v0.5.7.final / Тема 2

81 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

где p - число значимых коэффициентов уравнения регрессии.

• оценить адекватность уравнения регрессии ( Sa2d / Se2 ) с использованием критерия Фишера;

•определить совместную доверительную область для истинных значений

коэффициентов регрессии

( S y2 / SR2 ).

82Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

4.6.3.Оценка совместной доверительной области коэффициентов

регрессии

Отношение дисперсии рассчитанной величины выходной переменной y к остаточной дисперсии S y2 подчиняется распределению Фишера ( F ) с доверительной вероятностью , и условием их малой различимости является:

В соответствии с логикой рассматриваемого анализа эти величины должны мало различаться, и граница области, где это условие выполняется, задаётся уравнением:

83 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Величина

n

SSR yˆi yi 2

i1

-значение критерия, полученное при реализации программы минимизации.

так как в соответствии с эмпирическим и теоретическим уравнением регрессии для всех расчетных значений выходной переменной будут справедливы следующие матричные равенства:

84 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Подстановкой матричного произведения вместо SS y , получается квадратичная форма вида:

Геометрической интерпретацией этой квадратичной формы является эллипсоид, оси которого пропорциональны собственным значениям матрицы

A T ,

определяемой из характеристического уравнения вида:

A E 0.

85 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Для двух коэффициентов a0 и a1 , получается эллипс вида:

a1

aˆ1

Получена совместная доверительная область для коэффициентов (здесь a0 и a1) в линейной модели. Её можно сравнить с прямоугольником, образованным

оценками доверительных интервалов коэффициентов регрессии

86 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Длинная, вытянутая доверительная область (собственные значения матрицы A существенно отличаются) указывает на то, что коэффициенты сильно коррелированны и значения коэффициентов плохо оценены.

Результатом высокой корреляции коэффициентов является то, что неправильно оцененное значение одного из коэффициентов можно сбалансировать при проведении подгонки компенсирующим исправленным значением другого параметра.

Подгонка даёт почти столь же хороший результат, как и результат, получаемый при использовании наилучших оценок. Поверхность суммы квадратов Crзадаётся уравнением:

87 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

§5. Построение эмпирических моделей по данным активного эксперимента

При проведении опытных исследований различают пассивный и активный эксперимент.

Методология пассивного экспериментирования предполагает проведение большой серии опытных исследований с поочередным варьированием значений входных переменных x и анализом результатов измерений выходной переменной y (лабораторный эксперимент или эксперимент на пилотной установке).

К пассивному эксперименту принято относить также и сбор опытных данных в режиме эксплуатации промышленной установки – т.н. промышленный эксперимент.

88 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Обработка результатов пассивного эксперимента проводится методами регрессионного и корреляционного анализа, и выбор вида эмпирической модели (уравнения регрессии), т.е. решение задачи структурной идентификации является достаточно сложной задачей.

Это связано с тем, что вид уравнения регрессии необходимо определять по характеру изменения переменных на графике эмпирической линии регрессии, полученной по выборке экспериментальных данных.

Для решения этой задачи для одной входной переменной x предложены эффективные методы, в которых предусматривается преобразование системы координат как для входной x , так и для выходной переменной y .

89 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

При большем числе входных переменных (x1,...xm ) надёжных методов определения вида уравнения регрессии (вида эмпирической модели) в настоящее время не существует.

Активный эксперимент проводится по заранее составленному плану, в соответствии с которым ставится задача не только определения оптимальных условий проведения эксперимента, но и оптимизации процесса (оптимальное планирование эксперимента).

При этом уравнения регрессии (эмпирические модели) описывают данные активного эксперимента, в основном, в двух ограниченных областях и имеют следующий вид:

- вдали от экстремального значения выходной переменной y :

90 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

- вблизи экстремального значения выходной переменной y («в почти стационарной области»):

Приведённые уравнения являются линейными относительно коэффициентов регрессии a и имеют достаточно простой вид.

Они включают слагаемые с двойным взаимодействием входных переменных