- •Морской государственный университет
- •Введение
- •1.Теоретическая часть
- •1.1. Математические методы линейного программирования в сетевой системе
- •1.2.1.Минимизация затрат на выполнение комплекса работ при заданном времени
- •1.2.2. Минимизация времени выполнения комплекса работ при заданных затратах
- •1.2.3. Минимизация суммарных затрат по комплексу работ и объекту
- •1.3. Условные обозначения в формулах экономико-математической модели
- •2.Рассчетная часть
- •2.1. Минимизация затрат на выполнение комплекса работ при заданном времени
- •2.3. Минимизация суммарных затрат по комплексу работ и объекту
- •3.Графическая часть
- •Заключение
2.Рассчетная часть
2.1. Минимизация затрат на выполнение комплекса работ при заданном времени
Выпишем все пути, ведущие из источника в сток сетевого графика, и вычислим минимальную и максимальную продолжительность выполнение комплекса работ.
Путь |
Ранний срок |
Поздний срок |
L1{1;5} |
2+2=4 |
3+6=9 |
L2{2;6} |
1+1=2 |
5+4=9 |
L3{3;8} |
2+3=5 |
9+10=19 |
L4{2;4;5;} |
1+4+2=7 |
5+7+6=18 |
L5{2;7;8} |
1+4+3=8 |
5+8+10=23 |
L6{1;4;7;8;} |
2+4+4+3=13 |
3+7+8+10=28 |
L7{3;7;4;5;} |
2+4+4+2=12 |
9+8+7+6=30 |
L8{3;7;6} |
2+4+1=7 |
9+8+4=21 |
L9{1;4;6} |
2+4+1=7 |
3+7+4=14 |
|
Tmin=13 |
Tmax=30 |
Таким образом, время выполнения комплекса работ может изменяться в пределах
13≤T≤30
Директивное время находим по формуле Tд=(Тmin+Тmax)/2
Tд=(13+30)/2≈22
Построим математическую модель данной задачи.
Строим систему ограничений.
t1≥2 |
t2≥1 |
t3≥2 |
t4≥4 |
t5≥2 |
t6≥1 |
t7≥4 |
t8≥3 |
t1≤3 |
t2≤5 |
t3≤9 |
t4≤7 |
t5≤6 |
t6≤4 |
t7≤8 |
t8≤10 |
t1+ t5≤T
t2+ t6≤T
t3+ t8≤T
t2+ t4+ t5≤T
t2+ t7+ t8≤T
t1+ t4+ t7+ t8≤T
t3+ t7+ t4+ t5≤T
t3+ t7+ t6≤T
t1+ t4+ t6≤T
t1-2≥0 |
t2-1≥0 |
t3-2≥0 |
t4-4≥0 |
t5-2≥0 |
t6-1≥0 |
t7-4≥0 |
t8-3≥0 |
Введем новые переменные, связанные с базовыми следующим образом:
τ1 = t1- 2 τ2 = t2 – 1 τ3 =t3 – 2 τ4 =t4 – 4 τ5 =t5 – 2 τ6 =t6 – 1 τ7 = t7 – 4 τ8 = t8 – 3
Это приведет к тому, что τk≥0
Система ограничений имеет следующий вид:
t1 =τ1+2 t2 =τ2+1 t3 =τ3+2 t4 =τ4+4 t5=τ5+2 t6 =τ6+1 t7= τ7+4 t8 = τ8+3
τ1+2 ≤3 |
τ2+1≤5 |
τ3+2≤9 |
τ4 +4≤7 |
τ5+2≤6 |
τ6+1≤4 |
τ7+4 ≤8 |
τ8+3≤10 |
τ1+2+ τ5+2≤T
τ2+1+ τ6+1≤T
τ3+2+ τ8+3≤T
τ2+1+ τ4+4+ τ5+2≤T
τ2+1 + τ7+4+ τ8+3≤T
τ1+2+ τ4+4+ τ7+4+ τ8+3≤T
τ3+2+ τ7+4+ τ4+4+ τ5+2≤T
τ3+2+ τ7+4+ τ6+1≤T
τ1+2+ τ4+4+ τ6+1≤T
τ1 ≤1 |
τ2≤4 |
τ3≤7 |
τ4 ≤3 |
τ5≤4 |
τ6≤3 |
τ7 ≤4 |
τ8≤7
|
После несложных преобразований система ограничений примет вид:
τ1+ τ5≤T-4
τ2+ τ6≤T-2
τ3+ τ8≤T-5
τ2+ τ4+ τ5≤T-7
τ2+τ7+ τ8≤T-8
τ1+τ4+ τ7+ τ8≤T-13
τ3+ τ7+ τ4+ τ5≤T-12
τ3+ τ7+ τ6≤T-7
τ1+ τ4+ τ6≤T-7
Строим целевую функцию.
Целевая функция при основных переменных имеет вид
Z=215- 4t1-5 t2 - 2t3- 3t4- 4t5- 1t6- 2t7- 3t8→ min
При замене tk на τk получим
Z=215- 4(τ1+2)-5 (τ2+1) – 2(τ3+2)- 3(τ4+4)- 4(τ5+2)- 1(τ6+1)- 2(τ7+4)- 3(τ8+3)→ min
или
Z=160- 4τ1-5 τ2–2τ3- 3τ4- 4τ5- τ6- 2τ7- 3τ8→ min
Z’= 4τ1+5 τ2+2τ3+3τ4+4τ5+ τ6+ 2τ7+ 3τ8 → max
y1=-τ1+1≥0
y2= -τ2+4≥0
y3= -τ3+7≥0
y4= -τ4+3≥0
y5= -τ5+4≥0
y6= -τ6+3
y7= -τ7+4≥0
y8= -τ8+7≥0
y9= -τ1- τ5+T-4>0
y10=- τ2- τ6+T-2>0
y11= - τ3- τ8+T-5>0
y12= -τ2- τ4- τ5+T-7>0
y13= -τ2-τ7- τ8+T-8>0
y14= -τ1-τ4- τ7- τ8+T-13>0
y15= -τ3- τ7- τ4- τ5+T-12>0
y16= -τ3- τ7- τ6-T-7>0
y17= -τ1- τ4- τ6+T-7>0
Представим исходную задачу в матричной форме
|
-τ1 |
-τ2 |
-τ3 |
-τ4 |
-τ5 |
-τ6 |
-τ7 |
-τ8 |
b |
y1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
y2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
y3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
7 |
y4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
y5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
y6 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
y7 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
y8 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
y9 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
T-4 |
y10 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
T-2 |
y11 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
T-5 |
y12 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
T-7 |
y13 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
T-8 |
y14 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
T-13 |
y15 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
T-12 |
y16 |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
T-7 |
y17 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
T-7 |
Z’ |
-4 |
-5 |
-2 |
-3 |
-4 |
-1 |
-2 |
-3 |
0 |
max
Составим двойственную сопряженную задачу
|
-y1 |
-y2 |
-y3 |
-y4 |
-y5 |
-y6 |
-y7 |
-y8 |
-y9 |
-y10 |
-y11 |
-y12 |
-y13 |
-y14 |
-y15 |
-y16 |
-y17 |
b |
τ1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
-4 |
τ2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
|
|
|
-5 |
τ3 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
-1 |
|
-2 |
τ4 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
-1 |
-3 |
τ5 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
|
-4 |
τ6 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
τ7 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
-2 |
τ8 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
|
|
-3 |
Z’дв |
-1 |
-4 |
-7 |
-3 |
-4 |
-3 |
-4 |
-7 |
4-T |
2-T |
5-T |
7-T |
8-T |
13-T |
12-T |
7-T |
7-T |
0 |
min
Перейдем от задачи на минимум к задаче на максимум. Для этого целевую функцию умножим на -1.
|
-y1 |
-y2 |
-y3 |
-y4 |
-y5 |
-y6 |
-y7 |
-y8 |
-y9 |
-y10 |
-y11 |
-y12 |
-y13 |
-y14 |
-y15 |
-y16 |
-y17 |
b |
τ1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
-4 |
τ2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
|
|
|
-5 |
τ3 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
-1 |
|
-2 |
τ4 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
-1 |
-3 |
τ5 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
|
-4 |
τ6 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
τ7 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
-2 |
τ8 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
|
|
-3 |
Zдв |
1 |
4 |
7 |
3 |
4 |
3 |
4 |
7 |
T-4 |
T-2 |
T-5 |
T-7 |
T-8 |
T-13 |
T-12 |
T-7 |
T-7 |
0 |
max
Полученный план содержит отрицательные элементы в последнем столбце. поэтому не является опорным планом (по признаку опорного плана) и его необходимо преобразовать. Процесс преобразования итерационный (с помощью симплекс-метода). Воспользуемся правилом получения опорного плана.
