Уравнение Слуцкого.

Функции спроса (45). При неизменной величине функции полезности в точке локального рыночного равновесия

u(x₁^*,x₂^*,…,x_n^*) = const (52)

(на гиперповерхности уровня этой функции) приращение функции x_i^* , обусловленное изменением только величины цены p_j , равно:

Поделив обе части на и переходя к пределу при получаем:

(53)

Поскольку I= p₁x₁^* + p₂x₂^* + …+ p_nx_n^* , то при изменении цены p_j на величину приращение дохода I составит:

(54)

Как следствие из (52) получаем, что

(55)

Так как дифференциал от функции (52) равен нулю, имеем соотношение:

(56)

В точке локального рыночного равновесия, в силу (26.23), имеем соотношения пропорциональности первых производных функции полезности и соответствующих цен:

После подстановки этих соотношений в (44) и сокращения обеих частей на сомножитель , получаем:

(57)

После деления соотношения (57) на p _j и предельного перехода при p _j 0 получаем, что

Подстановка этих уравнений в (55) приводит к формулам:

т.е. в точке рыночного равновесия относительное изменение дохода, вызванное изменением цены на товар, равно количеству этого товара. Подставляя это формулы в формулы (26.32), окончательно получаем:

(58)

Поскольку первое слагаемое в правой части представляет собой действие эффекта изменения цены при неизменном доходе на компнсационную добавку величины продукта, то это слагаемое называется компенсационным. Само же уравнение Слуцкого получается при переносе второго слагаемого в другую часть и используется в следующей форме:

(59)

Экономический смысл уравнения Слуцкого (59).

Левая часть уравнения (59) представляет собой “отклик” точки спроса при неизменном доходе на изменение цены j-го товара. Второе слагаемое в правой части описывает действие эффекта дохода: это произведение, в котором одним из сомножителей является “отклик” точки спроса на изменение дохода I, а другим – величина спроса на j-й товар. Первое слагаемое в правой части (59) интерпретируется следующим образом: при изменении цены j-го товара на p _j при неизменных остальных ценах и доходе изменяются точка спроса и максимальная полезность; изменим доход так, чтобы значение максимальной полезности осталось неизменным – это и является компенсацией.

К уравнению Слуцкого присоединяется ряд соотношений, которые получаются в процессе его вывода. Перечислим их, поскольку они носят четкий экономический характер. Часть их мы приводим ниже без вывода. Итак, в точке локального рыночного равновесия (45) справедливы следующие соотношения.

1. Уравнение (57):

p ₁ x^*₁ + p ₂ x^*₂ + … + p _n x^*_n = 0 .

Это уравнение связывает прежние цены с приращениями товаров, что придает сложный характер изменению спроса: спрос на одни блага растет, на другие он падает.

2. Из уравнения (54) с учетом (57) получаем:

(60)

Это соотношение означает, что при увеличении цен компенсация дохода должна быть положительной, а при уменьшении цен - отрицательной, что достаточно очевидно.

.

(61)

3

Это означает, что при повышении цены спрос на товар падает даже при компенсации дохода.

4. (62)

Это уравнение показывает, что часть слагаемых суммируется со знаком плюс, а часть-со знаком минус. Товар называется “ценным”, если при повышении дохода спрос на него растет, в противном случае товар является малоценным. Из (62) следует, что не все слагаемые отрицательны, т.е. существуют ценные товары. Например, высококачественные продукты и предметы роскоши являются ценными, маргарин-малоценным. При повышении дохода употребление высококачественного масла возрастает.

5. (63)