moiseev
.pdfЗадание 34. Выполнить действия.
1. |
(2 - 2i)6 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (-1 - 2i)(3 - i). |
||
(2 |
|
|
|
|
- 2i)4 |
||||||
3 |
|||||||||||
|
|
(3 |
|
|
- 3i)3 |
||||||
2. |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
+ (3 + 2i)(2 - 5i). |
|||||||
8( |
|
|
|
+ i |
|
|
|
||||
3 |
3)2 |
|
3.(-43 - 4i)3 + (2 + 3i)(-3 + 5i). (-1 + i)16
4.(-23 + 2i)8 + (2 - 2i)(3 - 2i). (1 - 3i)14
5. |
(1- i)9 |
+ (11 - 7i)(-3 + 5i). |
||
(-1 + i)5 |
||||
|
|
|
||
6. |
(1+ i)12 |
|
+ (6 - 5i)(-3 + 2i). |
|
2(-1 + i)9 |
7.(-1 - i)11 + (2 + 3i)(-7 + 8i). 2(1 + i)8
8.(1 + i)9 + (11 − 7i)(−3 + 5i). (1 − i)7
9.(−1 − i3)16 + (2 + 3i)(−7 + 8i). (1 − i)32
10.(-1 - i)8 + (3 - i)(-5 + 2i). (-1 + i)6
11. |
(1 - i 3)12 |
(1 - i)24 + (4 - i)(2 - 5i). |
12.(1+ i)11 + (4 − 6i)(−2 + 5i). (1− i)9
13.(−1− i)10 + (6 − 5i)(−3 + 2i). (−1+ i)8
14. |
(1 + i)9 |
||
|
+ (11 - 7i)(-3 + 5i). |
||
(-1 + i)6 |
|||
15. |
(1 + i)12 |
||
|
+ (6 - 5i)(-3 + 2i). |
||
2(-1 + i)9 |
16.(-1 - i)10 + (3 - i)(-5 + 2i). 2(1 - i)7
|
(-1 - i |
|
|
|
||
17. |
3)16 |
+ (2 + 3i)(-7 + 8i). |
||||
(1 |
- i)32 |
|||||
|
|
18.(-1 - i)9 + (2 + 2i)(7 - 8i). (1 - i)7
19.(−3 + i)6 + (−5 + 2i)(−5 + i). (2 + 2i)4
20.(-2 + 2i)5 + (-5 + 2i)(-4 + 3i). (-1 + i)3
21.(-1 - i)11 + (7 - 3i)(-8 + 4i). 2(1- i)8
22. |
|
|
412 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (1 - 7i)(2 + 3i). |
||||||||||||
( |
|
|
+ i)12 |
||||||||||||||||||||||
|
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
+ i)6 |
|
|
|
|
|
|||||||||
23. |
|
|
|
|
3 |
+ 7 - 4i7. |
|||||||||||||||||||
|
(-1 + i)8 + (1 + i)4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
24. |
|
|
|
|
(1+ i)100 |
|
+ (4 − 7i)(−1+ 3i). |
||||||||||||||||||
|
(1− i)96 + (1+ i)96 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
(1 - i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
25. |
|
3)6 |
|
+ (1 + i)2 ( |
|
- i). |
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
(1 + |
|
|
|
|
i)4 |
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
26. |
|
|
(1 + i)9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ (3 - 2i)(-1 + 4i). |
||||||||||||||||||
|
(-1 - i)12 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
(1 - i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
27. |
|
|
3)12 - (1 + i |
3)6 |
+ 3 - 7i. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 - i)12 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(-1 - i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
28. |
|
3)10 |
|
+ (-4 + 3i)(3 - 5i). |
|||||||||||||||||||||
|
|
(-1 + i)16 |
|
||||||||||||||||||||||
|
æ |
-1 - i |
|
|
ö20 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
29. |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
+ (1 |
- 6i)(-2 + 3i). |
|||||||
ç |
|
1 - i |
÷ |
|
|||||||||||||||||||||
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
30.(1- i3)15 + (3 - 6i)(-4 + 5i). (-1+ i)20
41
Задание 35. Найти все значения корней из комплексного числа. Изобразить их на координатной плоскости.
1. 4−8 + 83i . 2. 3−2 + 2i . 3. 6−27 .
4. 4−2 − 23i . 5. 3−27i .
6. 8256
7. 4−81
8. 38i
9. 4− 18 + 18 3i . 10. 3−22 + 22i . 11. 6−64 .
12. 4−32 − 323i . 13. 3−8i .
14. 881 .
15. 4−16 .
16. 327i .
17. |
4 |
−2 + 2 |
3 |
i . |
|||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
18. |
− 1 |
+ 1 i |
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
19. |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−216 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
20. |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
−8 −8 |
|
|
i |
||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||
21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
−125i |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
8 |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
256 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
23. |
4 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
−625 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
24. |
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
64i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
25. |
4 |
−32 + 32 |
|
|
|
i . |
|||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||
26. |
6 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
− 1 2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
27. |
4 |
− 1 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
i . |
|||||||||||
|
|
3 |
|||||||||||||||||||
|
|
8 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
28. |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
−64i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
29. |
8 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
625 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
30. |
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
−256 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 36. Выяснить, образует ли векторное пространство относительно есте- ственных операций указанное множество (в случае, если данная совокупность является подмножеством векторного пространства, можно воспользоваться критерием подпространства).
1.Векторы Rn, координаты которых удовлетворяют уравнению x1+х2+ ... +хn = 0.
2.Все матрицы формата n ×n с коэффициентами из поля Р.
3.Функции f: R → R, принимающие значение, равное a в данной точке х0.
4.Ограниченные последовательности действительных чисел.
5.Многочлены с действительными коэффициентами, имеющие данный корень
αR.
6.Множество всех бесконечных последовательностей действительных чисел (an), элементы которых удовлетворяют соотношению ak = ak–1 + ak–2.
7.Множество всех многочленов данной степени с действительными коэффи- циентами.
8.Векторы плоскости с началом в точке О, концы которых лежат на одной из двух данных прямых, пересекающихся в О.
42
9.Квадратные матрицы, перестановочные с фиксированной матрицей А.
10.Многочлены четной степени с действительными коэффициентами.
11.Функции f: R → R, имеющие конечное число точек разрыва.
12.Бесконечные последовательности действительных чисел, в которых лишь конечное число элементов отлично от нуля.
13.Множество всех многочленов f с действительными коэффициентами, удов- летворяющих условию f (1) + f (2) + ... + f (k) = 0 (k – фиксированное число).
14.Векторы плоскости с началом О, концы которых не лежат на данной прямой.
15.Последовательности действительных чисел, имеющие предел.
16.Вырожденные матрицы данного формата.
17.Функции, имеющие предел А при х →.
18.Многочлены с действительными коэффициентами, имеющие данный ко- рень αR.
19.Многочлены f с действительными коэффициентами, удовлетворяющие ус-
ловию 2f (0) – 3f (1) = 0.
20.Векторы Rn, являющиеся решениями данной системы линейных уравнений.
21.Невырожденные матрицы данного формата.
22.Многочлены с рациональными коэффициентами, не содержащие четных степеней х.
23.Функции f: R→ R, имеющие корень хотя бы в одной точке сегмента [α; β].
24.Последовательности рациональных чисел, в которых все элементы отлич- ны от нуля.
25.Векторы пространства Rn, координатами которых являются целые числа.
26.Квадратные матрицы, сумма диагональных элементов которых равна нулю (над произвольным полем Р).
27.Бесконечные последовательности действительных чисел, в которых лишь конечное число элементов равно нулю.
28.Последовательности действительных чисел, имеющих конечный предел А.
29.Функции f: R→R, принимающие значение 0 во всех точках некоторого множества S.
30.Квадратные матрицы, перестановочные со всеми матрицами данного формата.
Задание 37. Выяснить, является ли подмножество U R4 векторным подпростран- ством. Если является, то найти его базис и размерность U = {(α1; α2; α3; α4): ... }.
1. |
α 1+α2+α3 = 0. |
9. |
α1+2α2+3α3 = 0. |
|||
2. |
α1 |
=α3, α2+α4 = 0. |
10. |
α1–α2+α3 |
= 0. |
|
3. |
3α2+2α3 = 0. |
11. |
α1–α2+α3 |
= 1. |
||
4. |
α1 |
= α4 = 0. |
12. |
α1 |
= α3+1. |
|
5. |
4α1–α4 = 1. |
13. |
α1 |
= 2α2 = 4α4. |
||
6. |
α4 |
= 0, α1–2α2 = 0. |
14. |
α1+α2+α3+α4= 0. |
||
7. |
α1+α3 = 0. |
15. |
α2–3α3 = 2. |
|||
8. |
α3+2α2 = 0. |
16. |
α3 |
= 2α4 = –α1. |
43
17. |
α1 |
= 2α2 = –3α3. |
24. |
α1 = 3α3 = –6α2. |
|
18. |
α1 |
= 2α22. |
25. |
α1–2α3+α4 = 0. |
|
19. |
α3+5α1 = 0. |
26. |
3α3+4α4 = 0. |
||
20. |
α12–α1 |
= 2. |
27. |
α1–α2+α3–α4= 0. |
|
21. |
α12–α1 |
= 0. |
28. |
5α3+2α4 = 0. |
|
22. |
α12+α22 = 0. |
29. |
2α1–α2+2α3 = 0. |
||
23. |
α12 = α22. |
30. |
α1 = 3α3 =2α4. |
Задание 38. Выяснить, образуют ли векторы а1, а2, а3 базис векторного про- странства. Если образуют, то найти координаты вектора х в этом базисе.
1.a1 = (1; 2; –1), a2 = (–1; –1; 3), a3 = (–2; –1; 2),
x= (6; 5; –8).
2.a1 = (0; 2; 3), a2 = (1; 3; 5), a3 = (3; 5; 7),
x= (12; 26; 39).
3.a1 = (3; 2; 3),
a2 = (–4;–3;–5), a3 = (5; 1; –1), x = (21; 10; 11).
4.a1 = (2; 6; 5), a2 = (5; 3; –2), a3 = (7; 4; –3),
x= (–24;–4;22).
5.a1 = (2; 2; –1), a2 = (2; –1; 2), a3 = (–1; 2; 2),
x= (7; –5; 5).
6.a1 = (1; –1; 1), a2 = (1; 2; 4), a3 = (1; 1; 1),
x= (0; 4; 6).
7.a1 = (2; 3; 1),
a2 = (1; 1; 0), a3 = (–1; –2; 1), x = (9; 13; 0).
8.a1 = (1; –2; 3), a2 = (–3; 7; 2), a3 = (–1; 2; –4), x=(–11;24;–14).
9.a1 = (–2; 3; 1), a2 = (3; 6; 2), a3 = (1; 2; 1),
x= (10; 27; 9).
10.a1 = (1; 1; 1), a2 = (1; 2; 3),
a3 = (–3; –5;–6),
x= (15; 25; 31).
11.a1 = (–5; 4; 2), a2 = (3; –2; –1), a3 = (–1; 1; 0),
x= (–19; 14; 7).
12.a1 = (0; 1; –2), a2 = (2; 1; –5), a3 = (–1; –1; 4),
x= (10; 7; –31).
13.a1 = (1; 2; 3),
a2 = (1; 2; 4), a3 = (1; 1; 1), x = (6; 11; 19).
14.a1 = (2; 1; –1), a2 = (2; –1; 2), a3 = (3; 0; 1),
x= (20; 1; 4).
15.a1 = (1; 1; 1), a2 = (1; 2; 3), a3 = (1; 3; 4),
x= (6; 14; 19).
16.a1 = (–1; 3; –5), a2 = (4; 0; 2), a3 = (1; 3; –1),
x= (3; 9; –7).
44
17.a1 = (–4; 1; 1), a2 = (8; –9; 3), a3 = (–4; 6; –2),
x= (24; –25; 7).
18.a1 = (–8; –5; 1), a2 = (29; 18;–3), a3 = (–4; –17;1),
x= (53; 62; –7).
19.a1 =(1;–38; 24), a2 =(–1;41;–29), a3 =(1; –34; 24),
x= (1; –24; 17).
20.a1 = (1; 2; 3),
a2 = (1; 2; –1), a3 = (3; 1; –1), x=(11;7;–1)
21.a1 = (–2; 2; –6), a2 = (3; 0; –3), a3 = (–1; –2; 3),
x= (–15; 0; –3).
22.a1 = (1; –5; –1), a2 = (–3; 3; 1), a3 = (–1; 1; –1),
x= (–3; 1; –1).
23.a1 = (32; 2; 25), a2 = (14; 1; 11), a3 = (–1; 0; –1),
x= (92; 6; 72).
24.a1 = (2; –1; 0), a2 = (–1; –3; 7), a3 = (0; 7; –21),
x= (3;37;–105).
25.a1 = (3; 1; 1),
a2 = (–3; –3;–2), a3 = (1; 2; 1),
x = (14; 12; 8).
26.a1 = (1; 2; 0), a2 = (1; 2; 1), a3 = (1; 1; –2),
x= (5; 8; –3).
27.a1 = (1; 2; 3), a2 = (3; 2; 4), a3 = (1; 1; 2),
x= (6; 6; 11).
28.a1 = (–2; 1; 2), a2 = (3; –2; –1), a3 = (–1; 1; 0),
x= (–13; 9; 5).
29.a1 = (1; 1; –1), a2 = (–4; –5; 6), a3 = (–3; –3; 4), x=(–13;–13;17).
30.a1 = (1; 1; –1), a2 = (1; –3; 2), a3 = (–1; 2; –1),
x= (6; –8; 4).
Задание 39. Найти базисы и размерности подпространств U1 + U2 и U1 IU2,
если U1 = L(a1, a2, a3), U2 = L(b1, b2, b3).
1. a1 = (1; 2; 1), |
3. a1 = (–1; 6; 4; 7), |
||
a2 = (1; 1; –1), |
a2 = (–2; 3; 0; 5), |
||
a3 = (1; 3; 3), |
a3 = (–3; 6; 5; 6), |
||
b1 = (1; 2; 2), |
b1 = (1; 1; 2; 1), |
||
b2 = (2; 3; –1), |
b2 = (0; –2; 0; –1), |
||
b3 = (1; 1; –3). |
b3 = (2; 0; 2; 1). |
||
2. a1 = (2; 3; 1; –3), |
4. a1 = (1; 1; 1; 1), |
||
a2 = (2; –1; 1; 1), |
a2 = (–1; –1; 1; –1), |
||
a3 |
= (5; –4; 3; 5), |
a3 |
= (–2; –2; 6; –2), |
b1 |
= (1; 1; –2; 1), |
b1 |
= (–1; 2; 0; 1), |
b2 |
= (4; 3; –4; –8), |
b2 |
= (2; 2; 0; 1), |
b3 |
= (1; 2; –6; 13). |
b3 |
= (5; 8; 0; 4). |
45
5. a1 = (2; –2; 3; –3), |
12. a1 = (1; 1; 1; 1), |
a2 = (1; 2; 3; 6), |
a2 = (1; 1; –1; –1), |
a3 = (5; 4; 12; 15), |
a3 = (1; –1; 1; –1), |
b1 = (2; –3; 1; 0), |
b1 = (1; –1; 1; 1), |
b2 = (1; 1; 1; 1), |
b2 = (2; –2; 0; 0), |
b3 = (6; 1; 5; 4). |
b3 = (3; –1; 1; 1). |
6. a1 = (2; –4; 3; 2), |
13. a1 = (1; 2; 1; 1), |
a2 = (1; 3; –3; –1), |
a2 = (2; 3; 1; 0), |
a3 = (1; 1; –2; –1), |
a3 = (3; 1; 1; –2), |
b1 = (4; 0; 0; 4), |
b1 = (0; 4; 1; 3), |
b2 = (9; 3; 7; –3), |
b2 = (1; 0; –2; –6), |
b3 = (–1; –3; –7; 11). |
b3 = (1; 0; 3; 5). |
7. a1 = (–4; 4; 3; 1), |
14. a1 = (1; 1; 0; 0), |
a2 = (1; –1; 2; 1), |
a2 = (1; 0; 0; –1), |
a3 = (–3; 3; 3; 2), |
a3 = (1; –1; 1; –1), |
b1 = (7; 7; 0; 0), |
b1 = (1; –3; –1; 1), |
b2 = (12; –2; 2; 5), |
b2 = (5; –3; 1; 1), |
b3 = (2; 16; –2; –5). |
b3 = (3; –1; 1; 1). |
8. a1 = (1; 2; 0; 1), |
15. a1 = (1; –2; 0; –2), |
a2 = (1; 1; 1; 0), |
a2 = (1; 1; 0; –1), |
a3 = (1; 5; –3; 4), |
a3 = (1; 2; 1; 1), |
b1 = (1; 0; 1; 0), |
b1 = (1; 4; –1; –1), |
b2 = (1; 3; 0; 1), |
b2 = (1; 4; 4; 8), |
b3 = (–2; 6; –4; 2). |
b3 = (2; 0; 1; –1). |
9. a1 = (0; 1; 1; 1), |
16. a1 = (1; 1; 1; 1), |
a2 = (1; 1; 1; 2), |
a2 = (6; 6; 3; 1), |
a3 = (–2; 0; 1; 1), |
a3 = (1; 1; –1; –4), |
b1 = (–1; 3; 2; –1), |
b1 = (1; –1; 0; 0), |
b2 = (1; 1; 0; –1), |
b2 = (1; –1; 0; 0), |
b3 = (–1; 7; 4; –3). |
b3 = (5; –3; 3; 4). |
10. a1 = (2; 1; 1; 2), |
17. a1 = (5; 5; 5; 1), |
a2 = (3; 0; 6; –2), |
a2 = (–1; –1; 3; 1), |
a3 = (–1; –3; 7; 0), |
a3 = (3; 3; 0; –2), |
b1 = (–2; 3; 1; 0), |
b1 = (1; –1; 0; 0), |
b2 = (1; 0; 9; 1), |
b2 = (11; 3; 3; –3), |
b3 = (3; 3; 46; 5). |
b3 = (7; 7; 3; –3). |
11. a1 = (2; 1; 0), |
18. a1 = (3; 1; 1; 3), |
a2 = (1; 2; 3), |
a2 = (2; 1; 1; 2), |
a3 = (–5; –2; 1), |
a3 = (3; 1; 0; 3), |
b1 = (1; 1; 2), |
b1 = (–1; 0; 0; 1), |
b2 = (–1; 3; 0), |
b2 = (3; 2; 0; 9), |
b3 = (2; 0; 3). |
b3 = (1; 1; 0; 5). |
46
19. a1 = (2; 3; 4; 0), |
25. a1 = (2; 3; 4; –5), |
a2 = (1; –1; 2; 0), |
a2 = (–1; 2; –1; –2), |
a3 = (5; 0; 3; 0), |
a3 = (0; 4; 3; –7), |
b1 = (0; 0; 0; –1), |
b1 = (–1; 1; 1; 1), |
b2 = (4; 2; 3; –7), |
b2 = (8; –1; 10; –5), |
b3 = (8; 4; 6; 3). |
b3 = (5; 2; 13; –2). |
20. a1 = (1;–3 ;–3 ;1 ), |
26. a1 = (2; 1; 1; 2), |
a2 = (3; –3; –3; –1), |
a2 = (4; –1; 2; 7), |
a3 = (3; 1; 1; –2), |
a3 = (–1; 3; 2; –2), |
b1 = (0; 2; –2; 0), |
b1 = (–3; 3; –3; 3), |
b2 = (7; –2; –8; 2), |
b2 = (–3; 8; –1; 4), |
b3 = (7; –10; 0; 2). |
b3 = (3; –1; 8; –5). |
21. a1 = (2; 3; 2; 1), |
27. a1 = (2; –2; 3; –3), |
a2 = (2; 1; 2; 1), |
a2 = (1; 2; 3; –6), |
a3 = (3; 5; 3; –1), |
a3 = (–2; 3; –1; 0), |
b1 = (–3; 0; 3; 0), |
b1 = (5; 5; 5; 5), |
b2 = (–6; –1; 8; 3), |
b2 = (4; 7; 10; –13), |
b3 = (3; –1; –1; 3). |
b3 = (9; 12; 15; –8). |
22. a1 = (3; 4; 4; –2), |
28. a1 = (2; 3; 4; –3), |
a2 = (2; 1; 5; –2), |
a2 = (1; –3; 2; –6), |
a3 = (–2; 3; –3; –4), |
a3 = (4; 1; 1; –4), |
b1 = (–2; 1; 1; 1), |
b1 = (1; –1; 1; 1), |
b2 = (5; 1; 17; 6), |
b2 = (3; 2; 10; 1), |
b3 = (1; 3; 19; 8). |
b3 = (5; 0; 12; 3). |
23. a1 = (2; 1; 1; 2), |
29. a1 = (3; 2; –2; 1), |
a2 = (2; 5; 1; 5), |
a2 = (–1; –1; 1; 2), |
a3 = (1; 5; 4; 2), |
a3 = (4; 3; –3; 1), |
b1 = (2; 2; –2; –2), |
b1 = (0; 3; 3; 0), |
b2 = (7; 14; 6; 3), |
b2 = (5; 7; 1; 6), |
b3 = (1; 8; 12; 9). |
b3 = (5; 1; –5; 6). |
24. a1 = (3; 2; 2; 5), |
30. a1 = (2; 10; 5; 1), |
a2 = (1; 4; 4; 5), |
a2 = (1; 7; 2; –1), |
a3 = (–2; –1; –1; 3), |
a3 = (1; 5; 4; –1), |
b1 = (0; –3; 3; 0), |
b1 = (–8; 1; 1; 1), |
b2 = (0; –1; –5; 3), |
b2 = (–6; 13; 4; 2), |
b3 = (0; 0; –2; 1). |
b3 = (4; –25; –7; –3). |
Задание 40. Произведение векторов a = (α1; α2; α3) и b = (β1; β2; β3) определено на R3 заданным правилом. Является ли это правило скалярным произведением на R3?
1. |
α1β1+α2β1+α1β2+α2β2+α3β3. |
4. |
–α1β1–α2β2–α3β3+α1β2+α2β1. |
2. |
α1β1–α2β1–α1β2+α2β2+α3β3. |
5. |
4α1β1+α2β2–α3β2–α2β3+α3β3. |
3. |
α1β1+α3β1+α2β2+α1β3+α3β3. |
6. |
α1β1+α3β1+α2β2+α1β3+α3β3. |
47
7. 2α1β1+α1β2+α2β1+α2β2+α3β3. |
20. |
2α1β1–α1β2–α2β1+2α2β2+α3β3. |
||||||||
8. α1β1–α1β2+α2β2+α3β3. |
21. |
3α1β1+α1β2+α2β1+3α3β3. |
|
|
||||||
9. –2α1β1+α2β1+α1β2–α2β2+α3β3. |
22. |
α1β2+α2β1+α1β3+α3β1. |
|
|
||||||
10. |
α1β2–α3β1+α2β2–α1β3+α2β1. |
23. |
α1β1–α3β1+α2β2–α1β3+2α3β3. |
|||||||
11. |
α1β1–α3β1–α2β2–α1β3+α3β3. |
24. |
α1β1–α2β2–α3β1–α1β3+2α3β3. |
|||||||
12. |
2α1β1+α3β1–2α2β2+α1β3–α3β3. |
25. |
2α1β1+2α2β2–α1β2–α2β1+α3β3. |
|||||||
13. |
3α1β1+α2β2–α1β3–α3β1+α3β3. |
26. |
5α1β1+α2β2–α3β2–α2β3+4α3β3. |
|||||||
14. |
–α1β1–α2β1–α1β2–α2β2+α3β3. |
27. |
3α1β1–α1β2–α2β1–α2β2+α3β3. |
|||||||
15. |
α1β1–2α1β2–α2β1+5α2β2+α3β3. |
|
|
1 |
|
1 |
|
|||
28. |
|
2 α1β1+α2β2+α1β2+α2β1+ |
2 α3β3. |
|||||||
16. |
α1β1–α3β1+α2β2–α1β3+α3β3. |
|
||||||||
29. |
8α1β1+13α2β2–6α3β3. |
|
|
|||||||
17. |
–α1β1–α2β2–α1β2+α2β1+α3β3. |
|
|
|||||||
30. |
3α1β1–2α1β2–2α2β1+3α3β3. |
|||||||||
18. |
4α1β1+2α2β2+α3β2+α2β3+α3β3. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
19. |
|
1 |
α1β1+α1β3+α3β1+α2β2+4α3β3. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задание 41. Построить ортогональный базис подпространства L(а1, а2, а3). |
||||||||||
1. a1 = (1; 0; 0; 0), |
8. a1 = (1; –1; 1; –1), |
|
|
|||||||
|
a2 = (1; 1; 0; 0), |
|
a2 = (–1; 1; 1; –1), |
|
|
|||||
|
a3 = (1; 1; 1; 0). |
|
a3 = (1; 1; 1; 1). |
|
|
|||||
2. a1 = (1; 1; 0; 0), |
9. a1 = (1; 0; 0; 1), |
|
|
|||||||
|
a2 = (1; 1; 1; 0), |
|
a2 = (0; 1; 1; 1), |
|
|
|||||
|
a3 = (1; 1; 1; 1). |
|
a3 = (0; 0; 0; 1). |
|
|
|||||
3. a1 = (1; 1; 1; 1), |
10. a1 = (1; –1; 1; 1), |
|
|
|||||||
|
a2= (1; 1; 1; –1), |
|
a2 = (1; 1; –1; 1), |
|
|
|||||
|
a3= (1; 1; –1;–1). |
|
a3 = (1; 1; 1; –1). |
|
|
|||||
4. a1 = (1; 1; 1; 1), |
11. a1 = (0; 0; 1; 1), |
|
|
|||||||
|
a2= (1; –1; 1;–1), |
|
a2 = (0; 1; 1; 0), |
|
|
|||||
|
a3= (1; 1; –1; 1). |
|
a3 = (1; 1; 0; 0). |
|
|
|||||
5. a1 = (1; 1; 1; 1), |
12. a1= (0; 0; 1; –1), |
|
|
|||||||
|
a2= (1;–1;–1;–1), |
|
a2= (0; 1; –1; 0), |
|
|
|||||
|
a3= (–1;–1;–1;1). |
|
a3= (1; –1; 0; 0). |
|
|
|||||
6. a1 = (1; 0; 1; 0), |
13. a1 = (0; 1; 1; 1), |
|
|
|||||||
|
a2 = (1; 1; 1; 0), |
|
a2 = (0; 0; 1; 1), |
|
|
|||||
|
a3 = (1; 0; 1; 1). |
|
a3 = (0; 0; 0; 1). |
|
|
|||||
7. a1 = (1; 1; 1; 0), |
14. a1= (1; 1; –1; 1), |
|
|
|||||||
|
a2 = (1; 1; 0; 1), |
|
a2= (1; 1; 1; –1), |
|
|
|||||
|
a3 = (1; 0; 1; 1). |
|
a3= (–1; 1; 1; 1). |
|
|
48
15. a1= (1; 2; –2;–1), |
23. a1 = (1; 1; 1; 1), |
a2= (–1; 0; 0;–1), |
a2 = (–1; 1; 0; 0), |
a3= (0; –1; 1; 0). |
a3 = (0; 1; 0; –1). |
16. a1 = (1; 2; 3; 4), |
24. a1 = (–1;–1;–1;–1), |
a2= (0; 1; –1; 0), |
a2 = (1; 1; 1; 0), |
a3= (0; –1; 2;–1). |
a3 = (0; 0; 2; 3). |
17. a1 = (1; 0; 1; 1), |
25. a1 = (1; –1; –1; 1), |
a2 = (0; 1; 1; 1), |
a2= (1;–1; –1; –1), |
a3 = (1; 1; 1; 0). |
a3= (–1;–1;–1; –1). |
18. a1= (1;–1;–1;–1), |
26. a1 = (1; 0; 1; 0), |
a2= (1; 1;–1; –1), |
a2 = (1; 1; 0; 1), |
a3= (1; 1; 1; –1). |
a3 = (0; 1; 1; 0). |
19. a1= (–1; 1;–1; 1), |
27. a1 = (1; 2; 3; 4), |
a2= (1; –1; 1; 0), |
a2 = (0; 1; –1; 0), |
a3= (1; –1; 0; 0). |
a3 = (0; –1; 2; –1). |
20. a1= (2; 2; –2;–2), |
28. a1= (1; 1; 1; –1), |
a2 = (1; 2; 2; 4), |
a2= (1;–1; –1; 1), |
a3 = (1; 2; 2; 1). |
a3 = (1; 1; 0; 0). |
21. a1= (–2; 0;–2; 1), |
29. a1= (1; 1; –1; 1), |
a2 = (1; 1; 1; 1), |
a2= (1;–1; –1; 1), |
a3 = (0; 5; 1; 2). |
a3= (1;–1;–1;–1). |
22. a1 = (2; 3; 0; 3), |
30. a1 = (1; –1; 1; 1), |
a2= (1; –1; 1; 1), |
a2 = (1; 1; –1; 1), |
a3 = (3; 2; 2; –4). |
a3 = (1; 1; 1; –1). |
Задание 42. В евклидовом |
пространстве R4 найти ортогональную проекцию |
и ортогональную составляющую вектора х на подпространство U = L(a1, a2, a3).
1.a1 = (2; 3; 4; 0), a2 = (1; –1; 2; 0),
a3 = (5; 0; 3; 0), x = (4; 2; 3; –7).
2.a1 = (1; 1; 1; 1), a2 = (6; 6; 3; 1), a3 = (1; 1; –1; –4), x = (3; –1; 3; 4).
3.a1 = (5; 5; 5; 1),
a2 = (–2; –2; 6; 2), a3 = (6; 6; 0; –4), x = (11; 3; 3; –3).
4. a1 = (3; 1; 1; 3), a2 = (2; 1; 1; 2), a3 = (6; 2; 0; 6), x = (3; 2; 0; 9).