I шаг. Выбираем ведущими 1-ю строку и 1-й столбец (табл.4) и произведем пересчёт элементов, использую правило пересчёта симплексного метода. Получим:
|
- τ 1 |
-y2 |
-y3 |
-y4 |
-y5 |
-y6 |
-y7 |
-y8 |
-y9 |
-y10 |
-y11 |
-y12 |
-y13 |
-y14 |
-y15 |
-y16 |
-y17 |
b |
y1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
4 |
τ2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
|
|
|
-5 |
τ3 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
-1 |
|
-2 |
τ4 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
-1 |
-3 |
τ5 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
|
-4 |
τ6 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
τ7 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
-2 |
τ8 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
|
|
-3 |
Zдв |
1 |
4 |
7 |
3 |
4 |
3 |
4 |
7 |
T-5 |
T-2 |
T-5 |
T-7 |
T-8 |
T-14 |
T-12 |
T-7 |
T-8 |
-4 |
max
II шаг. Выберем ведущими 2-ю строку и 2-й столбец и произведем пересчет элементов. Получим:
|
- τ 1 |
- τ 2 |
-y3 |
-y4 |
-y5 |
-y6 |
-y7 |
-y8 |
-y9 |
-y10 |
-y11 |
-y12 |
-y13 |
-y14 |
-y15 |
-y16 |
-y17 |
b |
y1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
4 |
y2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
5 |
τ3 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
-1 |
|
-2 |
τ4 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
-1 |
-3 |
τ5 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
|
-4 |
τ6 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
τ7 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
-2 |
τ8 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
|
|
-3 |
Zдв |
1 |
4 |
7 |
3 |
4 |
3 |
4 |
7 |
T-5 |
T-6 |
T-5 |
T-11 |
T-12 |
T-14 |
T-12 |
T-7 |
T-8 |
-24 |
max
III шаг. Выберем ведущими 3-ю строку и 3-й столбец и произведем пересчет элементов.
|
- τ 1 |
- τ 2 |
- τ3 |
-y4 |
-y5 |
-y6 |
-y7 |
-y8 |
-y9 |
-y10 |
-y11 |
-y12 |
-y13 |
-y14 |
-y15 |
-y16 |
-y17 |
b |
y1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
4 |
y2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
5 |
y3 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
τ4 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
-1 |
-3 |
τ5 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
|
-4 |
τ6 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
τ7 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
-2 |
τ8 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
|
|
-3 |
Zдв |
1 |
4 |
7 |
3 |
4 |
3 |
4 |
7 |
T-5 |
T-6 |
T-12 |
T-11 |
T-12 |
T-14 |
T-19 |
T-14 |
T-8 |
-38 |
max
IV шаг. Выберем ведущими 4-ю строку и 4-й столбец и произведем пересчет элементов.
Получим:
|
- τ 1 |
- τ 2 |
- τ3 |
- τ4 |
-y5 |
-y6 |
-y7 |
-y8 |
-y9 |
-y10 |
-y11 |
-y12 |
-y13 |
-y14 |
-y15 |
-y16 |
-y17 |
b |
y1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
4 |
y2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
5 |
y3 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
y4 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
3 |
τ5 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
|
-4 |
τ6 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
τ7 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
-2 |
τ8 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
|
|
-3 |
Zдв |
1 |
4 |
7 |
3 |
4 |
3 |
4 |
7 |
T-5 |
T-6 |
T-12 |
T-14 |
T-12 |
T-17 |
T-22 |
T-14 |
T-11 |
-47 |
max
Vшаг. Выберем ведущими 5-ю строку и 5-й столбец и произведем пересчет элементов.
Получим:
|
- τ 1 |
- τ 2 |
- τ3 |
- τ4 |
- τ 5 |
-y6 |
-y7 |
-y8 |
-y9 |
-y10 |
-y11 |
-y12 |
-y13 |
-y14 |
-y15 |
-y16 |
-y17 |
b |
y1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
4 |
y2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
5 |
y3 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
y4 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
3 |
y5 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
4 |
τ6 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
τ7 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
-2 |
τ8 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
|
|
-3 |
Zдв |
1 |
4 |
7 |
3 |
4 |
3 |
4 |
7 |
T-9 |
T-6 |
T-12 |
T-18 |
T-12 |
T-17 |
T-26 |
T-14 |
T-11 |
-63 |
max
VIшаг. Выберем ведущими 6-ю строку и 6-й столбец и произведем пересчет элементов.
Получим:
|
- τ 1 |
- τ 2 |
- τ3 |
- τ4 |
- τ 5 |
- τ 6 |
-y7 |
-y8 |
-y9 |
-y10 |
-y11 |
-y12 |
-y13 |
-y14 |
-y15 |
-y16 |
-y17 |
b |
y1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
4 |
y2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
5 |
y3 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
y4 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
3 |
y5 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
4 |
y 6 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
τ 7 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
-2 |
τ8 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
|
|
-3 |
Zдв |
1 |
4 |
7 |
3 |
4 |
3 |
4 |
7 |
T-9 |
T-9 |
T-12 |
T-18 |
T-12 |
T-17 |
T-26 |
T-17 |
T-14 |
-66 |
max
VIIшаг. Выберем ведущими 7-ю строку и 7-й столбец и произведем пересчет элементов.
Получим:
|
- τ 1 |
- τ 2 |
- τ3 |
- τ4 |
- τ 5 |
- τ 6 |
- τ 7 |
-y8 |
-y9 |
-y10 |
-y11 |
-y12 |
-y13 |
-y14 |
-y15 |
-y16 |
-y17 |
b |
y1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
4 |
y2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
5 |
y3 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
y4 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
3 |
y5 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
4 |
y 6 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
y7 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
τ8 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
|
|
-3 |
Zдв |
1 |
4 |
7 |
3 |
4 |
3 |
4 |
7 |
T-9 |
T-9 |
T-12 |
T-18 |
T-16 |
T-21 |
T-30 |
T-21 |
T-14 |
-74 |
max
VIIIшаг. Выберем ведущими 8-ю строку и 8-й столбец и произведем пересчет элементов.
Получим:
|
- τ 1 |
- τ 2 |
- τ3 |
- τ4 |
- τ 5 |
- τ 6 |
- τ 7 |
- τ 8 |
-y9 |
-y10 |
-y11 |
-y12 |
-y13 |
-y14 |
-y15 |
-y16 |
-y17 |
b |
y1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
4 |
y2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
5 |
y3 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
y4 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
3 |
y5 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
4 |
y 6 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
y7 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
y8 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
3 |
Zдв |
1 |
4 |
7 |
3 |
4 |
3 |
4 |
7 |
T-9 |
T-9 |
T-19 |
T-18 |
T-23 |
T-28 |
T-30 |
T-21 |
T-14 |
-95 |
max
В заключительной строке все элементы положительны, следовательно, достигнут опорный план задачи.
Проверим правильность заполнения. В опорном плане, соответствующем таблице
y1 = 4, y2 = 5, y3 = 2, y4 = 3, y5 = 4, y6 = 1, y7 = 2, y8 = 3. Остальные переменные равны 0.
Подставляя значения переменных в выражение для Zдв, получим:
Zдв = -14 – 45 – 72 – 33 – 44 – 31 – 42 – 73= -95
Таким образом, изменение целевой функции найдено правильно.
Полученный план оптимален (элементы заключительной строки и элементы заключительного столбца больше 0), при T≥ 30. В противном случае 15-й элемент заключительной строки будет отрицателен. Но так как предел изменения задан
13 ≤ T≤ 30
то план оптимален при Т = 30.
При этом значение целевой функции равно -95. Основные переменные имеют следующие значения:
τ1 = 1 τ2 =4 τ3 =7 τ4 =3 τ5 =4 τ6 =3 τ7 =4 τ8 =7
То есть получаем значенияτk, которые приравниваются к k-м элементам заключительной строки. правомерность этого обуславливается принципом двойственности. Так как полученный план при T = 29 оптимален, значение целевой функции основной задачи совпадает со значение целевой функции двойственной задачи, т.е.
Z’ =Z’дв= -Zдв= -95
Значение исходной целевой функции будет равно
Z = A + B + Zдв =65 , где A + B = 160
Правильность произведенных расчетов проверяется тем, что минимальная граница полученного интервала
30 ≤ T≤ ∞
обязательно совпадет с максимальной границей времени выполнения комплекса работ
Tmax= 30
Однако если значение T сократить (присвоить значение менее 30), то 15-й элемент заключительной строчки станет меньше 0. Выберем заданный столбец ведущим, а ведущая строка определится по минимуму из отношений bi / aij , т.е. ведущей получим 3-ю строчку.
Произведем пересечение элементов матрицы. Получим:
|
- τ 1 |
- τ 2 |
- τ3 |
- τ4 |
- τ 5 |
- τ 6 |
- τ 7 |
- τ 8 |
-y9 |
-y10 |
-y11 |
-y12 |
-y13 |
-y14 |
-y3 |
-y16 |
-y17 |
b |
y1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
4 |
y2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
5 |
y15 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
y4 |
|
|
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
1 |
|
1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
y5 |
|
|
1 |
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
-1 |
1 |
|
|
-1 |
-1 |
|
2 |
y 6 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
y7 |
|
|
1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
|
1 |
1 |
-1 |
|
|
|
y8 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
3 |
Zдв |
1 |
4 |
T-23 |
3 |
4 |
3 |
4 |
7 |
T-9 |
T-9 |
11 |
T-18 |
T-23 |
T-28 |
30-T |
7 |
T-14 |
-35-2T |
max
Полученный план будет оптимален при 28≤Т≤30. Значение целевой функции двойственной задачи в зависимости от значения Tбудет определяться по формуле:
Zдв=-35-2T
Z= 160-35-2T= 125-2T
При этом основные и исходные переменные примут следующие значения:
=1, =4,=Т-23,=3,=4,=3,=4,=7;
t1= 3; t2=5; t3= Т-21; t4= 7; t5=6; t6= 4; t7=8; t8=10;
Если значение Т будет меньше 28, то 14-й элемент заключительной строчки будет отрицательным. Поэтому выберем 14-й столбец ведущим столбцом и 7-ю строку ведущей строкой и произведем пересчет элементов.
Получим:
|
- τ 1 |
- τ 2 |
- τ3 |
- τ4 |
- τ 5 |
- τ 6 |
- τ 7 |
- τ 8 |
-y9 |
-y10 |
-y11 |
-y12 |
-y13 |
-y7 |
-y3 |
-y16 |
-y17 |
b |
y1 |
-1 |
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
-1 |
-1 |
1 |
|
1 |
4 |
y2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
5 |
y15 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
y4 |
|
|
|
-1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
-1 |
-1 |
|
-1 |
1 |
1 |
y5 |
|
|
1 |
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
-1 |
1 |
|
|
-1 |
-1 |
|
2 |
y 6 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
y14 |
|
|
1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
-1 |
|
1 |
1 |
-1 |
|
|
|
y8 |
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
-1 |
|
|
2 |
|
|
-1 |
1 |
|
|
3 |
Zдв |
1 |
4 |
5 |
3 |
4 |
3 |
T-24 |
7 |
T-9 |
T-9 |
T-17 |
T-18 |
5 |
28 -T |
2 |
7 |
T-14 |
-35-2T |
max
Полученный план будет оптимален при 24≤Т≤28. Значение целевой функции двойственной задачи в зависимости от значения Tбудет определяться по формуле:
Zдв=-35-2T
Z= 160-35-2T= 125-2T
При этом основные и исходные переменные примут следующие значения:
=1, =4,=5,=3,=4,=3,=Т-24,=7;
t1= 3; t2=5; t3= 7; t4= 7; t5=6; t6= 4; t7= Т-20; t8=10;
Если значение Т будет меньше 24, то 7-й элемент заключительной строчки будет отрицательным. Поэтому выберем 7-й столбец ведущим столбцом и 4-ю строку ведущей строкой и произведем пересчет элементов.
