moiseev

83

84

Задание 7

4.G — группа движений правильного тетраэдра с вершиной А, оставляющих неподвижной вершину А.

5.G — группа вращений правильного шестиугольника.

6.G — группа движений квадрата.

Б. Доказать, что элементы x и y имеют одинаковые порядки:

В. Доказать, что следующее множество является подгруппой в соответствую- щей группе:

1. Множество нижних треугольных матриц в группе всех невырожденных мат- риц порядка n.

2. Множество матриц вида é a bù , где a, b Î R, в группе всех невырожденных

êë- b aúû

матриц порядка 2.

3.H = {x: x=a+b 3 , a,bÎQ, a2–2ab = 1} в группе áR*, ×ñ.

4.Множество верхних треугольных матриц в группе всех невырожденных матриц порядка n.

5.H={p: p(1) = 1} в группе подстановок n элементов Sn.

85

6. Множество квадратных матриц порядка n, в каждой строке и каждом столбце которых один элемент равен 1, а остальные элементы равны 0.

Г. Доказать неизоморфность групп:

76

Задание 8

1.Доказать, что объединение двух подгрупп группы является подгруппой этой же группы тогда и только тогда, когда одна из этих подгрупп содержится в другой подгруппе.

2.Доказать, что конечная подполугруппа любой группы является подгруппой этой группы. Остается ли верным это утверждение для бесконечных подпо- лугрупп?

3.Существуют ли бесконечные группы, все элементы которых имеют конечный порядок?

4.Доказать, что если подгруппа С содержится в объединении подгрупп А и В,

то либо СÌА, либо СÌВ.

5.Доказать, что если коммутативная группа G содержит элементы бесконечно- го порядка и все они содержатся в подгруппе H, то H = G.

6.Представить группу Q в виде возрастающей цепочки циклических подгрупп.

Задание 9

1.а) Пусть j: G®G1 — эпиморфизм групп, H < G. Доказать, что j(H) < G1.

б) Может ли группа иметь две изоморфных нормальных подгруппы, фактор- группы по которым не изоморфны?

2.а) Пусть j: G®G1 — гомоморфизм групп, H1 < G1. Доказать, что j–1(H1) < G. б) Пусть ZG = {x: ("aÎG)(ax=xa)}. Доказать, что ZG < G. Доказать, что если

G некоммутативная группа, то G/ZG не циклическая группа.

3.а) Пусть j: G®G1 — гомоморфизм групп, H < G. Доказать, что j(H) < G1.

б) Пусть j: G®G1 — эпиморфизм групп. Доказать, что G1 коммутативна то- гда и только тогда, когда ("а)("b)(a–1b–1abÎKer j).

4.а) Пусть j: G®G1 — эпиморфизм групп, H1 < G1. Доказать, что j–1(H1) < G. б) Может ли группа иметь не изоморфные нормальные подгруппы, фактор-

группы по которым изоморфны?

5.а) Пусть H < G, T < G. Доказать, что HT < G и H < HT.

б) Могут ли две не изоморфные группы иметь изоморфные нормальные под- группы, фактор-группы по которым изоморфны?

6.а) Пусть H < G, T < G, Доказать, что HÇT < T.

б) Доказать, что если H1 < G1, H2 < G2, то H1´H2 < G1´G2.

Задание 10

А. Доказать, что Н подгруппа в группе áC*, ×ñ.

Б. Описать смежные классы группы С* по подгруппе Н. В. Доказать, что фактор-группа С*/Н изоморфна группе L.

Г. Описать функцию j, осуществляющую этот изоморфизм.

Д. Придумать гомоморфизм f: C*®L, ядро которого совпадает с Н. 1. H = R*+, L = {zÎC*: |z| = 1}.

85

2.H = {z C*: |z| = 1}, L = R*+.

3.H = R*, L = {z C*: |z| = 1}.

4.H – множество ненулевых комплексных чисел, изображаемых точками осей

координат, L = {z C*: |z| = 1}.

5.H – множество ненулевых комплексных чисел, изображаемых точками лучей

ϕ= 23π k , k = 0, 1, 2, L = {z C*: |z| = 1}.

6.H – множество ненулевых комплексных чисел, изображаемых точками лучей

ϕ= π3 k , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, L = {z C*: |z| = 1}.

Задание 11

А. Выписать все элементы множества n 1 .

Б. Разбить множество n 1 на подмножества, состоящие из элементов, имеющих один и тот же порядок.

В. Составить многочлен деления круга Фn(х).

Г. Доказать, что Фn(x) Z[x] при любых натуральных n

плексные числа, а ϕR.

б) Решить уравнение (x+1)n + (x–1)n = 0.

3.a) Изобразить геометрически множество комплексных чисел z = 11+− itit , где t R.

б) Решить уравнение (x+1)n + (x–1)n = 0.

4.а) Изобразить геометрически множество z комплексных чисел, удовлетворяю-

б) Найти все числа, комплексно сопряженные своей n- й степени.

5. a) Доказать, что точки плоскости, соответствующие комплексным числам z1, z2, z3, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют λ1, λ2, λ3 R, не все равные нулю, такие, что λ1z1+λ2z2+λ3z3=0 и λ1+λ2+λ3 = 0.

86

б) Доказать, что |z| = 1 тогда и только тогда, когда z может быть представлен в виде z = cc для некоторого сÎС (здесь c — число, комплексно сопря-

женное c).

6. а) Доказать, что точки плоскости, соответствующие различным комплексным числам z1, z2, z3, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число

z1 - z3 Î R . z2 - z3

вительны и различны.

Задание 13. Доказать:

1.а) Cn0 + Cn2 + Cn3 + ... + Cnn = 2n−1 ,если n четно.

б) Cn1 + 2Cn2 2 + 3Cn3 22 + ... + nCnn 2n−1 = n ×3n−1 .

4.a) Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nCnn = n2n−1 . б) Cn0 + 3Cn1 + 32 Cn2 + ... + 3n Cnn = 4n .

в) sinϕ + Cn1 sin 2ϕ + ... + Cnn sin(n +1)ϕ = 2n cosn ϕ2 sin n+22 ϕ .

5.a) Cn1 - 2Cn2 + 3Cn3 - ... + (-1)n−1 nCnn = 0.

б) 3n - Cnn−1 3n−1 + Cnn−2 3n−2 - ... - Cn1 3 + Cn0 = 2n , если n четно.

87

в) sin2ϕ +sin2 2ϕ +...+ sin2 nϕ = n - cos(n +1)ϕ ×sin nϕ .

2 2sinϕ

Задание 14

1.Доказать, что скалярные матрицы и только они перестановочны со всеми квадратными матрицами порядка n.

2.Доказать, что любая квадратная матрица либо обратима, либо является ле- вым и правым делителем нуля.

3.Доказать, что диагональные матрицы и только они перестановочны со всеми диагональными матрицами.

4.Доказать, что произведение двух симметрических или кососимметрических матриц является симметрической матрицей тогда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны.

5.Доказать, что скалярные матрицы и только они перестановочны со всеми не- вырожденными матрицами порядка n.

6.Доказать, что произведение симметрической и кососимметрической матриц является кососимметрической матрицей тогда и только тогда, когда эти мат- рицы перестановочны.

Задание 15

1.Доказать, что r(fg) £ min{r(f), r(g)}.

2.Доказать, что r(f+g) £ r(g)+r(g).

3.Доказать, что d(fg) £ d(f)+d(g).

4.Доказать, что max{d(f), d(g)} £ d(fg).

5.Доказать, что fg = 0 Þ r(f)+r(g) £ dim V.

6.Доказать, что r(f) = 1Þ ($!α)(f 2 = a f).

Задание 16. Пусть V = U Å W. Если xÎV, x = a + b, где aÎU, bÎW, то отображение f: V®V, определяемое правилом f(x) = a, называется проектированием пространства V на подпространство U параллельно подпространству W или, короче, проектором.

А. Доказать, что f линейный оператор.

Б. Пусть f линейный оператор. Доказать, что f проектор, тогда и только тогда, когда f 2 = f.

В. 1. f проектор Û eV – f проектор. При этом Im f = Ker(eV – f). 2. f проектор Û Im f = {x: f (x) = x}.

3. Если f и g проекторы, то Im f = Im g Û fg = g Ù gf = f.

4.Если f и g проекторы, то Ker f = Ker g Û fg = f Ù gf = g.

5.Если f и g проекторы, то f + g проектор Û fg = gf = 0.

6.Если f и g проекторы, то f – g проектор Û fg = gf = 0.

88

Задание 17

Определение 1. Пусть V n-мерное евклидово пространство. Линейный оператор j: V®V называется изометрией, если j сохраняет длину векто-

ра: |j(х)| = |х|.

Определение 2. Квадратная матрица А называется ортогональной, если выпол- няется равенство tАА = Е.

Доказать:

1.Строки матрицы образуют ортонормированное множество Û столбцы мат- рицы образуют ортонормированное множество Û матрица ортогональна.

2.Пусть V евклидово пространство, Е = {e1, e2, ..., en} ортонормированный базис V, j евклидов изоморфизм. Доказать, что матрица МЕ(j) ортогональная.

