v0.5.7.final / 08
.pdf1 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Величина
COVxy M (X mx )(Y my ) 0
называется корреляционным моментом, моментом связи или ковариацией
случайных величин Х и Y
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
2Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
4.1Этапы регрессионного анализа
1.Определение оценок коэффициентов регрессии МНК
2.Определение значимости коэффициентов регрессии, т.е. существенного отличия их от нуля с помощью t – критерия Стьюдента
3.Определение адекватности уравнения регрессии с помощью F – критерия Фишера
4.2 Определение числовых характеристик случайных величин измерений выходной переменной
my M Y x - вектор математических ожиданий
Для дисперсий yi и y j справедливо: |
|
|
|
y2 |
M yi |
my 2 |
i 1,...n |
i |
|
i |
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
3 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию |
|||
произведения |
Yi my |
Yj my |
|
|
|
i |
j |
COVyi y j |
M |
|
myi |
|
|
Yi |
Yj |
my j |
|||
i 1,...n; |
j 1,...n; |
i j |
Для независимых нормально - распределённых случайных величин Yi и Yj
COVyi y j 0
Для нормально-распределённых случайных величин вместо размерной
величины |
COV |
целесообразно пользоваться коэффициентом корреляции: |
|
yi y j |
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
4 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
ryi y j |
|
COVyi |
y j |
i |
1,...n; |
j 1,...n |
|||
y |
y |
j |
|||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
Для линейно-зависимых случайных величин yi и y j |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ryi y j |
1 |
|
А для независимых - |
|
|
|
ryi y j |
0 |
|
|||
|
|
y2 |
в n экспериментальных точках создаётся матрица |
||||||
Для дисперсий |
дисперсий – ковариаций:
COVy M y my y my T
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
5 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
M y1 my 2 |
|
|
M y1 my y2 my |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
M y |
|
|
|
|
|
|
||||
M y |
|
m |
yn |
y m |
|
m |
yn |
y |
|
m |
y2 |
|||||
|
|
n |
|
1 |
|
y1 |
|
n |
|
|
2 |
|
M y m y m |
||||
|
|
|
|
|
|
1 y1 n |
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
M yn myn |
|
В результате матрица дисперсий - ковариаций для экспериментальных значений
yi имеет вид:
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
COVy2 y1 |
|||
|
|
|||||
COVy |
||||||
|
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
COV |
yn y1 |
||
|
|
|
|
|
Если принять два допущения:
COVy y |
|
COVy y |
|
||
2 |
1 |
2 |
|
1 |
n |
|
|
COVy2 yn |
|||
y2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
COV |
yn y2 |
|
|||
|
|
yn |
|
• |
о независимости измерений COVy y |
0 |
i j |
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
2 |
|
• |
об однородности дисперсии, т.е. несущественном отличии yi |
и их равенстве |
||
|
|
2 |
|
|
|
|
y |
|
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
6 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
то получается диагональная матрица дисперсий - ковариаций для измеряемых значений y с одинаковыми дисперсиями y2
COVy y2 E
4.3. Определение оценок дисперсий коэффициентов регрессии
Поскольку a - случайная величина, распределённая по нормальному закону,
ma M a .
По аналогии составим матрицу дисперсий-ковариаций для a:
COVa M a ma a ma T
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
7 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
COVa0a1 |
COVan am |
|||
|
COVa1a0 |
2 |
COVa1am |
|||||
|
a1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|||||||
|
COV |
|
COV |
|
2 |
|
||
|
|
a a |
0 |
a a |
|
a |
m |
|
|
|
m |
m 1 |
|
|
|
В соответствии с формулой для оценок коэффициентов уравнения регрессии
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
э |
m Lm |
|
||||
a Ly |
|
a |
y |
Для определения элементов матрицы дисперсий-ковариаций необходимо подставить два последних выражения в матричную формулу
Если в результате подстановки матрица дисперсий - ковариаций получится диагональной, то коэффициенты регрессии можно считать статистически независимыми
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
8 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Выполним эту подстановку
|
|
|
|
M |
L |
y |
|
m |
|
|
y |
|
m |
T |
M |
L |
y m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
COV |
|
|
L |
L |
L |
|
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M L y my y my |
|
L |
|
||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
T |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
LM y my y my T L |
T |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
LCOV |
|
|
|||||||||
|
y |
|
L y my |
|
||
|
|
|
T |
|
|
|
|
LT
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
T |
|
|
1 |
|
T |
|
|
|
T |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Lσ2 |
E L |
σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
9 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
T
Поскольку COVy σ2y E , а матрица ( ) 1 симметрична,
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
COV σ2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
||||||||
|
a y |
|
|
|
|
|
|
Назовём обратную матрицу ( T ) 1 корреляционной матрицей
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C00 |
C01 |
C0m |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
C10 |
C11 |
C1m |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cm0 |
Cm1 |
Cmm |
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
10 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Тогда
|
|
|
|
C |
|
C |
|
C |
|
|
|
2 |
|
COV |
COV |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
01 |
|
0m |
|
|
a0 |
|
2 a0a1 |
|
|
a0am |
|
|
|
|
|
|
C |
C |
C |
|
|
COV |
|
σ |
COV |
m |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
10 |
|
11 |
|
1m |
a a |
|
a |
|
|
a a |
||||||||||
COV σC σ |
|
1 0 |
1 |
|
|
1 |
|||||||||||||||
|
a y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
C |
|
|
|
|
|
COV |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
C |
m0 |
m1 |
mm |
COV |
|
σ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a a |
0 |
a a |
|
a |
m |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
m 1 |
|
|
|
откуда следует:
• для дисперсий коэффициентов регрессии
σ2 |
|
σ2C |
jj |
, j 0, 1, ..., m |
a |
j |
y |
|
|
|
|
|
|
• для ковариаций коэффициентов регрессии
COV |
σ2C |
ji |
, j, i 0, 1, ..., m; |
i j |
a a |
y |
|
|
|
j i |
|
|
|
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |