Schisla_3

51

больше значение (b ¡ a), тем больше число обусловленности СЛАУ (3.15). Заметим, что аналогичная, как правило, более сложная ситуация имеет место, если матрица A не постоянна или задача нелинейна.

Иногда в такой ситуации помогает следующий алгоритм реализации метода стрельбы. Сначала выбирается некоторая точка s 2 [a; b] и решаются две задачи Коши

u0 = F (x; u);

(3.17)

u(a) = (®1; : : : ; ®k; pk+1; : : : ; pm);

и

u0 = F (x; u);

(3.18)

u(a) = (p1; : : : ; pk; ¯1; : : : ; ¯m¡k);

Если обозначить ua(x; pk+1; : : : ; pm) решение первой задачи, а ub(x; p1; : : : ; pk)решение второй, то вектор p = (p1; : : : ; pm) надо выбрать так, чтобы в точке s

Это означает, что требуется найти вектор p, который является решением уравнения сшивания (3.19).

В случае, если краевая задача линейна, уравнения сшивания представляют собою систему линейных алгебраических уравнений. Для их построения сначала разыскиваются решение u(0)a (x) неоднородной системы

u0 = A(x)u + F (x);

a 6 x 6 s;

u(a) = (®1; : : : ; ®k; 0; : : : ; 0);

решения u(an)(x) (k + 1 6 n 6 m) однородных задач u0 = A(x)u

u(a) = (0; : : : ; 1 ; 0; : : : ; 0); a 6 x 6 b;

|{z}

i место

52

m порядка и является уравнениями сшивания является СЛАУ. Для построения этой СЛАУ надо решить m соответствующих задач Коши. Выбор подходящей точки s 2 (a; b) труден и требует вычислительного опыта. Такой алгоритм иногда уменьшает вычислительную погрешность за счет его усложнения.

3.2Разностные методы

3.2.1Разностные методы решения линейных задач.

Рассмотрим разностные методы линейной краевой задачи на примере

Выберем на [a; b] сетку, т.е. множество точек ! = fxngNn=0 таких, что a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xN = b. Будем считать сетку равномерной, т.е. xn = a+nh, h = (b ¡ a)=N.

53

здесь u00n = u00(xn), un = u(xn). Для любой внутренней точки xn можно записать

un+1 ¡ 2u2n + un¡1 ¡ pnun ¼ fn; h

Используя это соотношение и краевые условия, получим для дифференциальной задачи разностную схему

y0 = ®; yN = ¯;

которая представляет собою СЛАУ с трехдиагональной матрицей для вычисления приближенных значений yn ¼ u(xn) решения краевой задачи (3.20) в узлах сетки !.

Здесь возникают три основополагающих вопроса:

1.Существует ли решение полученной СЛАУ?

2.Как его найти?

3.Как близки в узлах сетки значения un, n = 0; 1; : : : ; N точного решения задачи (3.20) и приближенного yn?

Если pn > 0 (p(x) > 0) матрица системы имеет диагональное преобладание, т.е. система имеет единственное решение.

Без ответа на третий вопрос не имеет смысла расчет решения СЛАУ. Ответ на этот вопрос будет сформулирован в более общем виде при численном решении уравнений с частными производными (см. стр. )

Найти решение разностной схемы (3.21) можно с помощью метода прогонки.

Для разностной схемы (3.21) An = Cn = 1=h2, Bn = ¡(2=h2 + pn). Если дифференциальное уравнение из системы (3.20) зависит от u0 (содержит слагаемого q(x)u0), то в разностной схеме изменятся лишь коэффициенты

An, Bn и Cn.

Из краевого условия для x = a вычисляется ®0 и ¯0, для нашего примера ®0 = 0, ¯0 = ®. После подстановки yn¡1 = ®n¡1yn + ¯n¡1 в уравнение (3.22) получается выражение yn через yn+1

Таким образом, вычислив ®0 и ¯0 c помощью условия при x = a, можно

вычислить все прогоночные коэффициенты ®n и ¯n, n = 1; 2; : : : ; N ¡ 1 (прямой ход прогонки).

Теперь с помощью краевого условия при x = b вычисляются значения ®N и ¯N . Для нашего примера yN = ¯ (®N = 0, ¯N = ¯). Из (3.24) получаются два равенства

yN = ¯;

yN¡1 = ®N¡1yN + ¯N¡1;

55

где ®N¡1 и ¯N¡1 вычисленные прямым ходом прогоночные коэффициенты. Далее обратным ходом вычисляем искомые значения приближенного решения yN , n = N ¡1; N ¡2; :::; 1. Метод прогонки точный и экономичный

(требует 0(N) операций)

Cправедлива лемма (см. Самарский, Николаев Методы решения сеточных уравнений стр. 78).

Пусть коэффициенты системы (3.22) действительны и удовлетворяют условиям:

jAnj > 0; jCnj > 0; n = 1; : : : ; N ¡ 1;

кроме того jBnj > jAnj + jCnj, n = 1; : : : ; N ¡ 1, причем хотя бы в одном из этих неравенств выполняется строгое неравенство, то есть матрица системы имеет диагональное преобладание. Тогда для алгоритма прогонки имеют место неравенства Cn®n¡1 + Bn 6= 0, ®n 6 1, n = 1; : : : ; N ¡ 1, гарантирующее корректность и устойчивость метода.

Эти достаточные условия корректности и устойчивости метода прогонки можно ослабить, разрешив некоторым из коэффициентов An и Cn обращаться в нуль.

3.2.3Разностный методы решения нелинейных задач.

Рассмотрим нелинейную краевую задачу

u(a) = ®; u(b) = ¯:

Предположение о независимости правой части от u0 непринципиально. Аналогично предыдущему для внутренних узлов сетки получается система уравнений

56

Если f(x; u) непрерывна вместе со своими производными, то можно доказать сходимость разностного решения при измельчении сетки (yn ! u(xn) при n ! 1).

Для вычисления решения (3.26) можно использовать, например, явный метод последовательных приближений

2ynº+1 = ynº+1 + ynº¡1 ¡ h2f(xn; ynº):

Достаточный признак сходимости этого итерационного процесса – модуль нормы матрицы системы меньше единицы. Если функцию f(x; y) можно записать в виде fn = f(xn; yn) = anyn + : : : , то даже при малых an и h у итерационного метода

первая норма матрицы 1=2 + 1=2 + anh2=2 > 1. Это означает, что, как правило, итерационный метод расходится.

Лучше использовать итерационный метод

ynº+1+1 ¡ 2ynº+1 + ynº¡+11 = h2f(xn; ynº)

y0º+1 = ®; yNº+1 = ¯;

Эту линейную задачу, которую можно решать прогонкой.

Метод Ньютона.

В случае, когда известно достаточно хорошее начальное приближение yn0, n = 1; : : : ; N, систему (3.26) можно решать методом Ньютона. Очередная итерация вычисляется по формуле ynº+1 = ynº + ±nº. Система уравнений

58

Можно показать, что решение задачи (3.27) доставляет минимум функци-

оналу

F (u) = Zb ¡p(x)(u0)2 + q(x)u2 ¡ 2f(x)u¢ dx

a

в W21 (т.е. в более широком классе функций, имеющих первую производную суммируемую в квадрате). Поиск минимума функционала F (u) снижает требования к функциям p(x) и q(x), для его существования достаточно только ограниченности p(x). Если функция p(x) терпит разрыв в точке », то обычно решением задачи (3.27) называют функцию, удовлетворяющую левому краевому условию и дифференциальному уравнению из (3.27) на отрезке [a; »], и функцию, удовлетворяющую правому краевому условию и уравнению на отрезке [»; b]. Дополнительное краевое условие в точке x = » задается, исходя из соображений постановки задачи. Например, условия сопряжения непрерывности решения

¯

[u]¯

Таким образом, решение краевой задачи (3.27) можно заменить поиском минимума функционала F (u).

Общая постановка задачи состоит в поиске решения операторного уравнения

Au = f:

Так же, как всегда предполагается существование единственного решения u 2 D(A) (D(A) – область определения оператора A). В рассмотренном примере оператор A определяется дифференциальным выражением

59

и ставит в соответствие каждой функции u 2 D(A) ½ H = W22[a; b] некоторую функцию f 2 H1 = L2[a; b], D(A) множество функций из H, удовлетворяющих краевым условиям, заданным при x = a и x = b.

Для любого оператора A, имеющего решение в гильбертовом пространстве, можно построить функционал, например, I(u) = kAu¡fkH , минимум которого достигается на решении задачи (3.27).

Если построить для функционала I(u) минимизирующую последовательность, то один из ее элементов можно считать приближенным решением, найденным с заданной точностью.

Определение. Последовательность функций fung1n=1 из D(A) называется минимизирующей для функционала I(u), если

Рассмотрим алгоритмы построения минимизирующих последовательностей без доказательства сходимости.

3.3.1Процесс Ритца

Рассмотрим в H систему линейно независимых элементов f'kg1k=1, 'k 2 D(A). Пусть Hn – линейная оболочка натянутая на f'kgnk=1.

Если система f'kg1k=1 полна в H, то элементы un, доставляющие минимум I(u) в Hn, сходятся к точноему решению u¤ при n ! 1 (un ! u¤).

Для построения последовательности un, произвольный элемент u 2 Hn можно разложить

Минимум функции многих переменных достигается на таких значениях ank,