v0.5.7.final / Тема 2

111 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Для проведения регрессионного анализа при пренебрежении целым рядом несущественных взаимодействий факторов достаточно проводить меньшее число опытов. В этом случае можно реализовать часть ПФЭ, т.н. дробный факторный эксперимент (ДФЭ), который здесь не рассматривается.

ОЦКП и обработка его результатов

Ортогональный центральный композиционный эксперимент (ОЦКП) относится к экспериментам II – го порядка, так как описывающее его уравнение yˆ включает факторы в квадрате и поэтому может описывать поверхности функций отклика в окрестности их экстремальных значений.

Для двух факторов ( x1 и x2 ) с учётом только двойного взаимодействия факторов соответствующая эмпирическая модель может быть записана:

yˆ II a0 a1x1 a2 x2 a12x1x2 a11x12 a22x22

112 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Всоответствии с методикой ортогонального центрального композиционного плана эксперимента (ОЦКП) здесь, также как и для ПФЭ, осуществляется кодирование факторов по приведённой выше схеме, и для обеспечения

ортогонального свойства матрицы планирования эксперимента в уравнение регрессии yˆ включается некоторая постоянная S.

Врезультате уравнение регрессии при m = 2 принимает вид:

Для определения большего числа кодированных коэффициентов, чем при обработке ПФЭ, и описания поверхности функции отклика вблизи её экстремума («почти стационарной области»), количество опытов в этом случае увеличивается.

113 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

При этом опыты, проводимые при ПФЭ (n 2m ) , дополняются опытами в

«Звёздные» точки в факторном пространстве располагаются на осях координат на расстоянии +α и –α от центра плана эксперимента; причём величина α называется «звёздным» плечом и её значения, так же как величина S, определяются из условия ортогональности матрицы планирования z для ОЦКП.

Общее число опытов N в ортогональном центральном композиционном эксперименте определяется по формуле:

N n n nc ,

или с учётом приведённых выше равенств:

N 2m 2m nc .

114 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Для случая двух факторов (m = 2):

N 8 nc

Расположение опытных точек в факторном пространстве для случая двух факторов в приведённой ранее кодированной системе координат может быть представлено:

115 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

План проведения экспериментов в этом случае может быть представлен:

Матрица планирования z представляет собой часть плана проведения эксперимента без горизонтальных и вертикальных заголовков таблицы и вектора наблюдения y (правого столбца).

116 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

117 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Определение величины «звёздного плеча» α и S из условия ортогональности матрицы планирования

Раскрывая первое равенство, можно получить:

n n 2α2 S S n 2α2 NS 2 n 2NS 2 NS 2

n NS 2 0

Откуда:

Последнее выражение используется для определения S.

119 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Приравнивая правые части двух выражений для S, можно найти формулу для определения α :

В результате звёздное плечо α можно определить по формуле:

120 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Определение кодированных коэффициентов регрессии

В соответствии с методом наименьших квадратов эти коэффициенты определяются по матричной формуле: