6 C Mk!k hk оценка погрешности интерполяционного многочлена,

25

Теперь расчетные формулы для вычисления значения приближенного решения (2.13) с помощью явного (экстраполяционного) k – шагового метода примут вид

Если при построении интерполяционного многочлена Lk(x) используется также и неизвестное значение fk = f(xk; uk) при x = xk, тогда получается неявный (интерполяционный) k- шаговый метод. В этом случае при вычислении значения ym требуется решать трансцендентное уравнение, так как в правой части расчетной формулы находится fm = f(xm; ym).

2.6.2Методы Адамса.

При p = 1 построенные методы называются методами Адамса. Для их вывода удобно использовать интерполяционную формулу Ньютона, построенную по k узлам x0; x1; : : : ; xk¡1 для конца таблицы

Lk(x) = Lk(xk¡1 + th) = fk¡1 + t¢fk¡2+

26

Расчетная формула экстраполяционного метода Адамса (АдамсаБаш- форта) получается, если подставить (2.16) в выражение

Z1

t(t + 1) : : : (t + j ¡ 1)dt, j = 1; : : : ; k. j!

0

Пример. Пусть k = 2, т.е. известны точные значения решения в двух узлах yk¡1 = uk¡1 и yk¡2 = uk¡2, тогда

Аналогично выводится интерполяционная формула Адамса (Адамса - Мултона), если используется узел xk и неизвестное значение uk = f(xk). Формула Ньютона для узлов xk; xk¡1; : : : ; x1 имеет вид,

Lk(x) = Lk(xk + th) = fk + t¢fk¡1+

+t(t + 1)¢2fk¡2 + ¢ ¢ ¢ + t(t + 1) : : : (t + k ¡ 2)¢k¡1f1; 2! k ¡ 1!

где t = (x ¡ xk)=h. Тогда

27

После интегрирования получится расчетная формула метода Адамса -

Мултона

Xk¡1

u(xk) ¼ yk = yk¡1 + h(fk + bj¢jfk¡j);

j=1

Z0

t(t + 1) : : : (t + j ¡ 1)dt, j = 1; : : : ; k ¡ 1 j!

¡1

Пример. Пусть k = 2, т.е. известно точное значение решения yk¡1 = uk¡1, тогда

0

оценка погрешности этой формулы такая же, как у явной формулы Адамса.

2.6.3Общая схема разностных методов

Общую схему k- шагового метода записать в виде

Если a0 =6 0, а b0 = 0 , то разностная схема (2.18) явная (экстраполяционный k- шаговый метод), если же b0 =6 0, то схема неявная (интерполяционный метод).

Произвольные пока коэффициенты ai, bi, i = 0; 1; : : : ; k требуется выбрать так, чтобы значения решения ym, m = k; k + 1; : : : ; n разностного уравнения (2.18) мало отличались бы от значений um точного решения задачи (2.13). Чтобы оценить эти погрешности вводится понятие сеточной функции и ее нормы.

Таблицу значений yj приближенного решения, рассчитанного в узлах xj = a + jh; j = 0; 1; : : : ; n, можно рассматривать как сеточную функцию

yh = fy0; y1; : : : ; yng. Пусть kyhk = max jyjj, очевидно, эта норма зависит

06j6n

28

от шага h. Точному решению u(x) непрерывной функции можно также поставить в соответствие uh = fu0; u1; : : : ; ung (uj = u(xj)).

Пусть сеточная функция eh = fe0; e1; : : : ; eng определяет погрешность приближенного решения (ej = yj ¡ uj ).

Определение. Метод из класса (2.18) сходится, если kehk = kyh ¡ uhk ! 0 при h ! 0 для любой задачи Коши (2.1) с достаточно гладкой правой частью f(x; u(x)). Если, кроме того, kyh ¡ uhk = O(hs+1), то говорят о методе s-ого порядка.

После подстановки yh = uh + eh в (2.18) получится, что погрешность eh должна удовлетворять разностному уравнению

Это уравнение с помощью формулы конечных приращений Лагранжа, можно записать в виде

Величина tm показывает насколько точное решение u(x) не удовлетворяет разностному уравнению (2.18) и называется аппроксимацией дифференциальной задачи (2.1) схемой (2.18). От значения tm зависит локальная погрешность em. Действительно, если em¡j = 0, j = 1; : : : ; k ¡1 из разностного уравнения (2.19) получается выражение для em

amem = hb0 @f@u(xm; uem)em ¡ tm ) em = @f tm : hb0 @u(xm; uem) ¡ am

Это означает, что для сходимости разностной схемы (2.18) надо выбрать такие коэффициенты ai, bi, i = 0; 1; : : : ; k, чтобы невязка tm = O(hs+1).

29

Известно, что полная погрешность (глобальная) зависит не только от локальной погрешности, но и от того, как уравнение (2.19) преобразует "предыдущие погрешности", т.е. имеет ли это уравнение быстро растущие решения.

С точностью до O(hs+1), линейное разностное уравнение k- ого порядка (2.18) можно записать в виде

Чтобы выяснить, отчего зависит существование у (2.20) быстро растущих решений, рассмотрим однородные линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами

2.6.4Однородные линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами

Запишем разностное уравнение в виде

Xk

j=0

Такое разностное уравнение имеет k – ый порядок, т.к., чтобы вычислить yk, требуется знать k предыдущих значений yk¡1; yk¡2; : : : ; y0.

Определение. Порядком разностного уравнения называется число дополнительных условий, которые выделяют его единственное решение.

Частное решение (2.21) можно разыскивать в виде ym = ¸m. Из (2.21) следует, что такое решение существует, если ¸ является корнем характеристического многочлена

Xk

Pk(¸) = aj¸j = 0:

j=0

Многочлен Pk(¸) имеет ровно k вещественных или комплексных корней, если каждый корень считать столько раз какова его кратность (следствие из основной теоремы алгебры). Возможны три случая.

30

1.Все корни характеристического уравнения вещественны и различны (просты). Тогда существует k вещественных линейно независимых решений yj(m) = ¸jm разностного уравнения (2.21).

2.Все корни простые, но среди них есть комплексные, очевидно, комплексно сопряженные. Пусть

¸l = ½(cos ' + i sin '); ¸l+1 = ½(cos ' ¡ i sin '):

Этим двум корням характеристического уравнения соответствуют два вещественных линейно независимых решения

ylj = 12(¸jl + ¸jl+1) = ½j cos j'; ylj+1 = 12(¸jl ¡ ¸jl+1) = ½j sin j':

3. Среди корней характеристического многочлена есть кратные. Справедлива лемма (без доказательства): Если ¸l корень характеристического многочлена кратности q ,то

Xk

ajjp¸jl = 0; p = 0; 1; : : : ; q ¡ 1:

j=0

Согласно лемме корню ¸l кратности q соответствует q линейно независимых решений

yl = ¸jl ; yl+1 = j¸jl ; : : : ; yl+q¡1 = jq¡1¸jl :

Таким образом, уравнение (2.21) имеет k линейно независимых частных решений, а его общее решение можно записать в виде

Xk

yj = Cm¸jm;

m=1

где Cm – произвольные постоянные.

Если j¸mj < 1; m = 1; 2; : : : ; k, то решение yj ! 0 при j ! 1 (эквивалентно h ! 0). Если же сушествует простое j¸lj = 1, то решение yj, по