3.Пусть Е = {e1, e2, ..., en} ортонормированный базис евклидова пространства V, j линейный оператор V, матрица которого ортогональная. Доказать, что j евклидов изоморфизм.

4.Всякий евклидов изоморфизм является изометрией.

5.Всякая изометрия является евклидовым изоморфизмом.

6.Если j: V®V отображение евклидова пространства, сохраняющее длину век- тора, то: 1) j линейный оператор; 2) j евклидов изоморфизм.

Задание 18. Пусть А квадратная матрица порядка n. Доказать равносильность следующих утверждений о мат- рице.

1. а) А невырожденная матрица; система линейных уравнений АХ = b совместна при любых b; число 0 не является собственным значением матрицы А.

б) А вырожденная матрица; существует матрица В такая, что r(AB) ¹ r(B).

2. a) А–1 существует; если система линейных уравнений АХ = b совместна, то она имеет единственное решение; столбцы матрицы А линейно независимы.

б) detA = 0; существует вектор b такой, что система линейных уравнений АХ = b неразрешима.

3. а) Если A = М(j), то dim Imj = n; система линейных уравнений АХ = b имеет единственное решение при любых b.

б) r(A) < n; число 0 является собственным значением матрицы А; А является левым и правым делителем нуля.

4. а) Строки матрицы А линейно независимы; система линейных уравнений АХ = q имеет единственное решение.

б) Столбцы матрицы А линейно зависимы; если А =М(j), то Kerj ¹ q; суще- ствует вектор b такой, что система линейных уравнений АХ = b имеет бо- лее одного решения.

5. a) det A ¹ 0; существует линейно независимая система n векторов b1, b2, ..., bn такая, что каждая система линейных уравнений АХ = bk, k = 1, 2,..., n, раз- решима.

б) А–1 не существует; если А = М(j), то j не является сюръекцией; система линейных уравнений АХ = q имеет более одного решения.

89

6. а) r(A) = n; если А = М(j), то Kerj = q; существует вектор b такой, что сис- тема линейных уравнений АХ = b имеет единственное решение.

б) Строки матрицы А линейно зависимы; существует ненулевая матрица В такая, что АВ = 0.

Задание 19

А. Является ли кольцом алгебра áA; +, ·ñ?

1.А = R´R; сложение покоординатное, (а, b)·(с, d) = (ac, ad+b).

2.А = R´R; сложение покоординатное, (а, b)·(с, d) = (ac, bc+d).

3.A = {f: R ® R| f(x) = ax+b}; сложение поточечное, (f·g)(x) = f(g(x)).

4.A = {f: R ® R| f(x) = ax+b}; сложение поточечное, (f·g)(x) = g(f(x)).

5.A = {f: R ® R}; сложение поточечное, (f·g)(x) = g(f (x)).

6.A = {f: R ® R}; сложение поточечное, (f·g)(x) = f (g(x)).

Ответы на следующие два вопроса дать после сравнения алгебр.

Б. Являются ли некоторые из данных алгебр подалгебрами других данных алгебр? В. Имеются ли среди данных алгебр изоморфные? антиизоморфные?

Задание 20

1. а) Доказать, что всякое конечное кольцо (не обязательно коммутативное), не имеющее делителей нуля, имеет единицу и все его ненулевые элементы обратимы. Верно ли это утверждение для бесконечного кольца?

б) Доказать, что любой элемент кольца не может быть одновременно делите- лем нуля и делителем единицы.

2. а) Доказать, что в конечном кольце с единицей (не обязательно коммутатив- ном) всякий элемент, имеющий односторонний обратный, обратим. Верно ли утверждение для бесконечного кольца?

б) Доказать, что коммутативное кольцо обладает единицей тогда и только то- гда, когда в кольце существует элемент, на который делятся все элементы кольца.

3. а) В произвольном конечном (не обязательно коммутативном) кольце с еди- ницей всякий левый делитель нуля является и правым делителем нуля. Верно ли утверждение для бесконечного кольца?

б) Доказать, что в коммутативном кольце элемент а является делителем единицы тогда и только тогда, когда уравнение ах = b разрешимо при любых b.

4. а) Доказать, что в кольце с единицей элементы ху и ух обратимы тогда и толь- ко тогда, когда обратимы элементы х и у.

б) Доказать, что элемент а коммутативного кольца является делителем нуля тогда и только тогда, когда существует такой элемент b, что уравнение

ах = b имеет более одного решения.

5. а) Доказать, что в кольце с единицей и без делителей нуля элемент xy обра- тим тогда и только тогда, когда одновременно обратимы х и у.

90