5.a1 = (1; –3; –3; 1), a2 = (3; –3; –3; –1), a3 = (3; 1; 1; 2),
x= (7; –2; –8; 2).
6.a1 = (2; 3; 2; 1),
a2 = (2; 1; 2; 1), a3 = (3; 5; 3; –1), x = (–6; –1; 8; 3).
7.a1 = (3; 4; 4; –2), a2 = (2; 1; 5; –2), a3 = (–2; 3; –3; –4),
x= (5; 1; 17; 6).
8.a1 = (2; 1; 1; 2),
a2 = (1; 5; 1; 5), a3 = (1; 5; 4; 2), x = (7; 14; 6; 3).
49
9.a1 = (3; 2; 2; 5), a2 = (1; 4; 4; 5),
a3 = (–2; –1; –1; 3),
x= (0; –1; –5; 3).
10. a1 = (2; 3; 4; –5), a2 = (–1; 2; –1; –2), a3 = (0; 4; 3; –7),
x= (8; –1; 10; –5).
11. a1 = (2; 1; 1; 2), a2 = (4; 2; 2; 4), a3 = (–1; 3; 2; –2),
x= (–3; 8; –1; 4).
12. a1 = (2; –2; 3; –3), a2 = (1; 2; 3; –6), a3 = (2; –3; 1; 0),
x= (4; 7; 10; –13).
13. a1 = (0; 1; 2; –2), a2 = (0; 4; –3; 1), a3 = (0; 8; 2; –3),
x= (6; 2; –5; 4).
14. a1 = (2; 3; 4; –3), a2 = (1; –3; 2; –6), a3 = (4; 1; 1; –4),
x= (3; 2; 10; 1).
15. a1 = (3; 2; –2; 1), a2 = (–1; –1; 1; 2), a3 = (4; 3; –3; 1),
x= (5; 7; 1; 6).
16. a1 = (2; 10; 5; 1), a2 = (1; 7; 2; –1), a3 = (1; 5; 4; –1),
x= (–6; 13; 4; 2).
17. a1 = (2; 3; 1; –3), a2 = (2; –1; 1; 1), a3 = (5; –4; 3; 5),
x= (4; 3; –4; –8).
18. a1 = (2; –4; 3; 2), a2 = (1; 3; –3; –1), a3 = (–1; –2; 2; 1),
x= (9; 3; 7; –3).
19. a1 = (–4; 4; 3; 1), a2 = (1; –1; 2; 1), a3 = (–3; 3; 3; 2),
x= (2; –2; 2; 5).
20.a1 = (2; 1; 1; 2), a2 = (3; 0; 6; –2), a3 = (–1; –3; 7; 0),
x= (2; 0; 18; 2).
21.a1 = (–2; 0; –2; 1), a2 = (1; 1; 1; 1), a3 = (0; 5; 1; 2),
x= (–11; 5; 11; 9).
22.a1 = (2; 3; 0; 3), a2 = (1; –1; 1; 1), a3 = (3; 2; 2; –4),
x= (–6; 3; 7; 9).
23.a1 = (2; 3; –1; –8), a2 = (–2; 0; 1; 5),
a3 = (–1; 5; –3; –13),
x= (4; 5; –4; 3).
24.a1 = (4; 4; 3; –5), a2 = (–1; –1; 8; 3), a3 = (2; 2; 4; 7),
x= (2; 12; 5; 4).
25.a1 = (2; 3; 3; 2), a2 = (3; 1; 1; –2), a3 = (4; –2; –2; 1),
x= (4; –3; –9; 5).
26.a1 = (1; 2; 3; 0), a2 = (4; –6; 8; –5), a3 = (1; –3; 6; –4),
x= (–1; –1; 5; 7).
27.a1 = (1; 2; 3; 4), a2 = (1; 5; 4; 0), a3 = (2; 4; –3; 17),
x= (–6; 3; 5; 22).
28.a1 = (2; 3; 8; –8), a2 = (1; 3; –4; 4), a3 = (1;–1;–4; 4),
x= (4; 5; 2; 2).
29.a1 = (2; 4; 3; –5), a2 = (3; 2; 2; 2), a3 = (1; –1; –4; 1),
x= (–1; 9; 1; 2).
30.a1 = (2; 2; –1; –2), a2 = (3; –2; 2; 4), a3 = (1; 3; 0; 7),
x= (7; –1; –9; 7).
50