v0.5.7.final / 06
.pdf
1 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
ОЦКП и обработка его результатов
Ортогональный центральный композиционный эксперимент (ОЦКП) относится к экспериментам II – го порядка, так как описывающее его уравнение yˆ включает факторы в квадрате и поэтому может описывать поверхности функций отклика в окрестности их экстремальных значений.
Для двух факторов ( x1 и x2 ) с учётом только двойного взаимодействия факторов соответствующая эмпирическая модель может быть записана:
yˆ II a0 a1x1 a2 x2 a12x1x2 a11x12 a22x22
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
2 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
|
|
x |
j |
x 0 |
|
|
|
|
z j |
|
|
|
j |
( j 1, ..., m) |
|||
|
|
x j |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x j0 |
0.5 xminj |
xmaxj |
|
( j 1, ..., m) |
||||
x j |
0.5(xmaxj |
xminj |
) |
( j 1, ..., m) |
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
3 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
В соответствии с методикой ортогонального центрального композиционного плана эксперимента (ОЦКП) здесь, также как и для ПФЭ, осуществляется кодирование факторов по приведённой выше схеме (3 уравнения написанные выше!!), и для обеспечения ортогонального свойства матрицы планирования эксперимента в уравнение регрессии yˆ включается некоторая постоянная S.
В результате уравнение регрессии при m = 2 принимает вид:
ˆ ~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
2 |
|
S |
~ |
2 |
|
S |
|
y a0 z0 |
a1z1 |
a2 z2 |
a12z1z2 |
a11 |
z1 |
|
a22 |
z2 |
|
|
Для определения большего числа кодированных коэффициентов, чем при обработке ПФЭ, и описания поверхности функции отклика вблизи её экстремума («почти стационарной области»), количество опытов в этом случае увеличивается.
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
4 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
При этом опыты, проводимые при ПФЭ (n 2m ) , дополняются опытами в
«звёздных» точках факторного пространства (n 2m) и опытами в центре |
|
плана (nc ) с координатами z1 0 и |
z2 0 |
«Звёздные» точки в факторном пространстве располагаются на осях координат на расстоянии +α и –α от центра плана эксперимента; причём величина α называется «звёздным» плечом и её значения, так же как величина S, определяются из условия ортогональности матрицы планирования z для ОЦКП.
|
|
|
|
|
z10 |
z11 |
z12 |
|
1 |
1 |
1 |
||
|
|
|
|
|
z20 |
z21 |
z22 |
|
1 1 1 |
||||
|
|
||||||||||||
|
~ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 3 |
|
|
|
z30 |
z31 |
z32 |
|
|
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
z41 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
z40 |
z42 |
1 |
1 |
|||||
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
5 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Матрица z при активном экспериментировании называется матрицей планирования и обладает тремя оптимальными свойствами:
- симметричности: сумма элементов всех столбцов матрицы, кроме первого (точнее, нулевого) равна нулю
n
zij 0 ( j 1, ..., m);
i1
- ортогональности: скалярное произведение двух любых столбцов матрицы равно нулю
n |
|
|
|
zTj zu zijziu |
0 |
( j, u 0, 1,..., m |
u j); |
i 1
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
6 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
- нормировки: скалярное произведение двух одинаковых столбцов матрицы равно n ( n 2m в ПФЭ)
n |
|
|
z Tj z j zi2j |
n |
( j 0, 1, ..., m). |
i 1 |
|
|
Общее число опытов N в ортогональном центральном композиционном эксперименте определяется по формуле:
N n n nc ,
или с учётом приведённых выше равенств:
N 2m 2m nc .
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
7 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Для случая двух факторов (m = 2):
N 8 nc
Расположение опытных точек в факторном пространстве для случая двух факторов в приведённой ранее кодированной системе координат может быть представлено:
( 1; 1) |
( 1; 1) |
|
|
|
|
|
(0;0) |
|
|
|
z1 |
|
|
|
( 1; 1) |
( 1; 1) |
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
8 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
План проведения экспериментов в этом случае может быть представлен:
Матрица планирования z представляет собой часть плана проведения эксперимента без горизонтальных и вертикальных заголовков таблицы и вектора наблюдения y (правого столбца).
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
9 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
2m
2m
nc
n |
p |
z0 |
z1 |
z2 |
z1z2 |
z12 S z22 S |
y |
|
|
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
1-S |
1-S |
y1 |
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
1-S |
1-S |
y2 |
|
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
1-S |
1-S |
y |
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
1-S |
1-S |
y4 |
|
5 |
+1 |
-α |
0 |
0 |
α2-S |
-S |
y5 |
|
6 |
+1 |
+α |
0 |
0 |
α2-S |
-S |
y6 |
|
7 |
+1 |
0 |
-α |
0 |
-S |
α2-S |
y7 |
|
8 |
+1 |
0 |
+α |
0 |
-S |
α2-S |
y8 |
|
9 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
-S |
-S |
y9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
+1 |
0 |
0 |
0 |
-S |
-S |
yN |
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
10 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Матрица планирования Z |
|
была бы ортогональной, если бы выполнялись |
|||||||||
следующие равенства: |
z j |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
z0T |
|
|
|
|
( j 1, 2) |
||||||
|
S |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
z |
2 |
|
T z 2 |
|
|
0 |
||||
|
S |
S |
|||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
||||||
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |