Brunbender_Elektromagnetizm_2012

ний за начало отсчета удобно принять момент времени t = 0, когда A1 и A 2 совпадают по направлению между собой (рис. 15.3), при этом начальную фазу 0 суммарных колебаний удобно принять равной 0.

Рис. 15.3 Рис. 15.4

Амплитуда суммарного колебания при этом будет медленно изменяться:

Результирующее колебание можно считать близким к гармоническому:

амплитуда которого изменяется со временем согласно (15.7).

Наибольшее значение амплитуда суммарных колебаний Amax = A2 + A1 принимает в моменты совпадения фаз колебаний:

где k = 0, 1, 2, натуральное число.

Наименьшее значение амплитуда суммарных колебаний Amin = |A2 A1| принимает в моменты, когда колебания совершаются в противофазе:

91

где k = 1, 2, 3, .

Рис. 15.5. Картина биений ( = 7 )

Максимальная и минимальная амплитуды суммарных колебаний соот-

С учетом (15.7), (15.8) и (15.11) запишем уравнение биений для рассматриваемого случая:

При биениях амплитуда колебаний с частотой изменяется во времени с частотой . Колебания, амплитуда которых изменяется во времени по определенному закону, называются амплитудно-модулированными.

Методика эксперимента

Схема опыта

Рис. 15.6. Электрическая схема эксперимента

92

Изучение колебаний при помощи электронного осциллографа

В работе применяется двулучевой электронный осциллограф (ЭО), на входы которого «х» (канал «СН1») и «у» (канал «СН2») подаются переменные гармонические напряжения Uх(t) от внешнего низкочастотного генератора (ЗГ) и Uу(t) от внутреннего генератора (ВГ), встроенного в осциллограф. Поступающие на входы осциллографа гармонические напряжения усиливаются электронной схемой ЭО и попадают на систему отклоняющих пластин, вызывая колебания электронного луча в электронно-лучевой трубке осциллографа. Электронный луч, попадая на экран осциллографа, вызывает кратковременное свечение (люминесценцию) экрана в месте попадания электронов. ЭО может работать в двух режимах.

1.В режиме временной развертки напряжения на входах «х» и «у» отклоняют электронные лучи вдоль вертикальной оси, а по горизонтальной оси производится развертка сигнала во времени t. В результате на экране наблюдается картина колебаний х(t) и у(t), соответствующая входным

напряжениям Uх(t) и Uу(t). Колебания можно наблюдать в однолучевой моде (на экране наблюдается сигнал со входа «х» или «у») и двулучевой моде (оба сигнала наблюдаются на экране одновременно).

2.В режиме «y(х)» развертка по времени отключается, напряжение

Uу(t) отклоняет электронный луч вдоль вертикальной оси, напряжение Uх(t) отклоняет электронный луч вдоль горизонтальной оси. На экране наблюдается картина, образующаяся при сложении поперечных колебаний.

Порядок выполнения работы

1.Проверьте правильность собранной схемы по рис. 15.6. Установите ручки управления осциллографа, ВГ и ЗГ по прилагаемой к работе инструкции. Включите приборы и после 5-минутного прогрева аппаратуры приступайте к проведению измерений.

2.Установите на ЗГ частоту 2-5 кГц (по указанию преподавателя). На ЭО переключатель « TIME/DIV» установите в положении «0,1-0,2 ms/дел». Ручкой регулировки выходного напряжения генератора установите ампли-

туду колебаний Ахm равной 1 делению шкалы осциллографа. По картинке на экране ЭО проверьте гармоничность входного сигнала и определите по делениям горизонтальной шкалы период колебаний ЗГ.

3.Переключите рычажки «SOURCE» и «MODE» в положение «CH2» (вход «у») и проверьте гармоничность сигнала от ВГ. С помощью ручки регулировки выходного напряжения ВГ установите амплитуду колебаний

Аym равной 1 делению шкалы осциллографа. С помощью ручки регулировки частоты ВГ установите с помощью горизонтальной шкалы осциллографа период колебаний ВГ, примерно равный или немного меньше периода колебаний ЗГ.

93

4. Установите рычажок «MODE» в положение «ADD» (мода сложения колебаний s = x(t) + y(t)). Переключатель « TIME/DIV» установите в положение «0,2-0,5 ms». С помощью ручки «LEVEL» осциллографа добейтесь наиболее устойчивой картины биений. Из-за небольшой нестабильности частот генераторов (порядка сотых долей Гц) фазы складывающихся колебаний изменяются во времени и рисунок картины может меняться. Плавно изменяя частоту ВГ, получите на экране картину биений (на одном периоде биений должно укладываться ~8-15 периодов колебаний).

5. Приведите в отчете полученную осциллограмму биений. По данным эксперимента рассчитайте частоту 2 встроенного генератора ЭО. Форму-

Контрольные вопросы

1.Гармонические колебания. Основные характеристики колебаний: амплитуда, круговая частота, частота, период, фаза, начальная фаза.

2.График гармонических колебаний s(t).

3.Какие колебания являются когерентными?

4. Сложение параллельных гармонических колебаний с равными частотами; расчет амплитуды и разности фаз суммарного колебания.

5. Сложение параллельных гармонических колебаний с близкими частотами; биения; период и частота биений.

6. Сложение параллельных гармонических колебаний с кратными частотами.

7. Понятие о Фурье-анализе негармонических периодических колебаний.

Список литературы

1.Савельев И. В. Курс общей физики: учеб. пособие для втузов: в 5 кн. Кн. 1. Механика. – М.: Астрель, 2003. – С. 285–288.

2.Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: учеб. пособие для вузов.

–М.: Высш. шк., 1999. – С. 368–370.

3.Брунбендер В. В. Механические колебания и упругие волны: учеб. пособие для вузов. – Владивосток: ДВГМА, 1998. – С. 3–4, 12–15.

4.Трофимова Т. И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. – М.: Высш.

шк., 2003. – С. 263–265.

94

Лабораторная работа № 2.16

СЛОЖЕНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Цели работы: визуализация гармонических колебаний с помощью электронного осциллографа; изучение осциллограммы, полученной в результате сложения поперечных гармонических колебаний; исследование фигур Лиссажу; определение частоты генератора по фигурам Лиссажу.

Приборы и принадлежности: электронный осциллограф (ЭО) со встроенным генератором электрических колебаний (ВГ), генератор электрических колебаний звукового диапазона (ЗГ), соединительные кабели.

Теория работы

Сложение поперечных гармонических колебаний с равными частотами

Рассмотрим движение частицы, участвующей в двух когерентных* колебаниях (с описанием гармонических колебаний можно ознакомиться в теории к лабораторной работе № 2.15 настоящего пособия) относительно взаимно перпендикулярных осей х и у:

Движение частицы зависит от разности фаз колебаний. Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Разность фаз равна 0:

Выражение (16.4) представляет уравнение отрезка прямой (рис. 16.1а), тангенс угла наклона которой удовлетворяет соотношению

Движение осциллятора является гармоническим колебанием вдоль данного отрезка

s = A cos ( t + 0),

где A Ax2 Ay2 .

95

и синус в квадрат, с помощью формулы для тригонометрической единицы получим уравнение эллипса, главными осями которого являются оси х и у

(рис. 16.1б):

Изображение траектории частицы дано на рис. 16.1б, движение частицы совершается по часовой стрелке. При равенстве амплитуд (Ах = Ау) траектория частицы является окружностью.

Уравнение (16.12) является уравнением отрезка прямой (рис. 16.1в), тангенс угла наклона которой к оси х удовлетворяет соотношению

Движение частицы является гармоническим колебанием вдоль данного от-

Рис. 16.1

96

4. Разность фаз равна 32π .

Проделав анализ, подобный изложенному в п. 2, несложно установить, что траектория частицы представляет эллипс (рис. 16.1г), главными осями которого являются координатные оси. В отличие от случая, рассмотренного в п. 2, движение частицы происходит против часовой стрелки.

5. В произвольном случае траектория движения частицы представляет эллипс, описываемый уравнением

Сложение поперечных колебаний с различными частотами

Пусть частица участвует в двух поперечных гармонических колебаниях с частотами х и у вдоль взаимно-перпендикулярных осей х и у:

вторяющийся во времени характер.

Достаточно простая повторяющаяся во времени траектория движения наблюдается лишь в том случае, если частоты х и у относятся как небольшие целые числа (например: 2/1; 3/2; 4/3; 5/2 и так далее). Возникающие при этом картины суммарных колебаний носят название фигур Лиссажу. На рис. 16.2 приведены фигуры Лиссажу для некоторых случаев.

По фигурам Лиссажу можно определить отношения частот складываемых колебаний. При колебаниях частицы вдоль оси х ее траектория пересекает ось у. Поэтому число пересечений ny фигурой Лиссажу оси у пропорционально частоте х. И наоборот, число пересечений nx оси х пропорционально частоте у. Из выше изложенного можно получить соотношение

Рис. 16.2. Фигуры Лиссажу

97

При использовании соотношения (16.14) необходимо брать максимальное число пересечений координатных осей фигурой Лиссажу. Следует отметить, что картина фигур Лиссажу зависит также и от разности начальных фаз складываемых колебаний, но при любых значениях фаз соотношение (16.14) остается справедливым.

Методика эксперимента

Схема опыта

Рис. 16.3. Электрическая схема эксперимента

Изучение колебаний при помощи электронного осциллографа

В работе применяется двулучевой электронный осциллограф (ЭО), на входы которого «х» и «у» подаются переменные гармонические напряжения Uх(t) от внешнего низкочастотного генератора (ЗГ) и Uу(t) от внутреннего генератора (ВГ), встроенного в осциллограф. Поступающие на входы осциллографа гармонические напряжения усиливаются электронной схемой ОЭ и попадают на систему отклоняющих пластин, вызывая колебания электронного луча в электронно-лучевой трубке осциллографа. Электронный луч, попадая на экран осциллографа, вызывает кратковременное свечение (люминесценцию) экрана в месте попадания электронов. ЭО может работать в двух режимах.

1.В режиме временной развертки напряжения на входах «х» и «у» отклоняют электронные лучи вдоль вертикальной оси, а по горизонтальной оси производится развертка сигнала во времени t. В результате на экране наблюдается картина колебаний х(t) и у(t), соответствующая входным

напряжениям Uх(t) и Uу(t). Сигналы можно наблюдать в однолучевом (на экране наблюдается сигнал со входа «х» или «у») и двулучевом (оба сигнала наблюдаются на одном экране одновременно) режимах.

2.В режиме «у(х)» развертка по времени отключается, напряжение

Uу(t) отклоняет электронный луч вдоль вертикальной оси, напряжение Uх(t) отклоняет электронный луч вдоль горизонтальной оси. На экране наблюдается картина, образующаяся при сложении поперечных колебаний, рассмотренная в теории данной работы.

98

Порядок выполнения работы

1.Проверьте правильность собранной схемы по рис. 16.3. Установите ручки управления осциллографа (ЭО) и генератора электрических колебаний (ЗГ) по прилагаемой к работе инструкции. Включите приборы и после пятиминутного прогрева аппаратуры приступайте к проведению измерений.

2.Установите на ЗГ частоту 50-100 Гц (по указанию преподавателя). Используя режим временной развертки (переключатель « TIME/DIV» в положении «1 ms»), проверьте гармоничность входного сигнала по картинке на экране ЭО для канала «СН1» (вход «х»). Ручкой регулировки выходного напряжения генератора установите амплитуду колебаний ~ 2-3 делений шкалы осциллографа. Переключите ЭО на канал «СН2» (вход «у») и проверьте гармоничность сигнала от ВГ. С помощью ручек регулировки выходного напряжения ВГ установите примерно равные амплитуды сигна-

лов Ахm и Аym. С помощью ручки регулировки частоты ВГ установите по горизонтальной шкале осциллографа примерно равные периоды колебаний, подаваемых на входы осциллографа.

3.Установите переключатель « TIME/DIV» в положение «Х-Y». На экране должно появиться изменяющееся во времени изображение эллипса. С помощью ручки плавной регулировки частоты ЗГ получите на экране осциллографа наиболее устойчивую картину эллипса. Результирующая картина может изменяться, плавно переходя в прямую, обратно в эллипс и так далее. Это происходит вследствие некоторой некогерентности колебаний х(t) и y(t). Из-за небольшой нестабильности частот генераторов (порядка сотых долей Гц) фазы складывающихся колебаний изменяются во времени

ирисунок картины плавно меняется. По данным опыта внесите в отчет ос-

циллограммы для случаев, когда разность фаз колебаний равна 0, /2, ,

атакже для произвольного случая*.

4.Измените частоту ЗГ с помощью ручки плавной регулировки частоты и получите на экране не менее трех фигур Лиссажу (кратность частот по указанию преподавателя). Приведите в отчете осциллограммы полученных фигур.

5.По полученным осциллограммам рассчитайте частоту y встроенного генератора ЭО, рассчитайте среднее значение измеряемой частоты y

* Осциллограммы можно срисовать или сфотографировать с помощью сотового телефона.

99

Контрольные вопросы

1.Определение гармонических колебаний; основные характеристики колебаний: амплитуда, период, частота, круговая (циклическая) частота, фаза, начальная фаза.

2.График гармонических колебаний s(t).

3.Какие колебания являются когерентными?

4.Сложение двух поперечных гармонических колебаний с равными частотами при различных значениях разности фаз.

5.Как зависит направление движения частицы по эллипсу от разности фаз складываемых колебаний?

6.Сложение поперечных гармонических колебаний с различными частотами; фигуры Лиссажу, определение частот колебаний по фигурам Лиссажу.

7.Каким образом происходит визуализация картины гармонических колебаний с помощью осциллографа?

8.Почему при сложении колебаний от разных генераторов изображение фигур Лиссажу “плывет” на экране осциллографа?

9.При каких соотношениях частот складываемых колебаний на экране появляется устойчивая картина фигур Лиссажу?

Список литературы

1.Савельев И. В. Курс общей физики: учеб. пособие для втузов: в 5 кн. Кн. 1. Механика. – М.: Астрель, 2003. – С. 288–293.

2.Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: учеб. пособие для вузов.

–М.: Высш. шк., 1999. – С. 368–370.

3.Брунбендер В. В. Механические колебания и упругие волны: учеб. пособие для вузов. – Владивосток: ДВГМА, 1998. – С. 3–4, 12–15.

4.Трофимова Т. И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. – М.: Высш.

шк., 2003. – С. 265–267.

100