v0.5.7.final / Тема 2
.pdf21 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Регрессионный анализ проводится после того, как определён вид уравнения регрессии и найдены значения его коэффициентов
Этот анализ состоит в следующем:
•проверяется значимость всех коэффициентов уравнения регрессии
•устанавливается адекватность уравнения регрессии
При проведении регрессионного анализа принимаются следующие допущения:
• |
входные переменные x измеряются с пренебрежимо малой ошибкой |
• |
результаты наблюдений выходной переменной y эксппредставляют собой |
независимые нормально распределённые случайные величины
• при проведении экспериментов с объёмом выборки п при условии, что каждый опыт повторён одинаковое число раз, выборочные дисперсии S12 ,....Sn2 однородны
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
22 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
§3. Построение эмпирических моделей по данным пассивного эксперимента
3.1.Определение вида приближённого уравнения регрессии
Вобщем случае необходимо анализировать графики зависимостей экспериментальных данных выходных переменных y от входных x и по их виду выбирать конкретную форму приближенного уравнения регрессии.
Для случая одной входной переменной х по опытным данным рекомендуется
построить эмпирическую линию регрессии и с её помощью выбирать вид |
||||||||
приближенного уравнения регрессии. |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y j |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
j |
X |
|
|||
|
|
|
|
x j |
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
23 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
При этом весь диапазон изменения x разбивается на s равных интервалов x.
Все точки, попавшие в данный интервал |
x j , относят к его середине |
x j . |
||||
После этого подсчитывают частные средние |
y j для каждого интервала: |
|||||
|
|
|
n j |
|
|
|
|
|
|
y ji |
|
|
|
|
y |
|
i 1 |
, |
j 1,...s |
|
|
|
|
||||
|
j |
|
n j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n j |
число точек в интервале x j . |
|
|
|
В результате объём выборки определяется по формуле:
s
n j n
i 1
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
24 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Эмпирическая линия регрессии y по x получается в виде ломанной линии путём последовательного соединения отрезками прямой линии точек:
x , y , |
j 1,...s |
j j |
|
При выборе вида приближенного уравнения регрессии для случая нескольких входных переменных
x x1,...xm T
может быть применён Брандона, который здесь не рассматривается.
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
25 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
В общем случае различают два вида уравнений регрессии (эмпирических моделей) –
нелинейные по параметрам |
a, |
|
статистический анализ которых осуществляется |
|
|
методом «нелинейной регрессии» и линейные по параметрам |
a, |
статистический анализ которых проводится методом «линейной регрессии».
Линейные по параметрам модели могут быть представлены в следующем виде:
m
yˆ a j j x
j0
j x - линейные или нелинейные функции входных переменных
Определение параметров (коэффициентов) линейных моделей и их регрессионный анализ существенно проще, чем для нелинейных моделей.
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
26 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Поэтому нелинейные модели, по возможности, стараются линеаризовать и привести к виду.
Частными случаями уравнения линейной регрессии являются:
•полиномиальная регрессия, когда |
|
j |
x x j |
j 0,1,...m |
|
|
|
|
и её разновидности – линейная регрессия от одной переменной (m = 1):
yˆ a0 a1x
и параболическая регрессия (m = 2):
yˆ a0 a1x a2 x2
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
27 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП |
|
||
•трансцендентная регрессия и её разновидности в виде зависимости |
|||
|
ˆ |
|
x |
|
a0a1 |
||
показательного типа: |
y |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ln a0 |
|
x ln a1 |
которая линеаризуется логарифмически: |
ln y |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
a1 |
|
|
|
|
|
и дробно-показательного типа: |
y a0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ln a0 |
|
a1 ln x |
которая также линеаризуется логарифмически: |
ln y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
•множественная регрессия, когда число входных переменных больше 1:
yˆ a0 a1x1 ... am xm x0 1
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
28 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
3.2. Определение коэффициентов регрессии – параметров эмпирических моделей (первый этап регрессионного анализа)
В соответствии с методологией регрессионного анализа в этом случае решается задача аппроксимации экспериментальных данных методом наименьших квадратов (МНК)
Для случая регрессии от одной переменной х графическая интерпретация МНК:
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y p |
|
|
|
|
|
||
э |
|
|
|
|
|
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
y1э |
|
|
|
|
|
|
|
y1p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
xn |
X |
|
|
|
|
|
|
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
29 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
При этом эксперимент проводится с использованием следующей таблицы:
n |
p |
|
x |
|
yэ |
|
|
||||
1 |
|
|
x1 |
|
y1э |
2 |
|
|
x2 |
|
y2э |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
xn |
|
ynэ |
|
|
|
|
|
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
30 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Критерий МНК имеет вид:
|
n |
2 |
|
|
|
|
Cr yip yi |
|
где yip и yi |
i 1 |
|
определяются при одном и том же значении элементов вектора |
xi i 1,...n
n – общее число опытов (объём выборки).
Согласно приближенному уравнению регрессии yip yˆi , поэтому критерий МНК также является функцией многих переменных от параметров
a a0 , a1,...am T
Cr Cr a0 , a1,...am
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |