2.3. Алгоритм решения задачи минимизации времени выполнения комплекса работ.

Рассмотрим метод решения задачи минимизации времени на примере 2.1.

Пример 2.1.

Дана упорядоченная структурно-временная таблица 2.2. перечня работ по организации выставки-продажи товаров. Требуется построить сетевой график, определить критический путь, критические работы, резервы времени, провести графический анализ комплекса работ и оптимизацию сетевой модели по критерию минимума времени Тпри заданных ресурсахВ. Определить экономию. Построить оптимальный сетевой план работ.

Таблица 2.2.

	Содержание работ	Обозначение ai	Опорные работы aj	Коэффициент пересчета	Длительность работ ti
1	Заказ на оборудование и товары	a1	–	C1=0,1	t1=8
2	Разработка системы учета спроса	a2	–	C2=0,2	t2=15
3	Отбор товаров и выписка счетов	a3	a1	C3=0,3	t3=6
4	Завоз товара	a4	a3	C4=0,4	t4=3
5	Завоз оборудования	a5	a1	C5=0,5	t5=4
6	Установка оборудования	a6	a5	C6=0,6	t6=5
7	Выкладка товара	a7	a4	C7=0,7	t7=5
8	Учет наличия товара	a8	a4	C8=0,8	t8=5
9	Оформление витрины	a9	a6, a7	C9=0,9	t9=3
10	Изучение документов учета	a10	a2, a8	C10=1,0	t10=3
11	Репетиция выставки-продажи	a11	a9, a10	C11=1,1	t11=2
12	Проведение выставки	a12	a11	C12=0,2	t12=1
13	Анализ результатов	a13	a12	C13=0,3	t13=1

2.4. Анализ сетевой модели.

Чтобы провести анализ сетевой модели, а затем ее оптимизацию, необходимо определить основные характеристики СМ. Эти характеристики определим двумя способами аналитически с помощью формул и результаты вычислений заносим в таблицу 2.2. и графически – построением сетевого моделирования.

2.4.1. Табличный способ моделирования.

Графы (колонки) 1,2 и 3 таблицы 2.3 заполняем на основании исходных данных таблицы 2.2. В графе 4 заполняем раннего срока начала работ, определяемые с графика, путем выбора максимального из сроков раннего окончания предшествующих работ. Количество сравниваемых сроков равно количеству предшествующих работ графы 2. Заполнение графы 5 производится суммированием значений граф 3 и 4, т.е. раннее окончание каждой работы определяется сложением величин раннего начала и продолжительности работы.

После заполнения граф 4 и 5 определяется критический путь, равный максимально раннему сроку окончания работ, т.е. Т_кр=29 часам.

Значение критического пути заносится в последнюю сроку графы 7 и заполнение ее ведется снизу вверх. Время каждой работы определяется как разности между поздним окончанием работ и их продолжительностью. Наименьшее значение записывается в графу 7.

Значения графы 6 получаются вычислением данных графы 7 и значений колонки 3.

Значения графы 8 – полный резерв времени равный разности величин колонок 6 и 4 или 7 и 5. Если r_n(i,k)равен нулю, то работа является критической.

В графу 10 резерв времени событий записывается величина, равная разности между поздним событием окончания работы, заканчивающимся событием kграфы 7, и ранним началом работы, начинающимся событиемk, т.е. значения 10_графа= 7_графа – 3_графа(но не по строкам).

Значения свободного резерва времени работы r_св(i,k)вычисляются как разность значений граф 10 и 8. Величины графы 9 указывают на резервы работ, необходимые для оптимизации модели.

Таблица 2.3.

Работы (i,k)	Кол-во предшествую щих работ	Время работ (i,k)	Сроки выполнения работ				Резервы времени			Kн
			Ранние		Поздние		Работ		событий Rk
			начала tр.н(i,k)	окончания tр.о(i,k)	начала tп.н(i,k)	окончания tп.о(i,k)	полный rп(i,k)	свободный rс(i,k)
1	2	3	4	5=3+4	6=7-3	7	8 = 6 - 4, или (7-5)	9	10	11
a1,(1,2)	0	8	0	8	0	8	0	9	0	1
a2,(1,7)	0	15	0	15	7	22	7	0	0	0,68
a3,(2,4)	1	6	8	14	8	14	0	7	0	1
a4,(4,5)	1	3	14	17	14	17	0	0	0	1
a5,(2,3)	1	4	8	12	13	17	5	0	5	0,64
a6,(3,6)	1	5	12	17	17	22	5	0	0	0,64
a7,(5,6)	1	5	17	22	17	22	0	5	0	1
a8,(5,7)	1	5	17	22	17	22	0	0	0	1
a9,(6,8)	2	3	22	25	22	25	0	0	0	1
a10,(7,8)	2	3	22	25	22	25	0	0	0	1
a11,(8,9)	2	2	25	27	25	27	0	0	0	1
a12,(9,10)	1	1	27	28	27	28	0	0	0	1
a13,(10,11)	1	1	28	29	28	29	0	0	0	1

В графе 11 записаны значения коэффициента напряженности, вычисленные по формуле (2.4).

2.4.2. Графический способ решения задачи сетевого моделирования.

Решим задачу графическим способом, построив сетевую модель по данным таблицы 2.2. и выполнив ее оптимизацию.

Решение.

1. Построим сетевую модель по данным структурно-временной таблицы 2.2, указывая события: начальное – 1 и конечное – 11, работы a₁÷a₁₃ и соответствующие им длительности.

2. Укажем пути на сетевом графике (последовательность работ, соединяющая начальное и конечное событие) рассматриваемой модели (4 пути):

1 путь: а₁, а₅, а₆, а₉, а₁₁, а₁₂, а₁₃ – содержит 7 работ;

2 путь: а₁, а₃, а₄, а₇, а₉, а₁₁, а₁₂, а₁₃ – содержит 8 работ;

3 путь: а₁, а₃, а₄, а₈, а₁₀, а₁₁, а₁₂, а₁₃ – содержит 8 работ;

4 путь: а₂, а₁₀, а₁₁, а₁₂, а₁₃ – содержит 5 работ.

3. Определим длительность пути во времени, подставляя соответствующие значения работ:

Т₁=8+4+5+3+2+1+1=24 час.

Т₂=8+6+3+5+3+2+1+1=29 час.

Т₃=8+6+3+5+3+2+1+1=29 час.

Т₄=15+3+2+1+1=22 час.

Длительность максимального пути Т₂=29, Т₃=29.За это время все работы по организации выставки-продажи могут быть выполнены. Т.е. путиТ₂ и Т₃ являются критическими. Длительность минимального путиТ₄=22 часа. За это время организовать выставку-продажу не получится.

4. Определяем полные резервы времени по всем путям:

Т_кр – Т₁=29 – 24 = 5 час. Т_кр – Т₂=29 – 29 = 0 час.

Т_кр – Т₃=29 – 29 = 0 час. Т_кр – Т₄=29 – 22 = 7 час.

5. Строим сетевой график в масштабе времени 1см – 2 часа рис. 2.3., построение начинается с критического пути Т₂ = Т₃=29 час.Затем строим остальные пути. Критические работы указаны двойными линиями (дугами). События отмечены цифрами в кружочках и соответствуют вершинам графа, а работы указаны отрезками со стрелками, проекции которых на осьotравны длительности соответствующих работ.

Рис. 2.2.

Рис. 2.3.

Рис. 2.4.

Рис. 2.5.

Из рис. 2.3. видно, что простой ресурсов на первом пути происходит на работе а₆, а время простояt₆=5час. Простой ресурсов на 4 пути происходит на работеа₂, время простоя – 7 часов. После определения работ, на которых происходит простаивание ресурсов, перенесем на часть ресурсов с этих работ на работы критических путей, т.е. с работыа₆на работуа₄.

6. Проведем оптимизацию сетевой модели, используя следующие зависимости. Перенесем часть резервного времени х₆с работыа₆=5 наа₄=3, гдех₆– величина ресурса, забираемого с работыа₆.

Составим систему, чтобы определить х₄ их₆, которая должна удовлетворять условию ограничения:

;

т.к. ,

х₄– величина ресурса, добавленного к работеа₄=1,19.

Для того, чтобы найти длительности путей используем формулы:

T_кр^’= T_кр-∆t₄=29-1,43=27,57

T_кр^’= T₁-∆t₆=24+3,57=27,57

Определим величины новых работ а₄иа₆:

t₄^’=t₄-∆t₄=3-1,43=1,57

t₆^’=t₆-∆t₆=5+3,57=8,57.

7. Строим новый график на основе перераспределения резервов времени:

T_кр^’= T₁^’= T₃^’=27,57 (рис. 2.4.).

8. Перенесем часть резервного ресурса х₂с работыа₂на работуа₁. Затем перераспределим резервы времени на 4 пути.

Составим систему:

т.к. ;

Проверим по условию ограничения ресурса:

,

Условие выполняется т.к. 1,466 < 1,86.

Найдем изменения времени и длительность работ.

∆t₁=t₁∙c₁∙x₁=8∙0,1∙1,466=1,172

∆t₂=t₂∙c₂∙x₂=0,2∙15∙1,466=4,398

t₁^’=a₁-∆t₁=8-1,472=6,828

t₂^’=a₂+∆t₂=19,398.

Новая длительность путей:

T_кр^’’= T_кр^’-∆t₁=27,57-1,172=26,398

T^’= T₄-∆t₂=22+4,398=26,398

Посчитаем экономию времени:

∆T=T_кр – T_кр^’’=29-26,398=2,602 дня.

9. Строим окончательную сетевую модель (рис. 2.5.).

Контрольные вопросы:

1. Назовите основные показатели сетевых моделей.

2. Что называется сетевым графом?

3. Разновидности графов.

4. Виды определения резервов времени для оптимизации сетевого графа.

5. Способы оптимизации сетевых моделей.

6. Как определить экономию времени при выполнении работ?

Глава Ш. Теория игр и принятия решений.

В теории принятия решений применяют выбор из нескольких возможных исходов. Все задачи, решаемые методами этой теории, можно отнести к одному из трех возможных условий:

1. Принятие решений в условиях определенности, когда данные задачи точно известны.

2. Принятие решений в условиях риска, когда данные заданы с помощью вероятностных распределений.

3. Решения принимаются в условиях неопределенности, когда действия одной из сторон являются неизвестными или случайными. Такие ситуации называются «играми с природой», а решают такие задачи методами теории статистических решений.

Условие задачи представляют в табличной форме, а полученную матрицу называют платежной (матрицей игры).

При решении игровых задач торговли применяют специальные критерии для анализа ситуации, связанной с принятием решений.

Такими критериями являются:

1. Критерий Лапласа, который основан на вероятностях состояния природы. Если эти вероятности неизвестны, то можно предположить, что эти вероятности равны для всех состояний природы, т.е.: . Если при этомU(x_i,S_k) представляет получаемый выигрыш (например прибыль), то получим решение такое, которое обеспечивает:.

2. Максимальный критерий Вальда основан на осторожном поведении лица, принимающего решение, и заключается в выборе наилучшей ситуации из худших, т.е. выбирается максимальное число из всех выбранных ранее минимальных: .

3. Критерий Гурвица охватывает ряд различных подходов к принятию решений от наиболее оптимистического до консервативного, т.е. вместо двух крайностей придерживаться некоторого промежуточного решения. Тогда решению, принятому критерию Гурвица соответствует: , где α – показатель оптимизма, величина которой может принимать значения: 0 ≤ α ≤ 1.

4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа позволяет путем замены платежной матрицы матрицей потерь (риска) определить оптимальную стратегию:,

где – элементы матрицы риска.

α_ik – элементы платежной матрицы;

β_ik – максимальный элемент вk – мстолбце платежной матрицы.

Пример 5.1.

Розничное торговое предприятие разработало несколько вариантов плана продажи товаров на предстоящей ярмарке с учетом меняющейся конъюнктуры рынка и спроса покупателей, получающиеся от их возможных сочетаний величины прибыли представлены в виде матрицы выигрышей. Определить оптимальный план продажи товаров.

Таблица 5.1.

Величина прибыли, в тыс. руб.
План продажи	Состояние конъюнктуры рынка и спроса
	К1	К2	К3	К4
П1	5	2	1	2
П2	4	2	3	2
П3	1	5	1	2
П4	2	1	4	1

Х=0,6Таблица 5.2.

	К1	К2	К3	К4	min (aik)	max (aik)
П1	5	2	1	2	1	5
П2	4	2	3	3	2	4
П3	1	5	1	2	1	5
П4	2	1	4	1	1	4
max	5	5	4	3

1. По критерию Вальда мы должны найти maxв столбцеmin (a_ik), т.е.max (1;2;1;1) = 2, и по критерию Вальда оптимальной является стратегияП₂.

2. Применим критерий Гурвица. Вычислим:

;

G₁=0,6∙1+(1-0,6)∙5=0,6+0,4∙5=2,6;

G₂=0,6∙2+(1-0,6)∙4=1,2+0,4∙4=2,8;

G₃=0,6∙1+(1-0,6)∙5=0,6+0,4∙5=2,6;

G₄=0,6∙1+(1-0,6)∙4=0,6+0,4∙4=2,2.

Выберем max (G₁, G₂, G₃, G₄)=max (2,6; 2,8; 2,6; 2,2)=2,8

По критерию Гурвица оптимальной является стратегия П₂.

3. Построим матрицу риска по формуле: , гдеa_max – элемент в каждом столбце.

Таблица 5.3.

	К1	К2	К3	К4	Выбираем max( rik )
П1	0	3	3	1	3
П2	1	3	1	0	3
П3	4	0	3	1	3
П4	3	4	0	2	4

Риск необходимо свести к минимуму, т.е. в последнем столбце выбираем наименьшее значение: min (max (r_ik))=min (3;3;3;4)=3

Т.к. по 2-м предыдущим критериям выбрали П₁,то и здесьП₁.