v0.5.7.final / Тема 2
.pdf31 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Для определения (подгонки) коэффициентов (параметров) модели необходимо, чтобы критерий МНК стал наименьшим.
Задача определения коэффициентов модели сводится к реализации одного из алгоритмов оптимизации для определения минимума критерия МНК:
min n yip yi 2
a a доп i 1
a доп - допустимая область изменения параметров a - ограничения первого рода.
Именно так решается задача параметрической идентификации для нелинейных моделей.
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
32 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
В данном случае возможно также воспользоваться необходимым условием экстремума функции многих переменных:
Cr |
0; |
Cr |
0; |
... |
Cr |
0 |
a |
|
a |
|
|
a |
|
0 |
|
1 |
|
|
m |
|
Для определения искомых коэффициентов эта система в общем случае нелинейных уравнений должна быть решена относительно коэффициентов
.
a0 , a1,...am
Однако, как показывает практика, решение систем нелинейных уравнений ничуть не проще, чем прямое решение задачи оптимизации с поиском минимума критерия МНК.
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
33 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Определение выборочных (эмпирических) коэффициентов регрессии для линейных по параметрам моделей (произвольное число входных переменных
x |
xs |
s 1,...r |
r 1 |
|
|
Таблица проведения экспериментальных исследований в этом случае имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
x1 |
x2 |
|
xr |
yэ |
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x11 |
x12 |
|
x1r |
y1э |
2 |
|
x21 |
x22 |
|
x2r |
y2э |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
xn1 |
xn2 |
|
xnr |
ynэ |
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
34 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Для линейных или линеаризованных по параметрам моделей необходимо представить критерий МНК в виде:
n |
m |
|
2 |
|
|
|
|
Cr a j j x yi |
|
||
i 1 |
j 0 |
|
|
и, воспользовавшись необходимым условием экстремума функции многих переменных, решать полученную систему линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ): |
Cr |
|
n |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
x |
0 |
|||||
|
2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a0 |
|
j |
|
j |
i |
|
i |
|
0 |
|
i |
|||
|
|
i 1 |
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cr |
|
n |
m |
|
|
|
x |
y |
|
|
|
x 0 |
||
|
2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a1 |
|
j |
|
j |
i |
|
i |
1 |
|
i |
|
|||
|
|
i 1 |
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.............................................................. |
||||||||||||||
|
Cr |
|
n |
m |
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
am |
|
j |
|
j |
i |
|
i |
|
m |
|
i |
|||
|
|
i 1 |
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
35 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Перегруппировав члены в последней системе уравнений, можно записать СЛАУ в виде:
m |
n |
xi |
n |
xi |
yi |
|
a j j |
u xi u |
( j,u 0,1,...m) |
||||
j 0 |
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
И, если ввести в рассмотрение информационную матрицу
uj |
j 0,1,...m; u 0,1,...m : |
|
n |
xi j xi |
|
uj u |
j 0,1,...m; u 0,1,...m |
i 1
то она окажется квадратной, симметричной и значения её элементов зависят только от входных переменных и конкретного вида функций j x
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
36 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
В матричном виде информационную матрицу можно представить в виде произведения транспонированной и исходной матрицы входных переменных :
T
Матрица, зависящая от входных переменных, имеет вид:
|
|
|
|
x |
|
x ... |
|
m |
x |
|
|||
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
... |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
0 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
m |
2 |
|
||||
n m 1 |
... |
|
... ... |
|
|
... |
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
x |
... |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
m |
|
||||||||
|
|
|
0 |
n |
|
1 |
n |
|
|
n |
|
Соответственно правую часть рассматриваемой СЛАУ можно записать:
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
37 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
n |
xi |
yi |
|
bu u |
(u 0,1,...m) |
||
i 1 |
|
|
|
или в матричном виде:
bT y
Врезультате СЛАУ, решаемая для определения коэффициентов эмпирической модели, может быть представлена:
m |
|
|
uja j |
bu |
(u 0,1,...m) |
j 0 |
|
|
или в матричном виде:
a b
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
38 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Если для определения коэффициентов использовать метод обратной матрицы, то получится:
1 a 1 b
1 ,
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
||||||||||
b , |
1
a b
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
39 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Матричная формула для определения коэффициентов линейной регрессии (параметров эмпирической модели):
|
|
|
T |
|
|
|
1 |
|
|
T |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
|
y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, для определения коэффициентов линейной или линеаризованной регрессионной модели необходимо выполнить следующую последовательность действий:
• сформировать вектор наблюдений |
yи вычислить его компоненты (только для |
линеаризованных моделей); |
|
• сформировать и рассчитать компоненты матрицы, зависящей от входных переменных
; |
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
40 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
|
|
|
|
|
T ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
• транспонировать матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• перемножить транспонированную матрицу |
на исходную матрицу |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• выполнить обращение информационной матрицы - |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
• умножить полученную обратную матрицу на матрицу |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
• умножить полученный результат на вектор наблюдений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
и yполучить выборочные |
|||||||||||||||||||
коэффициенты регрессии |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |