v0.5.7.final / Тема 2

В результате матрица дисперсий - ковариаций для экспериментальных значений

52 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

то получается диагональная матрица дисперсий - ковариаций для измеряемых значений y с одинаковыми дисперсиями y2

COVy y2 E

4.3. Определение оценок дисперсий коэффициентов регрессии

Поскольку a - случайная величина, распределённая по нормальному закону,

ma M a .

По аналогии составим матрицу дисперсий-ковариаций для a:

COVa M a ma a ma T

53 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

В соответствии с формулой для оценок коэффициентов уравнения регрессии

Для определения элементов матрицы дисперсий-ковариаций необходимо подставить два последних выражения в матричную формулу

Если в результате подстановки матрица дисперсий - ковариаций получится диагональной, то коэффициенты регрессии можно считать статистически независимыми

54 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Выполним эту подстановку

E

55 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

T

Поскольку COVy σ2y E , а матрица ( ) 1 симметрична,

Назовём обратную матрицу ( T ) 1 корреляционной матрицей

56 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Тогда

откуда следует:

• для дисперсий коэффициентов регрессии

• для ковариаций коэффициентов регрессии

57 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Таким образом, независимость коэффициентов определяется тем, будут ли недиагональные элементы в матрице корреляции C равны нулю.

Значения элементов этой матрицы определяются экспериментальными величинами x и видом функций x , т.е. зависят от того, как поставлен (спланирован) эксперимент.

Вслучае активного эксперимента (например, полного факторного эксперимента – ПФЭ и ортогонального центрального композиционного плана эксперимента - ОЦКП) его проводят так, чтобы матрица C стала диагональной, т.е. чтобы коэффициенты регрессии были статистически независимы.

Вслучае произвольного пассивного эксперимента матрица C оказывается недиагональной и поэтому коэффициенты будут статистически зависимы.

58 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Матрица C называется корреляционной, т.к. с помощью её элементов в соответствии с можно рассчитать корреляции коэффициентов регрессии:

59Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

4.4.Определение оценок дисперсии y2

Оценка y2 определяется из экспериментов.

Пусть выходная переменная y зависит от r входных переменных (независимых переменных x ).

Для оценки дисперсии проводятся два типа экспериментов:

•С изменением независимых переменных x1,...xr ;

•Параллельные опыты, когда независимые переменные не меняются.

4.4.1.Определение оценок дисперсий в экспериментах с изменением независимых переменных с различным числом параллельных опытов в каждой точке

а) Определение остаточной дисперсии SR2

60 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

i 1