Методические указания к решению задач

1) Графический метод решения задач линейного программирования.

Общей задачей линейного программирования называется задача, которая заключается в определении экстремального(максимального и минимального) значения линейной целевой функции:

, (1)

переменные , которой удовлетворяют линейным ограничениям:

(2)

и условиям неотрицательности

(3)

где - независимые переменные

- известные постоянные значения (коэффициенты и свободные члены).

Совокупность чисел , вектор которых удовлетворяют ограничениям и условиям задачи, называются допустимыми решениями(или планом). Планпри котором целевая функция (1) достигает экстремальные значения называется оптимальным.

План основной задачи линейного программирования называется опорным, если система векторов, входящих в разложение с положительными коэффициентамилинейно независима.

Так как векторы являются- мерными, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент нее превышает.

Опорный план называется невырожденным, если он содержит ровно положительных компонент; в противном случае план является вырожденным.

Области допустимых решений задачи линейного программирования должны быть выпуклыми множествами.

Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками содержит их произвольную выпуклую линейную комбинацию (рис1).

Геометрический смысл этого определения состоит в том , что множеству вместе с его двумя произвольными точками полностью принадлежит и прямолинейный отрезок, соединяющий их. Примером выпуклых множеств являются: отрезок, треугольник, круг, шар, куб и т.д.(рис 1)

Выпуклые множества

Рис 1.

В противном случае множества называется не выпуклым (рис 2)

Невыпуклые множества

Рис 2

Любые переменных системылинейных уравнений спеременными (при условии) называются основными, если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальныепеременных называются не основными.

Базисным решением системы m линейных уравнений с переменными называется всякое ее решение, в котором все не основные переменные имеют нулевые значения.

Теорема 1. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.

Теорема 2. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает с угловой точкой множества допустимых решений.

Следствие. Если оптимальное решение не единственное, то таких решений будет множество.( например, все точки отрезка, соединяющего соответствующие угловые точки )

Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых значений, и наоборот.

Решение задачи линейного программирования с двумя независимыми переменными может быть выполнено графическим способом. Так как каждое из неравенств системы ограничений задачи геометрически представляют полуплоскости допустимых значений переменных с гранитными прямыми.

Если система неравенств совместна, то областью допустимых решений задачи Вляется выпуклое множество, называемое многоугольником решений. Сторонами этого многоугольника являются отрезки прямых, уравнения которых получаются из заданных ограничений заменой знаков неравенств на знаки равенств.

Последовательность решения задач линейного программирования графическим способом состоит в следующем:

1. На плоскости в координатных осях строят прямые, уравнениями которых являются выражения, полученные из системы ограничений- заменой неравенств на соответствующие равенства.

2. Указываются полуплоскости, удовлетворяющие каждому из ограничений системы.

3. Строится многоугольник решений, указывая координаты вершин на нем, который называется областью допустимых решений (ОДР).