|
- τ 1 |
- τ 2 |
- τ3 |
- τ4 |
- τ 5 |
- τ 6 |
- y4 |
- τ 8 |
-y9 |
-y10 |
-y11 |
-y12 |
-y13 |
-y7 |
-y3 |
-y16 |
-y17 |
b |
y1 |
-1 |
|
-1 |
1 |
|
|
-1 |
|
1 |
|
1 |
-1 |
|
|
1 |
1 |
|
3 |
y2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
5 |
y15 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
τ 7 |
|
|
|
-1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
-1 |
-1 |
|
-1 |
1 |
1 |
y5 |
|
|
1 |
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
-1 |
1 |
|
|
-1 |
-1 |
|
2 |
y 6 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
y14 |
|
|
1 |
-1 |
|
|
1 |
|
|
|
-1 |
1 |
|
|
-1 |
-1 |
1 |
1 |
y8 |
|
|
-1 |
1 |
|
|
-1 |
-1 |
|
|
2 |
-1 |
1 |
|
1 |
1 |
-1 |
2 |
Zдв |
1 |
4 |
5 |
T-21 |
4 |
3 |
24-T |
7 |
T-9 |
T-9 |
T-17 |
6 |
T-19 |
4 |
2 |
T-17 |
10 |
-11-3T |
max
Полученный план будет оптимален при 21≤Т≤24. Значение целевой функции двойственной задачи в зависимости от значения Tбудет определяться по формуле:
Zдв=-11-3T
Z= 160-11-3T= 149-3T
При этом основные и исходные переменные примут следующие значения:
=1, =4,=5,=Т-21,=4,=3,=0,=7;
t1= 3; t2=5; t3= 7; t4= Т-17; t5=6; t6= 4; t7= 4; t8=10;
Если значение Т будет меньше 21, то 4-й элемент заключительной строчки будет отрицательным. Поэтому выберем 4-й столбец ведущим столбцом и 8-ю строку ведущей строкой и произведем пересчет элементов.
|
- τ 1 |
- τ 2 |
- τ3 |
-y8 |
- τ 5 |
- τ 6 |
- y4 |
- τ 8 |
-y9 |
-y10 |
-y11 |
-y12 |
-y13 |
-y7 |
-y3 |
-y16 |
-y17 |
b |
y1 |
-1 |
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
1 |
y2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
5 |
y15 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
τ 7 |
|
|
-1 |
1 |
|
|
|
-1 |
|
|
2 |
|
|
-1 |
1 |
|
|
3 |
y5 |
|
|
1 |
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
-1 |
1 |
|
|
-1 |
-1 |
|
2 |
y 6 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
y14 |
|
|
|
1 |
|
|
|
-1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
τ4 |
|
|
-1 |
1 |
|
|
1 |
-1 |
|
|
2 |
-1 |
1 |
|
1 |
1 |
-1 |
2 |
Zдв |
1 |
4 |
T-16 |
21-T |
4 |
3 |
3 |
T-14 |
T-9 |
T-9 |
25-T |
T-15 |
2 |
4 |
23-T |
4 |
T-11 |
31-5T |
max
Полученный план будет оптимален при 16≤Т≤21. Значение целевой функции двойственной задачи в зависимости от значения Tбудет определяться по формуле:
Zдв=31-5T
Z= 160+31-5T= 191-5T
При этом основные и исходные переменные примут следующие значения:
=1, =4,=Т-16,=0,=4,=3,=0,=Т-14;
t1= 3; t2=5; t3= Т-14; t4= 4; t5=6; t6= 4; t7=4; t8=Т-11;
Если значение Т будет меньше 16, то 3-й элемент заключительной строчки будет отрицательным. Поэтому выберем 3-й столбец ведущим столбцом и 5-ю строку ведущей строкой и произведем пересчет элементов.
Получим:
|
- τ 1 |
- τ 2 |
- y5 |
-y8 |
- τ 5 |
- τ 6 |
- y4 |
- τ 8 |
-y9 |
-y10 |
-y11 |
-y12 |
-y13 |
-y7 |
-y3 |
-y16 |
-y17 |
b |
y1 |
-1 |
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
1 |
y2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
5 |
y15 |
|
|
1 |
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
τ 7 |
|
|
1 |
1 |
-1 |
|
|
-1 |
1 |
|
-1 |
1 |
|
-1 |
|
-1 |
1 |
5 |
τ 3 |
|
|
1 |
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
-1 |
1 |
|
|
-1 |
-1 |
|
2 |
y 6 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
y14 |
|
|
|
1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
3 |
τ4 |
|
|
1 |
1 |
-1 |
|
1 |
-1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
4 |
Zдв |
1 |
4 |
16-T |
21-T |
T-12 |
3 |
3 |
T-14 |
7 |
T-9 |
11 |
1 |
2 |
4 |
7 |
T-12 |
T-11 |
63-7T |
max
max
Полученный план будет оптимален при 14≤Т≤16. Значение целевой функции двойственной задачи в зависимости от значения Tбудет определяться по формуле:
Zдв=63-7T
Z= 160+63-7T= 223-7T
При этом основные и исходные переменные примут следующие значения:
=1, =4,=0,=0,=Т-12,=3,=0,=Т-14;
t1= 3; t2=5; t3= 2; t4= 4; t5=Т-10; t6= 4; t7=4; t8=Т-11;
Если значение Т будет меньше 14, то 8-й элемент заключительной строчки будет отрицательным. Поэтому выберем 8-й столбец ведущим столбцом и 1-ю строку ведущей строкой и произведем пересчет элементов.
Получим:
|
- τ 1 |
- τ 2 |
- y5 |
-y8 |
- τ 5 |
- τ 6 |
- y4 |
- y1 |
-y9 |
-y10 |
-y11 |
-y12 |
-y13 |
-y7 |
-y3 |
-y16 |
-y17 |
b |
τ 8 |
-1 |
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
1 |
y2 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
5 |
y15 |
|
|
1 |
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
τ 7 |
-1 |
|
1 |
|
-1 |
|
|
-1 |
1 |
|
-1 |
1 |
|
-1 |
|
-1 |
1 |
5 |
τ 3 |
|
|
1 |
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
-1 |
1 |
|
|
-1 |
-1 |
|
2 |
y 6 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
y14 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
3 |
τ4 |
-1 |
|
1 |
|
-1 |
|
1 |
-1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
4 |
Zдв |
T-13 |
4 |
16-T |
7 |
T-12 |
3 |
3 |
14-T |
21-T |
T-9 |
11 |
1 |
T-12 |
4 |
7 |
T-12 |
3 |
77-8T |
max
Полученный план будет оптимален при 13≤Т≤14. Значение целевой функции двойственной задачи в зависимости от значения Tбудет определяться по формуле:
Zдв=77-8T
Z= 160+77-8T= 237-8T
При этом основные и исходные переменные примут следующие значения:
=Т-13, =4,=0,=0,=Т-12,=3,=0,=0;
t1= Т-11; t2=5; t3= 2; t4= 4; t5=Т-10; t6= 4; t7=4; t8=3;
Таким образом, весь интервал изменения 13≤Т≤30 разбивается на 6 составляющих частных интервала
28≤Т≤30;
24≤Т≤28;
21≤Т≤24;
16≤Т≤21;
14≤Т≤16;
13≤Т≤14;
В условии задачи дано: Т=22. Это значит, что будем рассматривать третий интервал
21≤Т≤24
Оптимальное значение неизвестных равно
t1= 3; t2=5; t3= 7; t4= 22-17=5; t5=6; t6= 4; t7= 4; t8=10;
Значение минимальных затрат будет рассчитываться по формуле:
Z= 149-3T=83
Минимизация времени выполнения комплекса работ при заданных затрат
Дополнительно дано: директивные затраты равны 39 т.е.
.
Так как задача минимизации затрат на выполнение комплекса работ при заданном времени решена, то приступаем к определению граничных значений затрат для каждого частного интервала.
28≤Т≤30;
24≤Т≤28;
21≤Т≤24;
16≤Т≤21;
14≤Т≤16;
13≤Т≤14;
Для первого частного интервала формула расчета затрат:
Z= 125-2T
Граница первого частного интервала: 28≤Т≤30
Таким образом, Z 1 min=65,Z 1 max=69
По аналогии, для второго частного интервала 24 ≤Т ≤28, целевая функция Z=125-2T , а граничные значения затрат Z 2 min =69, Z 2 max =77
По аналогии, для третьего частного интервала 21≤Т≤24, целевая функция
Z=149-3T, а граничные значения затрат Z 3 min =77
Z 3 max =86
По аналогии, для четвертого частного интервала 16 ≤Т ≤21, целевая функция Z=191-5T, а граничные значения затрат Z 4 min =86
Z 4 max =111
По аналогии, для пятого частного интервала 14T16, целевая функция Z=223-7T , а граничные значения затрат Z 5 min =111
Z 5 max =125
По аналогии, для шестого частного интервала 13 ≤Т ≤14, целевая функция Z=237-8T , а граничные значения затрат Z 6 min =125
Z 6 max =133
Получим следующие частные интервалы для затрат:
1) 65Z 69
2) 69Z 77
3) 77Z 86
4) 86Z 111
5) 111Z 125
6) 125Z 133
Таким образом, заданные в примере директивные затраты не попадают ни в один интервал.